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1、专题08 平面向量-2024高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题08 平面向量考向一 平面向量数量积【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】设向量，的夹角的余弦值为，且，则_【答案】11【试题解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，多为低档题，是历年高考的必考题型常见的命题角度有：（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量数量积；（4）平面向量坐标运算.【得分要点】（1）确定两个平面向量的
2、夹角；（2）掌握平面向量的数量积公式；（3）利用平面向量的数量积的几何意义及数形结合，巧妙解题.考向二 平面向量的坐标运算【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】已知向量，则（ ）A 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【试题解析】因为，所以.故选：D【命题意图】利用平面向量坐标运算公式求值.【命题方向】这类试题在通常以选择题、填空题的形式考查，属于低档题目，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1） 平面向量模的坐标运算；（2）平面向量数量积的坐标公式；（3）平面向量平行垂直的坐标表示.【得分要点】(1) 熟练平面向量坐标表示；(2) 利用平面向量坐标运算求值；一、单选题1（20
3、22全国高三专题练习）已知非零向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2（2022河南南阳高一期末）已知向量，且，是与同向的单位向量，则（）ABCD3（2022浙江太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（）ABCD且4（湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知是平面内两个不共线向量，A，B，C三点共线，则m（）ABC6D65（2022广西柳州模拟预测（理）已知向量，的夹角为，且，则（）A1BC2D16（2022广西贺州高一期末）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（）ABCD
4、7（2022河南开封模拟预测（理）已知两个单位向量与的夹角为，若，且，则实数（）ABCD8（山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题）在中，E为上一点，P为上任一点，若，则的最小值是（）ABC6D129（山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）ABCD10（2022全国模拟预测）在平行四边形中，设，为的中点，与交于，则（）ABCD二、填空题11（2022全国模拟预测）已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为_.12（2022浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是_13（2022全国模拟预测）已知平
5、面向量，若，则实数的值为_14（2022安徽合肥市第八中学模拟预测（文）已知O为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则最小值是_.15（2022全国模拟预测（文）在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），则的最小值为_16（2022湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段， ，则的取值范围为 _ .专题08 平面向量考向一 平面向量数量积【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】设向量，的夹角的余弦值为，且，则_【答案】11【试题解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：【命题意图】本题考查平面向量数量
6、积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，多为低档题，是历年高考的必考题型常见的命题角度有：（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量数量积；（4）平面向量坐标运算.【得分要点】（1）确定两个平面向量的夹角；（2）掌握平面向量的数量积公式；（3）利用平面向量的数量积的几何意义及数形结合，巧妙解题.考向二 平面向量的坐标运算【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】已知向量，则（ ）A 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【试题解析】因为，所以.故选：D【命题意图】利用平面向量坐标运算公式求值.【命题方向】
7、这类试题在通常以选择题、填空题的形式考查，属于低档题目，是历年高考的热点常见的命题角度有：（2） 平面向量模的坐标运算；（2）平面向量数量积的坐标公式；（3）平面向量平行垂直的坐标表示.【得分要点】(3) 熟练平面向量坐标表示；(4) 利用平面向量坐标运算求值；一、单选题1（2022全国高三专题练习）已知非零向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积和向量相等去判断二者之间的逻辑关系即可.【详解】若，则，则或时，故充分性不成立；若，则，故必要性成立，故“”是“”必要不充分条件.故选：B.2（2022河南南
8、阳高一期末）已知向量，且，是与同向的单位向量，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，再根据即可得解.【详解】解：因为，所以，解得，所以，又因为是与同向的单位向量，所以.故选：D.3（2022浙江太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（）ABCD且【答案】B【解析】【分析】由题意，利用、上的单位向量相等的条件，得出结论【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，所以要使成立，即、方向上的单位向量相等，则必需保证、的方向相同，故成立的充分条件可以是；故选：B4（湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知
9、是平面内两个不共线向量，A，B，C三点共线，则m（）ABC6D6【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理，列方程求即可.【详解】因为A，B，C三点共线，所以，共线，又是平面内两个不共线向量，所以可设，因为， 所以，所以，所以，故选：C.5（2022广西柳州模拟预测（理）已知向量，的夹角为，且，则（）A1BC2D1【答案】A【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】故选：A6（2022广西贺州高一期末）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：在中，为的中点，所以，又，所以，所以；故选：C7（2
10、022河南开封模拟预测（理）已知两个单位向量与的夹角为，若，且，则实数（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求m的值.【详解】由题意，又与的夹角为且为单位向量，所以，可得.故选：A8（山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题）在中，E为上一点，P为上任一点，若，则的最小值是（）ABC6D12【答案】D【解析】【分析】利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案【详解】解：，三点共线，当且仅当，时取等号，所以的最小值是12.故选：D9（山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的
11、取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.【详解】，由题意得：且，解得：且，故选：D10（2022全国模拟预测）在平行四边形中，设，为的中点，与交于，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据题意得，再分析求解即可.【详解】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，所以为三角形的重心，所以.故选：B.二、填空题11（2022全国模拟预测）已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为_.【答案】#0.25【解析】【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】由题意得，所以，所以.故答案为：12（2022浙江省杭州
12、学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是_【答案】【解析】【分析】设出，利用向量数量积运算法则得到，利用求出取值范围.【详解】设，所以,一方面，当且仅当与同向，与同向时取得最大值，另一方面，其中，当且仅当与反向时取得最小值故故答案为：13（2022全国模拟预测）已知平面向量，若，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】因为，所以，又，所以，解得故答案为：14（2022安徽合肥市第八中学模拟预测（文）已知O为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则最小值是_.【答案】#【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求出的
13、取值范围.【详解】作不等式组对应的平面区域如下：，设，如图直线过点时，直线在轴上的截距最小，所以当时取最小值，最小值为，所以最小值为，15（2022全国模拟预测（文）在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），则的最小值为_【答案】#【解析】【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据三点共线得出，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】如图，结合题意绘出图象，因为，为边的中点，所以，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即、时取等号，故的最小值为，故答案为：.16（2022湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段， ，则的取值范围为 _ .【答案】【解析】【分析】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，根据题意得到，再根据的最值求解即可.【详解】在上取一点，使得，取的中点，连接，如图所示：则，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，则，当与重合时，则，所以，即的取值范围为.故答案为：