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1、专题03 等式与不等式-2024年高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题03 等式与不等式考向一 基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II卷【母题题文】若x，y满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【试题解析】因为（R），由可变形为，解得，当且仅当时，当且仅当时，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误故选：BC【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的
2、基本运算能力常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（1） 对原不等式进行化简、变形；（2） 符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（3） 判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二 线性规划 【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）A. B. 4C. 8D. 12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及
3、其应用，属于比较容易题目【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域； 2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值一、单选题1（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，则下列不等式一定成立的是（）A B C D2（2022广东惠州高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（）AB9C4D83（2022四川达州高一期末（理）已知实数x，y满足，则的最小值是（）A2BCD4（202
4、2江苏宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（）ABCD5（2022江西上饶高二期末（文）已知正数m，n满足，则的最小值为（）A3BCD6（2022江西吉安高二期末（文）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD7（2022湖南高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（）ABCD8（2022陕西武功县普集高级中学一模（文）使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A且BCD二、填空题9（2022四川泸州三模（理）已知x、，且，给出下列四个结论：；其中一定成立的结论是_(写出所有成立结论的编号)10（2022上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式有解，则实数
5、m的取值范围_.11（2022浙江镇海中学高二期末）已知实数，则的最小值为_.12（2020云南德宏高三期末（理）关于函数有下列四个命题： ，使关于轴对称 ，都有关于原点对称 ，使在上为减函数 若，使有最大值其中真命题的序号是_三、解答题13（2021黑龙江大庆外国语学校高二期末）设：实数满足，：实数满足(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围14（2022江西抚州高二期中（文）已知a，b都是正数(1)若，证明：；(2)当时，证明：15（2022四川巴中高一期末（理）已知函数，的解集为或(1)求实数、的值；(2)若时，求函数的最小值16（2022浙江舟山
6、高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车雪橇高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千
7、件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？专题03 等式与不等式考向一 基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II卷【母题题文】若x，y满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【试题解析】因为（R），由可变形为，解得，当且仅当时，当且仅当时，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误故选
8、：BC【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（4） 对原不等式进行化简、变形；（5） 符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（6） 判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二 线性规划 【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）B. B. 4C. 8D. 12【答案】
9、C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域； 2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。一、单选题1（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，则下列不等式一定成立的是（）A B C D【答案】D【
10、解析】【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详解】当时，则A错误；当时，则B错误；当时，则C错误；当时，当时，当时，则D正确.故选：D.2（2022广东惠州高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（）AB9C4D8【答案】B【解析】【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.3（2022四川达州高一期末（理）已知实数x，y满足，则的最小值是（）A2BCD【答案】B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条
11、件，画出可行域（如图），可看成可行域内的点与定点的距离，由图可知：当过点的直线与垂直时，距离最小，此时最小距离为：.故选：B4（2022江苏宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B5（2022江西上饶高二期末（文）已知正数m，n满足，则的最小值为（）A3BCD【答案】B【解析】【分析】化简，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得.（当且仅当等号成立）.故选：B6（2022江西吉安高二期末（文）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
12、（）ABCD【答案】B【解析】【分析】讨论和两种情况，即可求解.【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于综上，实数的取值范围为故选：B7（2022湖南高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到在上单调递增， .把原不等式转化为或即可解得.【详解】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范围是.故选：D.8（2022陕西武功县普集高级中学一模（文）使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A且BCD【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充
13、分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.二、填空题9（2022四川泸州三模（理）已知x、，且，给出下列四个结论：；其中一定成立的结论是_(写出所有成立结论的编号)【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可判断和，取特殊值x0、y3可判断，取特殊值y可判断【详解】对于，由得，即，解得(当且仅当时取等号)，故一定成立；对于，当3时，成立，但不成立，故不一定成立；对于，当时，由得，则，即，故不一定成立；将两边平方得，由可知：，当且仅当时取等号，因此一定成立故答案为：【点睛】本题和利用基本
14、不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于和，取特殊值验算即可快速求解10（2022上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围_.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，根据可得，代入求解【详解】根据题意可得，即，则或故答案为：11（2022浙江镇海中学高二期末）已知实数，则的最小值为_.【答案】#【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以当取等号“综上所述：的最小值为；故答案为：12（2020云南德宏高三期末（理）关于函数有下列四个命题： ，使关于轴对称 ，都有关于原点对称 ，使在上为减函数 若，使有最大值其中真命题的序号是_【答案】【解
15、析】【分析】对，判断的奇偶性即可；对，根据对勾函数的性质判断即可；【详解】由题，因为，且，故为奇函数，错对；当时，由对勾函数的性质，在上为减函数，故正确；又当时，若，则在处取得最大值，故正确；故答案为：三、解答题13（2021黑龙江大庆外国语学校高二期末）设：实数满足，：实数满足(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可(1)当时，解得，
16、即p为真时，实数x的取值范围为由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为若为真，则，解得实数x的取值范围为(2)若p是q的必要不充分条件，则且设，则，又由，得，因为，则，有，解得因此a的取值范围为14（2022江西抚州高二期中（文）已知a，b都是正数(1)若，证明：；(2)当时，证明：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据可得，再结合化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由，得，即，当且仅当时“=”成立所以(2)要证，只需证，即证，即证，因为，所以上式成立，所以成立15（2022四川巴中高一期末（理）已知函数，的解集为或(1)求实数、的
17、值；(2)若时，求函数的最小值【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）分析可知、是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得、的值；（2）求得，利用基本不等式可求得在上的最小值.(1)解：因为关于的不等式的解集为或，所以，、是方程的两个根，所以，解得.(2)解：由题意知，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立故函数的最小值为.16（2022浙江舟山高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由
18、式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车雪橇高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【解析】【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.(1)当时，；当时，.所以(2)当时，.当时，取得最大值，且最大值为950.当时，当且仅当时，等号成立.因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.