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1、专题0 3 等式与不等式考向一基本不等式的应用图题昌 鳏【母题来源】2 0 2 2 年新高考全国I I 卷【母题题文】若 X,满足V +y 2 一孙=1,则()A.x+y -2 C.x2+j2 1【答案】B C(D题锢圈【试题解析】因为出?=3 bl R),由炉+y 2 一肛=1 可变形为,(%+y)2-1 =3 xy 3m2解得-2x+y2,【母题题文】若x,y满足约束条件,x +2 y 4,则z =2 x-y的最大值是（）”0,A.-2 B.4 C.8【答案】C国题隔圈【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z =2 x-y为y =2 x -z,上下平移直线y =2 x
2、-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截距最小，z最大，所以2,丽=2乂4-0 =8.故选：C.D.12【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度较小，是历年高考的热点,考查学生的基本作图能力和运算能力.常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域：2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。一、单选题I .（河 北 省 保 定 市2 0 2 1-2 0 2 2学年高二下学期期末数学试题）已 知 则 下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是（）A.
3、ac2 he2 B.1 C.a2 h2 D.a3 b3b【答 案】D【解 析】【分 析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详 解】当c=0时，砒2=布，贝A错 误；当h 0时，/。时，/。0b时，8 3,当。时，/0之）3 =白3 力3 ,当人。0时，0 -a （-）3 0,b 0）对称,则上1 +2：的 最 小 值 为（）a bA.-B.9 C.4 D.82【答 案】B【解 析】【分 析】由题可得a+2 b =l（a 0力 0）,然后利用基本不等式即得.【详 解】圆（x+l）2+（y+2）2=4 的圆心为（一 1,2）,依题意，点（1,2）在直线依+切+1 =0 上，因
4、此一 一 2 Z?+l=0,即。+2b=1（。0力 。），.1 2 f l 2Y 匚 2b 2。、匚.12b 2a 八I =i（a+2b=5H-1-5+2.=9,a b ya b）y 7 a b a b当且仅 当 生=与，即时取”，a b 3所以上1 +：2的最小值为9.a b故选：B.x+20,3.（2022.四川达州.高一期末（理）已知实数x,y 满足2-2,，则 血 丁 毋 T 的最小值是（）x+y+2 0A.2 B.2&C,V10 D.372【答案】B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条件，画出可行域（如图），可看成可行域内的
5、点（x,y）与定点（1,1）的距离,由图可知：当过点（1，1）的直线与x+y+2=0 垂直时，距离最小，此时最小距离为：土关2=2 应.故选：B【答案】B y=-2x+y+2 0,y 0 满足尤+y=DA.8 B.9 C.7 D，则x+4 y 的最小值为（）.1 0【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求x+4 y 的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，-+-=1,x y所以x+4y=（x+4y）d+，）=5+型+2 2 5+2 p-=9,x y x y 丫 x y当且仅当x=3,y=3时等号成立，所以x+4 y的最小值为9.故选：BM 7 4-15.（2022江西上饶高二期末（文）已
6、知正数机，满足叶=1,则的最小 值 为（）mnA.3 B.3+2 0 C.3亚 D.3+2百【答案】B【解析】【分析】化简 丝 里=（2+L）m+力=3+四+巴，再利用基本不等式得解.mn n m n m【详解】解e ：由.a题xyj得=,f?7 +l =-m-+-m-+-n=2-m-+-n-=（z一2 +一1、，、2m n rr）（6 +）=3+3+2V2.mn mn mn n m n m（当且仅当，“=0-1,=2-夜 等 号 成立）.故选：B6.（2022江西吉安,高二期末（文）若关于x 的不等式奴2_2以-2 0 恒成立，则实数。的取值范围为（）A.2,0 B.（2,0 C.（2,0）
7、D.（,【答案】B【解析】【分析】讨论 =0 和。0 两种情况，即可求解.【详解】当。=0 时，不等式成立；当。工0 时，不等式ar?-2m:-2 0 恒成立，等价于A=(-24-4”(-2)0,一 2 综上，实数。的取值范围为(-2,0.故选：B.7.(2022 湖南高二阶段练习)已知偶函数 x)在 0,+司 上单调递减，若 5)=-5),则满 足 正 9 2 0的X的取值范围是()A.(oo,+oo)B.(,8C.(-o,-2u(-l,+oo)D.(-00,-2kJ(-1,8【答案】D【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到/(x)在(3,0 上单调递增，/=/(-5)=0.把 原 不 等
8、式 转 化 为 或出一泞，即可解得.x+l0,f/(x-3)0,x+l0,x-3 W -5 或%-3 2 5,x+1 0,或解得-l 0成立的一个充分不必要条件是()A.工 一1 且B.-1 x3C.x3【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为(X-2)2 0,故不等式(x+l)(x-2)2 0 的解集为且 2 ,故不等式(x+l)(x-2)2 0成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是国 -1且x*2的真子集,显然，满足题意的只有x|x3.故选：D.二、填空题9.(2022 四川泸州三模(理)已知x、j e R,且2，+2=4,
9、给出下列四个结论：x+y 4 2；孙 2 1；(3)2x+y 8.其中一定成 立 的 结 论 是(写出所有成立结论的编号).【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可判断和，取特殊值x=0、y=log23可判断，取 特 殊 值 可 判 断 .【详解】对于，V 2 0,2 0,由 2*+2,=4 得，4=2X+2y 2/2-2 V=2 4 2，B|J 4 2j2x+y 解得x+y 2(当且仅当x=y =l 时取等号)，故一定成立；对于，当x=0,y=log2 3 时，2*+2=4 成立，但 犯 士1不成立，故不一定成立；对于，当y 时，由2*+2=4得2=4-应，则 2+y _ 3 =4 _&+；
10、-3 =；一加 0,即 2+y 3,故不一定成立；将2X+2=4 两边平方得4+4V+2 mM=16.二 4+4=16-2日，由可知：x +y x +y +l 2x+y+,4 2?=8 n -8n 1 6-2 2 1 6-8 =8,4 +4v8.当且仅当x=y =l时取等号，因此一定成立.故答案为：.【点睛】本题和利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于和，取特殊值验算即可快速求解.1 0.（2 02 2 上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式|2 x-3|+|2 x+5|，-2 机有解，则实数?的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】（口,2）（4,
11、物）【解析】【分析】根据题意可得（|2 x 3|+|2 x+5|）1 n h i n r-2m,根据时+|4 Ra-司可得（|2 x-3|+|2*+5|）=8 ,代入求解.【详解】根据题意可得（|2X-3|+|2X+5%“|（2 x-3）-（2 x+5）|=8irr 2 m 8,BP m2 2 m-8 0 则m 4 或相一 2故答案为：（Y O,-2）（4,+3 0）.1 1.（2 02 2 浙江 镇海中学高二期末）已知实数x Z 2 y 0,z 0,则 外；先+丁 的最小值为【答案】1+五#五+1【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为x N 2 y 0,z 0,所 以
12、,六x +4厂y +3+z 方x不x+2 y +2 y+3 z f x _ 2 y +3 z xx+2y 2y+3z x +2 y 2 y+3 z l+2y+3z+-=1 +2 巨豆M=i+也2x 2y+3z y 2x 2 y+3 z当“x =2 y,2y+3z2xx2y+3z2x=2y+3z,x=2y 取等号“综上所述：x 3z+2y；3z的最小值 为 +也;故答案为：1 +0b1 2.(2 02 0云南德宏 高三期末(理)关 于 函 数 )=牧-嚏(必*0)有下列四个命题:使f(x)关 于y轴对称.a,beR,都 有/(x)关于原点对称.使/(x)在0,J3上为减函数.若x 0,6 0时:
13、由 对 勾 函 数 的 性 质，f(x)=ar-在0,出 上为减函数，故正确；又当x 0,bv0,则/(x)在x =,I处取得最大值,故正确;故答案为：三、解答题1 3.(2 0 2 1黑龙江 大庆外国语学校高二期末)设。：实 数x满 足/-a+B/w OS。)，q：实数x满足x 2(1)若。=1,且/“4 为真，求实数X的取值范围；(2)若。是q的必要不充分条件，求实数。的取值范围.【答案】(2,3)L 2【解析】【分析】(1)根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题P，4为真时实数x的取值范围，再求交集即可：(2)先求得A =“,3 a,再根据P是夕的必 要 不 充 分 条 件 可 得
14、 再 根 据 集 合 包 含 关 系，根据区间端点列不等式求解即可 当 a=l 时，X2-4X+3 0,解得14X 3,即2为真时，实数x的取值范围为1 x 3 .由 二 0,解x-2得 2 V x 3,即 q为真时，实数x的取值范围为2 V x 3.f l x 3若 P M 为 真,则二 3 解得实数的取值范围为色.若 P是 g的必要不充分条件，则4 np且 P4 0,则4 =。,3。,有 4 ab；当 a1/7 时，证明：asa+hfb bja+a4 b.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据a+6=l-2 4 不可得石+石=1,再结合 二 十 “化简,利用基本
15、不等式证明即可(2)根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由 4 +匕=1 一 2 /,得(6 +折)=1 ,即 G +扬=1M+a包国芯+.)=3+=+；(石+.=2 +,+9 2 +2 倬*=4,ab ab 4a 4b 3a yjb J N a 4 ab.要证 6 +h4 h ba+ab,只需证 ci(6/b)yfbci Z?)0，即证 b)(a /?)0 ,即证(6-北 京 6+筋)0 ,因为(&-)2 0,石+加 。，所以上式成立，所以&+/7 5/4份+a成立.1 5.(2 0 2 2 四川巴中 高一期末(理)已知函数/(x)=f+*2,x)0 的 解 集 为 卜 1 或x .求实数。
16、、(的值;(2)若x w(O,4 w)时，求函数=的最小值.【答案】(l)a=-l,b=2(2)2A/2-1【解析】【分析】(1)分析可知-1、6 是方程V+o r-2 =0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得。、b 的值;(2)求得g(x)=x+：-l,利用基本不等式可求得g(x)在(0,+8)上的最小值.解：因为关于X的不等式d+a r-2 0 的解集为 巾 可，f l 2 =0 a=-1所以，-1、是方程/+公 2 =0的两个根，所以，八 c ,解 得(c .-l-p =-2 b=2(2)解：由题意知g(x)=(+4 =二 iZ =x +2-i,XXX因为x 0 ,由基本不等式
17、可得g(x)=x+2 1 2 J x.2 1 =2-/2 1 ,2当且仅当工=一时，即 片 女 时，等号成立故函数g(x)的最小值为2&-1.1 6.(2 0 2 2.浙江舟山.高二期末)第2 4 届冬季奥林匹克运动会，又称2 02 2 年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于 2 02 2 年 2月 4日开幕，2月 2 0 日闭幕.本届奥运会共设7个大项，1 5 个分项,1 09 个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次
18、的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2 000万元，每生产x 千件，需另投入成本C(x)(万元).经计算若年产量x 千件低 于 1 00千件，则这x 千件产品成本C(x)=：x2 +i o x+i o o；若年产量x 千件不低于I。千件时，则这刀千件产品成本C(x)=1 2 0 x+支 器-5 4 00.每千件产品售价为1 00万元，为了简化运算我们假设该企业生产的x-9 0产品能全部售完.(1)写出年利润L (万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】1,-
19、X2+90X-3100,0X 1 00 x-9 0(2)当该企业年产量为1 05 千件时，所获得利润最大，最大利润是1 000万元【解析】【分析】(1)年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；(2)当0 x 1 00时，根据二次函数单调性求L最大值；当X N 1 00时，根据基本不等式求最大值，继而求出L最大值.|,1 ,(1)当0 犬 1 00时，L =1 00 x-x2-1 0 x-l 1 00-2 000=-x2+90A-3100；2 2当X N 1 00时，A =1 00 x-1 1 2 0 x+-5 4 00|-2 000=-2 0 x-+3 4 00.(x-9 0)x-9 0所 以 八1 9-X2+90X-3100,0X 1 00 x-9 01 ,1(2)当0 x 1 00时，L=X2+90X-3100=-(x-9 0)2+9 5 0.2 2当x=9 0时，L 取得最大值，且最大值为9 5 0.当40 0 时 =-篙+3 4。=-2 小 一 9 0+2 2 5x-9 0+1 6 00/2 2 5)+1 6 00=1 000 当且仅当x=105时，等号成立.因为1000 9 5 0,所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.