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1、课时规范练57空间直线、平面的平行一、基础巩固练1.已知直线l,m,平面,则下列条件能推出lm的是()A.l,m,B.,=l,=mC.l,mD.l,=m2.(2024广西柳州模拟)在三棱锥D-ABC中,M,N分别是ACD,BCD的重心,以下与直线MN平行的是()A.直线CDB.平面ABDC.平面ACDD.平面BCD3.(2024陕西榆林模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是25,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1上一点,且MN平面ABC1,则线段MN的最大值为()A.22B.23C.10D.34.如图所示,平面平面,PA=6,AB=2,BD=12,则AC=.5.
2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为CC1的中点.求证:(1)BD1平面AEC;(2)平面AEC平面BFD1.6.如图,P是ABC所在平面外一点,M,N分别是PA和AB的中点,过点M,N作平行于直线AC的平面.(1)画出平面分别与平面ABC、平面PBC、平面PAC的交线;(2)试对你的画法给出证明.二、综合提升练7.(多选题)(2024重庆八中校考)如下图,点A,B,C,P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点,则满足PQ平面ABC的有()8.(2024四川绵阳模拟)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,M为线段SA上一点,且AM=2MS,平
3、面MCD与侧棱BS交于点N,则MN=.9.如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点.(1)求证:GH平面BFC.(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP平面BCF?若存在,指出P的具体位置并证明;若不存在,说明理由.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,M为PA的中点,E是线段PC上靠近C点的一个三等分点.(1)若N是线段PD上的点,MN平面ABCD,判断直线MN与BC的位置关系,并加以证明.(2)在PB上是否存在一点Q,使AQ平面BDE成立?若存在,请予以证明,若不存在,说明理由.课时规范练57空间直线、平面的平行1.B解析 选项A中
4、,直线l,m也可能异面,故A错误;选项B中,根据面面平行的性质定理,可推出lm,故B正确;选项C中,直线l,m也可能异面,故C错误;选项D中,直线l,m也可能相交或异面,故D错误.2.B解析 如图所示,取CD的中点为E,连接AE,BE,由M,N分别是ACD和BCD的重心,可得AMME=21,BNNE=21,则EMEA=ENEB=13,所以MNAB.因为直线CD与AB不平行,则直线CD与MN不平行,故A错误;因为MNAB,且MN平面ABD,AB平面ABD,所以MN平面ABD,故B正确;因为M平面ACD,N平面ACD,所以直线MN与平面ACD不平行,故C错误;因为N平面BCD,M平面BCD,所以直
5、线MN与平面BCD不平行,故D错误.3.A解析 如图,取B1C1的中点D,取BB1的中点E,连接MD,DE,ME.由三角形中位线定理,得DEBC1.又DE平面ABC1,BC1平面ABC1,所以DE平面ABC1.因为M为A1C1的中点,所以MDA1B1AB.因为MD平面ABC1,AB平面ABC1,所以MD平面ABC1.又DEMD=D,DE平面DEM,MD平面DEM,所以平面DEM平面ABC1.因为N是侧面BCC1B1上一点,且MN平面ABC1,所以N在线段DE上.因为MB1=22-12=3,则ME=MB12+B1E2=(3)2+(5)2=22.又MD=1,则线段MN的长度的取值范围为1,22,所
6、以线段MN的最大值为22.4.9解析 因为平面平面,平面平面PBD=AC,平面平面PBD=BD,所以ACBD,且PACPBD,故ACBD=PAPB=PAPA+AB,则AC12=66+2=34,解得AC=9.5.证明 (1)连接BD交AC于点O,则O为BD的中点.因为E为DD1的中点,则BD1OE.又BD1平面AEC,OE平面AEC,所以BD1平面AEC.(2)因为CC1DD1,且CC1=DD1,E为DD1的中点,F为CC1的中点,所以CFD1E,CF=D1E,所以四边形CED1F为平行四边形,所以D1FCE.因为D1F平面AEC,CE平面AEC,所以D1F平面AEC.又BD1平面AEC,BD1
7、D1F=D1,BD1平面BFD1,D1F平面BFD1,故平面AEC平面BFD1.6.(1)解 过点N作NEAC交BC于点E,过点M作MFAC交PC于点F,连接EF,则平面MNEF即为平行于直线AC的平面,直线NE,EF,MF分别是平面与平面ABC,平面PBC,平面PAC的交线.(2)证明 NEAC,MFAC,NEMF,直线NE与MF共面,直线NE,EF,MF分别是平面MNEF与平面ABC,平面PBC,平面PAC的交线.NEAC,NE平面MNEF,AC平面MNEF,AC平面MNEF.故平面MNEF为所求的平面.7.BD解析 对于A,如图,连接BD,则BDPQ.又平面ABCBD=B,则BD平面AB
8、C,故直线PQ与平面ABC不平行,故A不正确;对于B,根据三角形中位线定理可得,PQAC,PQ平面ABC,AC平面ABC,所以PQ平面ABC,故B正确;对于C,如图,取FN的中点D,连接EF,MN,CD,BD,PC,QD.由题意得,ABEF,PQMN,EFMNCD.又ACDQ,CPBD,所以A,B,C,D,P,Q六点共面,故C不正确;对于D,如图,连接PD交AB于点O,连接OC.在正方体中,由于四边形APBD为正方形,所以O为PD中点.又C为DQ中点,所以OCPQ.因为PQ平面ABC,OC平面ABC,所以PQ平面ABC,故D正确.故选BD.8.43解析 因为ABCD,AB平面SAB,CD平面S
9、AB,所以CD平面SAB.因为平面CDMN平面SAB=MN,CD平面CDMN,所以CDMN,则ABMN,故MNAB=SMSA=13,所以MN=43.9.(1)证明 连接BD.四边形ABCD为平行四边形,G是线段BD的中点,则G,H分别是线段BD,DF的中点,故GHBF.又BF平面BFC,GH平面BFC,故有GH平面BFC.(2)解 存在,P是线段CD的中点.理由如下:由(1)可知,GHBF.又GH平面GHP,BF平面GHP,BF平面GHP.连接PG,PH,P,H分别是线段CD,DF的中点,则HPCF.又HP平面GHP,CF平面GHP,CF平面GHP.BFCF=F,BF平面BCF,CF平面BCF
10、,故平面GHP平面BCF.10.解 (1)MNBC,理由如下:因为MN平面ABCD,MN平面PAD,平面PAD平面ABCD=AD,所以MNAD.又因为四边形ABCD为平行四边形,则BCAD,所以MNBC.(2)当Q是PB的中点时,AQ平面BDE.理由如下:取PE的中点F,连接QF.因为Q为PB的中点,所以QFBE.因为QF平面BDE,BE平面BDE,所以QF平面BDE.连接AC交BD于点O,则O为AC的中点.又E是PC靠近C的一个三等分点,所以E为CF的中点.连接AF,则OEAF.因为AF平面BDE,OE平面BDE,所以AF平面BDE.又QFAF=F,QF平面AQF,AF平面AQF,所以平面AQF平面BDE.因为AQ平面AQF,所以AQ平面BDE.7