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1、 课时规范练42空间直线、平面的垂直关系基础巩固组1.(2021广东珠海一模)已知,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l的是()A.lm,ln,m,nB.lm,mC.,lD.lm,m答案:D解析:由,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:对于选项A,lm,ln,m,n,则l与相交、平行或l,故A错误;对于选项B,lm,m,则l与相交、平行或l,故B错误;对于选项C,l,则l与相交、平行或l,故C错误;对于选项D,lm,m,则由线面垂直的判定定理得l,故D正确.2.(2021河北沧州模拟)如图,已知AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径,且ABCD,若
2、该圆柱的侧面积是其上底面面积的23倍,则AB与平面BCD所成的角为()A.6B.4C.3D.512答案:C解析:如图,连接AC,AD.设EF为圆柱下底面内与CD垂直的直径,记EFCD=H,连接AH,BH,由对称性可知:AHCD,BHCD,AHBH=H,CD平面ABH,设AMBH,垂足为M,则CDAM,CDBH=H,AM平面BCD,直线AB在平面BCD内的射影为BM,易知点M在BH上,ABH为AB与平面BCD所成的角.2HFBF=23HF2,BF=3HF,tanABH=tanBHF=BFHF=3,ABH=BHF=3,AB与平面BCD所成的角为3.3.(2021安徽定远中学高三月考)在正方体ABC
3、D-A1B1C1D1中,给出下列四个推断:A1C1AD1;A1C1BD;平面A1C1B平面ACD1;平面A1C1B平面BB1D1D.其中正确推断的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,在中,由正方体的性质可知AD1BC1,A1C1B即为异面直线A1C1与AD1所成的角,在A1C1B中显然A1C1B=60,A1C1与AD1成60角,故错误;在中,A1C1AC,ACBD,A1C1BD,故正确;在中,A1C1AC,AD1BC1,A1C1BC1=C1,ACAD1=A,A1C1平面A1C1B,BC1平面A1C1B,AC平面ACD1,AD1平面ACD1,平面
4、A1C1B平面ACD1,故正确;在中,A1C1B1D1,A1C1BB1,B1D1BB1=B1,B1D1平面BB1D1D,BB1平面BB1D1D,A1C1平面BB1D1D,又A1C1平面A1C1B,平面A1C1B平面BB1D1D,故正确.4.(2021陕西宝鸡模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB中点,F是DC上的点,AB=2DF,PH为PAD中AD边上的高.(1)证明:PH平面ABCD;(2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;(3)证明:平面EFC平面PAB.(1)证明:AB平面PAD,PH平面PAD,PHAB.又PHAD
5、,ADAB=A,PH平面ABCD.(2)解:E是PB的中点,点E到平面BCF的距离h=12PH=12.三棱锥E-BCF的体积V=13SBCFh=1312FCADh=161212=212.(3)证明:取PA的中点为G,连接DG,EG,PD=AD,DGPA,又AB平面PAD,平面PAD平面PAB.又平面PAD平面PAB=PA,DGPA,DG平面PAD,DG平面PAB.由点E,G是棱PB,PA的中点,则EG12AB,又DF12AB,EGDF,DGEF,EF平面PAB.EF平面EFC,平面EFC平面PAB.5.(2021陕西西安中学二模)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是半圆弧上
6、异于C,D的点.(1)证明:直线DM平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为半圆弧上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MCOP.因为MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.综合提升组6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,
7、将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直C.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直答案:C解析:如图,作AEBD,CFBD,依题意,得AB=1,BC=2,AE=CF=63,BE=EF=FD=33.A,假设存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,BDAE,BD平面AEC.BDEC,这与BDCF矛盾,排除A.B,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC平面ACD,从而平面ACD平面BCD,即点A在底面B
8、CD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除B.C,若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD平面ABC,从而平面ABC平面BCD.取BC的中点M,连接ME,则MEBD,AEM就是二面角A-BD-C的平面角,此角显然存在,即当点A在底面上的射影位于BC的中点时,直线AB与直线CD垂直,故C正确.D,由上所述,可排除D.故选C.7.(2021江苏宿迁期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=PA=2,AB=1,E为PC的中点.求证:(1)BEPD;(2)BE平面PAD;(3)平面PCD平面PAD.证明:(方法一)(1)如图,取PD的中点F,
9、连接AF,EF,因为E为PC的中点,所以FEDC,且FE=12DC,又因为DC=2AB,ABDC,所以FEAB,且FE=AB,所以四边形ABEF是平行四边形,所以BEAF.又因为PA=AD,F为PD的中点,所以AFPD,所以BEPD.(2)由(1)知BEAF,AF平面PAD,BE平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为PA底面ABCD,所以PAAB.又因为ADAB,PAAD=A,所以AB平面PAD.又因为ABDC,所以DC平面PAD.又因为DC平面PCD,所以平面PCD平面PAD.(方法二)因为PA底面ABCD,ADAB,所以PA,AB,AD两两互相垂直.以点A为坐标原点,AB,AD,AP所
10、在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.由题意可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1).(1)因为BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2),所以BEPD=0,所以BEPD.(2)因为AD=(0,2,0),AP=(0,0,2),DC=(2,0,0),所以ADDC=0,APDC=0.又ADAP=A,所以DC=(2,0,0)为平面PAD的一个法向量.因为BE=(0,1,1),所以BEDC=0.又BE平面PAD,所以BE平面PAD.(3)由(2)知DC为平面PAD的一个法向量,则DC平面PAD.又DC平面PCD,所以平面PCD平
11、面PAD.8.(2021河北衡水中学周测)如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F分别为边AB,AD的中点.现将ADE沿DE折起,得四棱锥A-BCDE.(1)求证:EF平面ABC;(2)若平面ADE平面BCDE,求四面体FDCE的体积.(1)证明:如图,取线段AC的中点M,连接MF,MB.因为F,M为AD,AC的中点,所以MFCD,且MF=12CD.在折叠前,四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,所以BECD,且BE=12CD.所以MFBE,且MF=BE.所以四边形BEFM为平行四边形,故EFBM.又EF平面ABC,BM平面ABC,所以EF平面ABC.(2)解:在折叠前,四边形ABC
12、D为矩形,AD=2,AB=4,E为AB的中点,所以ADE,CBE都是等腰直角三角形,且AD=AE=EB=BC=2.所以DEA=CEB=45,且DE=EC=22.又DEA+DEC+CEB=180,所以DEC=90,即DECE.又平面ADE平面BCDE,平面ADE平面BCDE=DE,CE平面BCDE,所以CE平面ADE,即CE为三棱锥C-EFD的高.因为F为AD的中点,所以SEFD=1212ADAE=1422=1,所以四面体FDCE的体积V=13SEFDCE=13122=223.创新应用组9.(2021浙江宁波十校联考)如图所示,已知ABC与BCD所在平面互相垂直,BAC=60,BCD=90,AB
13、=AC,CD=2BC,点P,Q分别在边BD,CD上,沿直线PQ将PQD翻折,使D与A重合.(1)证明:ADPQ;(2)求直线AP与平面ABC所成角的正弦值.(1)证明:由题意可得AP=DP,AQ=DQ.取线段AD的中点R,连接PR,QR,显然ADPR,ADQR.因为PRQR=R,PR平面PQR,QR平面PQR,所以AD平面PQR,所以ADPQ.(2)解:设BC=2,则AB=AC=2,CD=4,BD=AD=25.由余弦定理得cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=20+20-422525=910,AP=DP=12ADcosADB=1095,DP=59BD,BP=49BD.过P作PHBC于点H,因为平面ABC平面BCD,所以PH平面ABC.连接AH,所以PAH就是直线AP与平面ABC所成的角.在PAH中,PH=49CD=169,sinPAH=PHAP=1691095=8525.即直线AP与平面ABC所成角的正弦值为8525.