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1、2024年中考数学模拟试题汇编开放性问题一.解答题1.（2024河北石家庄一模）如图，抛物线y=x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明
2、理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；（2）由s=MN=NPMP，即可得s=t2+t+1（t+1），化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程： t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可【解答】解：（1）当x=0时，y=1，A（0，1），当x=3时，y=32+3+1=2.5，B（3，2.5），设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得：，直线AB的解析式为y=x+1；（2）根据题意得：s=MN=NPMP=t2+t+1（t+1）=
3、t2+t（0t3）；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有t2+t=，解得t1=1，t2=2，当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NPMP=，又在RtMPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NPMP=，又在RtMPC中，MC=，故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用2.（2024河北石家庄一模）如图1，一副直
4、角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90EDF=30，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m第2题【考点】相似形综合题【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质
5、可以证明DE=CE，PBE=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论；（操作2）作EMAB，ENBC于M、N，根据两个角对应相等证明MEPNWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，PBE=C=45，BEC=FED=90BEP=CEQ，在BEP和CEQ中，BEPCEQ（ASA），EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM
6、：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EMAB于点M，作ENBC于点N，在四边形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180，又EPB+MPE=180，MPE=EQN，RtMEPRtNEQ，=，RtAMERtENC，=m=，=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，0m2+，（因为当m2+时，EF和BC变成不相交）【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定
7、理进行推理的能力，证明过程类似3.（2024河大附中一模）(本题满分9分) 如图(1)，线段AB=4，以线段AB为直径画O，C为O上的动点，连接OC，过点A作O的切线与BC的延长线交于点D，E为AD的中点，连接CE(1)求证：CE是O的切线；第2题(2)当CE= 时，四边形AOCE为正方形？ 当CE= 时，CDE为等边三角形时？答案：4.（2024河大附中一模）（本题满分10分）在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC. 问题发现： (1)如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时（不与点B重合），如图1，请你判断线段
8、CE，BD之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）； 拓展探究： (2)如果AB=AC，BAC= 90，当点D在线段BC的延长线上时，如图2，请判断中的结论是否仍然成立，如成立，请证明你的结论。 问题解决： (3)如图3，ABAC，BAC90。，若点D在线段BC上运动，试探究：当锐角ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍然成立（点C、E重合除外）。此时作DFAD交线段CE于点F，AC=3，线段CF长的最大值是 答案：第4题答案：5. （2024黑龙江大庆一模）（本题9分）在平面直角坐标系中，有三点A（-1，0），B（0，错误！未找到引用源。），C（3，0）（1）求过点A、B、C的抛物线
9、的解析式；（2）如图1，在线段AC上有一动点P，过P点作直线PDAB交BC于点D，求出PBD面积的最大值；（3）如图2，在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点Q，使QBD的面积与PBD面积相等，如存在，直接写出Q点坐标，如不存在，请说明理由 第5题图1 图2答案：解:（1）所求的函数解析式过A（-1，0），B（0，），C（3，0），设所求的函数解析式为：，当，时，解得：，所求的函数解析式为: 或2分（2）A（-1，0），B（0，），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OBAC，在RtAOB和RtBOC中，tanBAO= ，tanBCO=，BAO=60，BCO=30则ABC=90，ABB
10、C，BC=2OB=；又ABBC，PD/AB，PDAC，P在线段AC上，设P（m，0），PC=3-mBCO=30，PDAC，PD=PC=；DC=，BD=BC-DC=，=，PBD面积的最大值是；（3）（，），（，），（1，），（2，） 图1 图26. （2016黑龙江齐齐哈尔一模）（本题8分）如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.求抛物线解析式；求抛物线顶点D的坐标；若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时DP的长.DE答案 ：解：（1）y=-x2+2x+3； （2）D（1，4）； （3）1或7. 7.（2024黑龙江齐齐哈尔一模）
11、（本题12分）如图，矩形ABCD的顶点A在轴的正半轴上，顶点D在轴的正半轴上，点B、点C在第一象限，sinOAD=，线段AD、AB的长分别是方程的两根（ADAB）（1）求点B的坐标；（2）求直线AB的解析式； （3）在直线AB上是否存在点M，使以点C、点B、点M为顶点的三角形与OAD相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 答案：（1）过点B作BEx轴于点E. 解方程得.ADABAD=8，AB=3. OAD=,OAD=60.BAE=30OA=ADcos60=4AE=ABcos30=3=，BE=ABsin30= B点的坐标为（）（2）设直线AB的解析式为y=kx+b(k0). 则
12、，解得直线AB的解析式为y=x-. 错误！未找到引用源。（3）存在，、 8. （2024湖北襄阳一模） (本题11分）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长 线上一点，连接AP，作PFAP，使PFPA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG（1）求证：GCFFCE；（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由 第8题答案：（1）证明：过点F作FHBE于点H，HKM 四边形ABCD是正方形， ABCPHFDCB90,ABBC，
13、 BAPAPB90 APPF, APBFPH90 FPHBAP 又APPF BAPHPF PHAB，BPFH PHBC BPPCPCCH CHBPFH 而FHC90. FCHCFH45 DCF904545 GCFFCE （2）PGPBDG 证明：延长PB至K，使BK=DG, 四边形ABCD是正方形 AB=AD, ABKADG=90 ABKADG AK=AG, KABGAD, 而APF=90 ,AP=PF PAFPFA45 BAPKABKAP45 PAF KAPGAP KP=PG, KBBP=DGBPPG 即，PGPBDG； （3）存在. 如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形
14、， 则MDPF，且MDFP， 又PF=AP， MD=AP 四边形ABCD是正方形， AB=AD，ABP=DAM ABPDAM AMBP=2， BMABAM=52=3. 当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形 9.（2024湖北襄阳一模）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E是否存在点Q，
15、使以点B、Q、E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；第9题答案：解：（1）由抛物线过点A（3，0），B（1，0），则 解得 二次函数的关系解析式 （2）连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N4分设点P坐标为（m，n），则 PM =，AO=3（5分） 当时，OC=2 8分 0，当时，函数有最大值 此时 存在点，使ACP的面积最大 （3）存在点Q，坐标为：，分BQEAOC，EBQAOC，QEBAOC三种情况讨论可得出10. (2024上海闵行区二模)如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名
16、称矩形【考点】多边形【专题】新定义；开放型【分析】我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等，任选一个即可【解答】解：矩形、正方形的两条对角线相等故答案为：矩形【点评】本题考查了多边形，知道我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等是解题的关键方案设计一.解答题1.（2024河北石家庄一模）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是y1=0.1x+6（x0） 乙种收费的函数关系式是y2=0.12x（x0）（2）
17、该校某年级每次需印制100450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？第1题【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的应用【专题】优选方案问题；待定系数法【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1y2时，当y1=y2时，当y1y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式【解答】解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得，12=100k1，解得：，k1=0.12，y1=0.1x+6（x0），y2=0.
18、12x（x0）；（2）由题意，得当y1y2时，0.1x+60.12x，得x300；当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；当y1y2时，0.1x+60.12x，得x300；当100x300时，选择乙种方式合算；当x=300时，甲、乙两种方式一样合算；当300x450时，选择甲种方式合算答：印制100300（含100）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计
19、方案是难点2. （2024河大附中一模）（10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等 (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，且购进电冰箱少于40台，请确定获利最大的方案以及最大利润 (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这
20、100台家电销售总利润最大的进货方案。答案：3.（本题8分）如图，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，A、B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米，A、B两个单位的水平距离CE=96米，现准备修建一座与街道垂直的过街天桥（1）天桥建在何处才能使由A到B的路线最短？（2）天桥建在何处才能使A、B到天桥的距离相等？分别在图1、图2中作图说明（不必说明理由）并通过计算确定天桥的具体位置 第3题 图1 图2答案：解：（1）如答图1，平移B点至B使BB=DE，连接AB交CE于F，在此处建桥可使由A到B的路线最短；此时易知ABBG，ACFBDG，设CF=x，则GD=96-x，解得x=64，
21、即CF=64米，将天桥建在距离C点64米处，可使由A到B的路线最短；3分（2）如答图1，平移B点至B使BB=DE，连接AB交CE于F，作线段AB的中垂线交CE于P，在此处建桥可使A、B到天桥的距离相等；此时易知ABBG，另OP为AB中垂线，ACFBDGPOF，设CP=x，则PF=CF-x，由（1）得CF=64，PF=64-x；在RtACF中，由勾股定理得AF=80，FB=40，又O为AB中点，FO=20，解得x=39，即CP=39米，将天桥建在距离C点39米处，可使由A到B的路线最短7分（其它如作对称点等构造方法，只要合理即可酌情得分）4. （2024河南三门峡一模）（10分）春节期间，某超市
22、鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/斤千米）甲养殖场2000.012乙养殖场1400.015（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x公斤，从乙养殖场调运鸡蛋y公斤，根据题意得： ，解得：，500800，700900，符合条件答：从
23、甲、乙两养殖场各调运了500公斤，700公斤鸡蛋； （2）从甲养殖场调运了x公斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200x）公斤鸡蛋，根据题意得：解得：300x800，总运费W=2000.012x+1400.015（1200x）=0.3x+2520，（300x800），W随x的增大而增大，当x=300时， W最小=2610元，每天从甲养殖场调运了300公斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900公斤鸡蛋，每天的总运费最省5. （2024天津北辰区一摸）（本小题10分） 甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品. 春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分
24、打7折.设（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示购物金额.（）根据题意，填写下表：（单位：元）120180200 甲商场96160208乙商场120180200购物金额商品原价（）分别就两家商场的让利方式，写出关于的函数解析式； （）春节期间，当在同一商场累计购物超过200元时，哪家商场的实际花费少？解：（）120180200 260甲商场96144160208乙商场120180200242（）甲商场：（）； 乙商场： 7分 （） ， 由，得. 当购物金额按原价大于200元而小于600元时，在甲商场购物省钱；当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；当购物金额按原价大于600
25、元时，在乙商场购物省钱.6. （2024天津南开区二模）某中学在“五月份学习竞赛月”中举办了演讲、书法、作文、手抄报、小品、漫画六项比赛某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30台派往A地，20台派往B地.两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出考点：一次方程（组）的应用一元一次不等式的应用答案
26、：见解析试题解析：（1）y=（30x）1800+（x10）1600+1600x+（30x）1200=200x+74000，10x30；（2）200x+7400079600，解得x28，三种方案，依次为x=28，29，30的情况当x=28时，派往A地28台乙型联合收割机，那么派往B地2台乙，派往A地的2台甲型收割机，派往B地18台甲当x=29时，派往A地29台乙型联合收割机，那么派往B地1台乙，派往A地的1台甲型收割机，派往B地19台甲当x=30时，派往A地30台乙型联合收割机，那么派往B地0台乙，派往A地的0台甲型收割机，派往B地20台甲7. (2024陕西师大附中模拟) (7分)某游泳馆普通
27、票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；银卡售价150元/张，每次凭卡另收费10元暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通卡消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算600OxyABCD（本题满分7分） 解：（1）选择银卡消费时：，选择普通卡消费时：y=20x（2），当x=0时，y=150，所以点A的坐标为（0，150）；解方程组得：，所以点B的坐标
28、为（15，300）；解方程组得：，所以点C的坐标为（45，600）（3）由图象可以看出：当0x15时，普通卡消费更划算；当15x45时，银卡消费更划算；当x45时，金卡消费更划算操作探究一.选择题1. （2016泰安一模）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分DEF的面积是（）A7.5cm2B5.1cm2C5.2cm2D7.2cm2【考点】翻折变换（折叠问题）【专题】计算题【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化，得出AE=AE，再利用勾股定理得出AE2+AD2=ED2，从而求出x，进而得出DE的长，再求出DEF的
29、面积【解答】解：按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，AB=3cm，BC=5cm，AD=AB=3cm，假设AE=x，则AE=xcm，DE=5x（cm），AE2+AD2=ED2，x2+9=（5x）2，解得：x=1.6，DE=51.6=3.4（cm），DEF的面积是：3.43=5.1（cm2）故选B二.填空题1. （2024天津市和平区一模）长为1，宽为a的矩形纸片（a1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作
30、终止（I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为1a；（）当n=3时，a的值为或（用含a的式子表示）【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽当a1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1a，a由1aa可知，第二次操作时所得正方形的边长为1a，剩下的矩形相邻的两边分别为1a，a（1a）=2a1由于（1a）（2a1）=23a，所以（1a）与（2a1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论又因为可以进行三次操作，故分两种情况：1a2a1；1a2
31、a1对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值【解答】解：由题意，可知当a1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1a，所以第二次操作时正方形的边长为1a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1a，2a1故答案为：1a；此时，分两种情况：如果1a2a1，即a，那么第三次操作时正方形的边长为2a1经过第三次操作后所得的矩形是正方形，矩形的宽等于1a，即2a1=（1a）（2a1），解得a=；如果1a2a1，即a，那么第三次操作时正方形的边长为1a则1a=（2a1）（1a），解得a=故答案为：或【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两
32、种情况：1a2a1；1a2a1分别求出操作后剩下的矩形的两边2. (2024郑州二模)已知一个矩形纸片OACB，OB6，OA11，点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O折叠该纸片，得折痕OP和点B，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得折痕PQ和点C，当点C恰好落在边OA上时BP的长为答案： 3. (2024上海浦东模拟)定义运算“”：规定xy（其中a、b为常数），若113，11，则12 4 4. （2024江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试）如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在O上，顶点C、D在O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转，使点D落在O上若正方形ABC
33、D的边长和O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为cm答案：三.解答题1.（2024河北石家庄一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90EDF=30，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明
34、）m第1题【考点】相似形综合题【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，PBE=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论；（操作2）作EMAB，ENBC于M、N，根据两个角对应相等证明MEPNWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，PBE=C=45，B
35、EC=FED=90BEP=CEQ，在BEP和CEQ中，BEPCEQ（ASA），EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EMAB于点M，作ENBC于点N，在四边形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180，又EPB+MPE=180，MPE=EQN，RtMEPRtNEQ，=，RtAMERtENC，=m=，=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，0m2+，（因为当m
36、2+时，EF和BC变成不相交）【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似2. (2024郑州二模)（10分）如图1，在RtABC中，ACB90，B60，D为AB的中点，/EDF90，DE交AC于点G，DF经过点C（1）求/ADE的度数；（2）如图2，将图1中的EDF绕点D顺时针方向旋转角（060），旋转过程中的任意两个位置分别记为E1DF1，E2DF2，DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC于点M，DF2交直线BC于点N，求的值；（3）若图1中B（6090），（2）中的其余条件不变，请直接写出的值
37、（用含的式子表示）【解答】解：（1）ACB=90，D为AB的中点，CD=DB，DCB=B. B=60，DCB=B=CDB=60CDA=120.EDC=90，ADE=30；（2）C=90，MDN=90，DMC+CND=180.DMC+PMD=180，CND=PMD.同理CPD=DQN.PMDQND. 过点D分别做DGAC于G，DHBC于H.可知DG，DH分别为PMD和QND的高. DGAC于G，DHBC于H，DGBC.又D为AB中点，G为AC中点.C=90，四边形CGDH 为矩形，有CG=DH=AG，RtAGD中，.即.（3）=tan（90）（=.3. （2024广东东莞联考）如图，在ABC中，
38、AB=AC，AD是高，AM是ABC外角CAE的平分线（1）用尺规作图方法，作ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断ADF的形状（只写结果）【考点】等腰三角形的判定与性质；作图基本作图【专题】作图题【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F（2）求出BAD=CAD，求出FAD=180=90，求出CDF=AFD=ADF，推出AD=AF，即可得出答案【解答】解：（1）如图所示：（2）ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：AB=AC，ADBC，BAD=C
39、AD，AF平分EAC，EAF=FAC，FAD=FAC+DAC=EAC+BAC=180=90，即ADF是直角三角形，AB=AC，B=ACB，EAC=2EAF=B+ACB，EAF=B，AFBC，AFD=FDC，DF平分ADC，ADF=FDC=AFD，AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形【点评】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中4. （2024广东东莞联考）在由mn（mn1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：mnm+nf123213432354257347猜想：当m、n互质时，在mn的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是f=m+n1（不需要证明）；（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立【考点】作图应用与设计作图；规律型：图形的变化类【分析】（1）通过观察即可得出当m、n互质时，在mn的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式，（2）当m、n不互质时，画出图即可验证猜想的关系式不成立【解答】解：（1）表格中分别填6，6mnm