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1、7 7.5 5 正态分布正态分布第第七七章章随机变量及其分布随机变量及其分布一般地，在一般地，在n重伯努利重伯努利试验试验中，中，设设每次每次试验试验中事件中事件A发发生的概率生的概率为为p(0p0为为参数参数.其中（E（X）=，D（X）=2）PX-60-4-200.150.05图(3)0.100.20426探究新知探究新知五五.正正态态分布分布PX-60-4-200.150.05图(3)0.100.20426其中其中R，0为为参数参数.显显然，然，对对任意的任意的xR，f(x)0，它的，它的图图象在象在x轴轴的上方，可以的上方，可以证证明明x轴轴和曲和曲线线之之间间的的区域的面区域的面积为积
2、为1.特特别别地，当地，当=0,=1时时，称随机，称随机变变量量X服从服从标准正态分布标准正态分布.y012-1-2x-33=0=1我我们们称称f(x)为为正态密度函数正态密度函数，称它的，称它的图图象象为为正态密度曲线正态密度曲线，简简称称正态曲线正态曲线.若随机若随机变变量量X的概率分布密度函数的概率分布密度函数为为f(x)，则则称随机称随机变变量量X服从服从正态分布正态分布，记为记为XN(,2).100个数据(食盐质量误差)100个数据的频率分布直方图轮廓n(n100)个数据的频率分布直方图轮廓接近一条光滑的钟型曲线正态密度曲线探究新知探究新知问问3 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率
3、分布的呢？正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？探究新知探究新知若若XN(，2)，则如右图所示，则如右图所示，面积即为概率！X取值不超过取值不超过x的概率的概率P(Xx)为图中为图中区域区域A的面积的面积，而而P(aXb)为区域为区域B的面积的面积.f(x)x aA图(4)BxbO探究新知探究新知问问4 观察正态曲线及相应的密度函数观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点你能发现正态曲线的哪些特点?f(x)x aA图(4)BxbO其中其中R，0为为参数参数.由由X的密度函数及的密度函数及图图象可以象可以发现发现，正，正态态曲曲线线有以下特点有以下特点:探究新知探究新知问
4、问5一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响有何影响?它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征?312=0.5=-1=0=1 由于正由于正态态曲曲线线关于关于x=对对称，因此，当称，因此，当参数参数固定固定时时，正正态态曲曲线线的的位置由位置由确定确定，且，且随着随着的的变变化而沿化而沿x轴轴平移，平移，故故称为位置参数称为位置参数所以参数所以参数反映了正态分布反映了正态分布的的集中位置集中位置，可以用，可以用均值均值来估来估计，故有计，故有E(X)=.探究新知探究新知问问5一个正态分布由参数一个正态分
5、布由参数和和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响有何影响?它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征?=0=0.5=1=2越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布表示总体的分布越分散越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布表示总体的分布越集中越集中.所以所以反映了随机反映了随机变变量的分布相量的分布相对对于均于均值值的的离散程度离散程度，可以用，可以用标标准差准差来估来估计计，故有，故有D(X)=2.(1)曲线曲线在在x轴的上方轴的上方，与，与x轴不相交；轴不相交；(3)曲线与曲线与x轴之间的轴之间的面积为面
6、积为1；(4)当当一定时，一定时，越大越大，曲线越曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的，表示总体的分布越分散分布越分散；越小越小，曲线越曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的，表示总体的分布越集中分布越集中.(5)参数参数反映了正态分布的反映了正态分布的集中位置集中位置，反映了随机变量的分布相对于反映了随机变量的分布相对于均值均值的的离散程度离散程度.在实际问题中，参数在实际问题中，参数,可以分别用可以分别用样本均值样本均值和和样本标准差样本标准差来估计，来估计，故有故有(2)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线x=对称对称，且在且在x=处取得处取得最大值最大值 ；归纳总结归纳总结f(x)x a
7、ABxbO六六.正正态态曲曲线线的性的性质质：课堂练习课堂练习1.如图所示，是一个正态曲线试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差例题讲解例题讲解P86-例例.李明上学有时坐公交车,有时骑单车,他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑单车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X，Y的分布中的参数；(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；解：(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6，随机变量Y的样本
8、均值为34，样本标准差为2，用样本均值估计参数用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，用样本标准差估计参数，可得XN(30，62)，YN(34，22).例题讲解例题讲解P86-例例.李明上学有时坐公交车,有时骑单车,他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑单车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X，Y的分布中的参数；(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；解：(1)XN(30，62)，YN(34，22).若有38 min可用，则骑单车不迟
9、到的概率大，应选择骑单车；若只有34 min可用，则坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图知，P(X38)P(Y34).正态曲线下的面积规律：正态曲线下的面积规律：-x1 -x2 x2 x1 a-a正态曲线下正态曲线下对称区域的面积相等对称区域的面积相等对应的概率也相等对应的概率也相等利用利用“对称法对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率求正态分布下随机变量在某个区间的概率探究新知探究新知01 2-1-2xy-33 4=10.51-aa1-a1-2a1.若若XN(2,32)，则，则E(X)=_，D(X)=_.2932 2.XN(,2
10、)，若，若E(X)=3，(X)=2，则，则=_，=_.3.若若XN(1,2)，且，且P(X1)=_；(2)P(X0)=_；(3)P(X2)=_；(4)P(X2)=_；(5)P(0X2)=_；(6)P(0X1)=_.0.5-a课堂练习课堂练习探究新知探究新知 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)，某地每年7月的平
11、均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布.正正态态曲曲线线的的应应用用 假假设设XN(,2)，可以，可以证证明明:对给对给定的定的kN*，P(-kX+k)是一个只与是一个只与k有关的定有关的定值值.由此看到，尽管正由此看到，尽管正态变态变量的取量的取值值范范围围是是(-,+)，但在一次，但在一次试验试验中，中，X的取的取值值几几乎乎总总是落在区是落在区间间-3,+3内，而内，而在此区在此区间间以外取以外取值值的概率大的概率大约约只有只有0.0027，通常，通常认为这认为这种情况几乎不可能种情况几乎不可能发发生生.在在实际应实际应用中用中,通常通常认为认为服从于正服从于正态态分布分布N
12、(,2)的随的随机机变变量量X只取只取-3,+3中的中的值值,这这在在统计统计学中称学中称为为3原则原则.七七.3原原则则探究新知探究新知探究新知探究新知P87-1.设随机变量XN(0,1)，则X的密度函数为_,P(X0)=_，P(|X|1)=_,P(X1)=_.(精确到0.0001.)0.50.68270.84140.1586方法：把普通的待求区间向方法：把普通的待求区间向(，+)，(2，+2)，(3，+3)这三个区间进行转化，然后利用这三个区间进行转化，然后利用3个特殊概率、个特殊概率、0.5、1等求出相等求出相应概率应概率.八八.正正态态曲曲线线和和3原原则则的的应应用用归纳总结归纳总结
13、(1)利用正态密度曲线的利用正态密度曲线的对称性对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线态曲线关于直线关于直线x对称对称，曲线与，曲线与x轴之间的区域的轴之间的区域的面积为面积为1.(2)利用利用3原则原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与,进行进行对对比联系比联系，确定它们属于，确定它们属于,，2,2，3,3中中的哪一个的哪一个.正态分布下两类常见的概率计算正态分布下两类常见的概率计算课堂练习课堂练习P87-2.某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,5)，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1)P(165175)=_0.68270.158650.15865P87-4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，请你估计这批袋装食盐的合格率.