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1、课题：数列的概念（第 1 课时）人教 A 版选择性必修二第四章数列一、教学内容及内容解析1. 单元内容整体分析对数列的研究源自于现实生产、生活的需要，早在 13 世纪斐波拉契在计 算之书中就用数列记录每个月兔子的生长数目， 我们日常生活中遇到的大量的 实际问题， 如贷款、利率、人口增长、放射性物质的衰败等都可以用数列进行刻 画，因此通过这部分的学习， 将帮助学生认识数学与现实世界和实际生活的联系， 培养和发展学生应用数学知识解决实际问题的能力.另外，数列是数学运算、逻 辑推理训练的重要载体，对于发展学生的核心素养有很好的促进作用.数列的本质是离散型函数， 因此研究数列的基本路径类似于函数， 即
2、按照数 列的定义-数列的表示-数列的性质-数列的应用这样一条路径进行研究.本章 中我们将带领学生学习数列的概念和表示方法， 并通过其表示方法研究数列的性 质（包括单调性、前n项和）， 然后由一般到特殊， 我们将研究两类特殊的数列-等差数列和等比数列， 探索它们的取值规律， 建立它们的通项公式、前n项和公式，并应用它们解决一些生活中的实际问题.在思想方法上， 本单元主要运用函数的思想、转化化归的思想（将其他数列问题转化为等差、等比数列进行解决）、类比思想（类比等差数列研究思路来研究等比数列）、数学归纳法.2.教学内容数列的概念，数列的通项公式.3.内容解析本节课的内容在学习过程中具有承前启后的作
3、用.一方面，在数列的概念抽 象归纳过程中会应用到函数思想， 通过数列概念的学习可以进一步加深对函数的 认识，强化函数思想方法的运用；另一方面，它们给后续学习等差、等比数列奠 定了基础， 同时， 这部分的学习对于发展学生的运算能力、分析归纳能力都有很 好的促进作用.4.教学重点基于上述分析，数列的概念、通项公式是本节课的教学重点.二、教学目标及目标解析1. 教学目标（1）经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义，了解数列是一种特殊函数， 了解数列的表示方法，提升数学抽象素养.（2）理解数列的通项公式.2. 目标解析达成上述目标的标志是（1）能从实例中归纳、概括出数列的共同特征，在教师的引导下得出数
4、列的定 义和一般形式；能结合函数的定义，认识到数列是一种特殊的函数；理解数列的 表格、图像、通项公式三种表示方法.（2）能说明数列中各项的意义；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项； 能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.三、教学问题诊断及应对策略分析1. 学习者认知基础在学习本章之前， 学生在生活中已经接触到一些数列问题， 同时在函数的学习过 程中，学生已经遇见了一些离散型的函数.2. 学习者认知困难首先， 数列的概念比较抽象， 学生不太容易抓住数列概念的内涵， 所以理解数列 的概念是本节的一个难点；另外，虽然学生已经接触过了一些数列问题，但是学 生对数列内容缺乏一般性的认识， 不了
5、解研究数列的一般性的思路及方法， 这也 是本章的一个难点所在；同时在研究一些实际问题时，如何把实际问题转化为数 列问题， 比如构建数列中的等差关系、等比关系、递推关系时学生也容易遇到实 际困难.3. 教学难点基于以上的分析，我们确定本节课的难点为：（1）数列的概念；（2）研究数列 的一般性方法及思路.4. 教学策略针对难点（1），通过具体的实例采用问题驱动的方式引导学生建立排列序 号与数列的项之间的对应关系，从而理解数列的内涵及符号表示；对于难点（2） 我们在教学中去突出数列是一类特殊的函数， 类比函数的研究思路及方法， 给研 究数列提供一个大致的研究思路.四、教学过程设计（一）创设情景，构建
6、概念情景引入： 中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的九章算术中有这样一张图， 请同学们按照顺序读出这些数.得出： 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1, .在生活中，常用按顺序记录的数据来研究事物变化规律，请看下列两个实例.实例一：王芳从 1 岁到 17 岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据(单位：cm) 依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，129，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 问题 1：（1）例中的第 1、第 2、第 3、第 4 个数是分别是多少？（2）依次排列的一列数中是否存在某种对应关系
7、？是哪两个元素的对应关系？ （3）第 3、第 8 个数的实际意义是什么？师生活动：师生活动：学生回答依次回答第 1、第 2、第 3、第 4 个数是 75，87，96， 103，并由此建立排列序号与序号上的数是对应关系，并说明第 3、第 8 个数的 实际含义表示 3 岁和 8 岁生日那天的身高分别为 96cm 和 128cm，教师对学生的 回答进行评价， 并指出这列数是有顺序的， 每个特定位置上的数都有特定的含义. 实例二：在两河流域发掘的一块泥板（编号 K90，约产生于公元前 7 世纪）上，有一列依次表示一个月从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，1
8、12，128，144，160，176，192，208，224，240. 问题 2：（1）本例中哪一天的月亮可见部分的数是 128？（2）这列数是否也有顺序？师生活动：师生活动：学生回答第 8 天月亮的可见部分数是 128，例按照第 1 天，第 2 天，第 3 天， .这样的顺序排列的.教师给与评价.设计意图:问题 1 和问题 2 通过现实生活中的数列模型，让学生在贴近生活的实 际问题中探索新知,认识数列中的排列序号与序号位置上的数之间的对应关系， 认识数列是具有确定顺序的一列数根据上面三个例子我们得到如下数列按年龄顺序排列的一列数：75，87，96，103，110，116，129，128，13
9、8，145，153，158， 160，162，163，165，168. 按天数顺序排列的一列数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 按位置顺序排列的一列数： 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,. 问题 3：杨辉三角读出的那列数是否也有顺序？师生活动：学生思考交流，教师引导学生得出例也是有顺序的，可以看成按照 位置顺序排列的一列数， 同时指出三个例子都是按照固定的顺序排列的， 并给出 数列的定义.设计意图：让学生抛开背景意义，抽象概括出数列的共性，体会数列的概念. 问题 4：能否引入一个符号表示数列
10、中的数呢?师生活动:学生可能回答：用a，b，c，d,.表示.教师进行引导追问追问 1：这样表示很难反应排列序号与数之间的对应关系，能否在符号上加一个 序号.师生活动：学生在教师的引导下回答：用a1,a2,a3, .表示.教师给与评价，并 继续追问.追问 2：a4，a6的值分别是多少？师生活动：学生回答，教师继续追问a4，a6的实际意义是什么.问题 5：你能仿照数列表示数列的方式，用符号表示例、例中的数吗?师生互动：学生在数列数列表示法的基础上，得出数列、数列的表示方法. 设计意图：用数学符号表示实例中的数，让学生认识到这些数都是按照顺序排列 的.（二）揭示本质，深化概念问题 6：数列中的每一项
11、与其序号之间形成了一种一一对应的关系，请回忆我们 高一学习过的内容，什么概念也能反应这种对应关系？追问：数列是不是函数？如果是，它的对应关系和定义域是什么？师生活动：学生回答，教师归纳，数列可以看成从正整数集N + （或者它的有限 子集） 到实数集 R 的函数， 自变量是其序号 n，定义域为正整数集， 对应的函数 值是数列的第 n 项an，记为an = f(n).设计意图：通过联系函数，探究两者的共同特征，得出数列的本质，即数列是一 种特殊的函数.问题 7：得出数列的定义后，你觉得我们需要继续研究什么呢?追问 1：函数有哪些表示方式?追问 2：你能用表格和图像表示数列吗?师生活动：学生思考交流
12、， 教师引导学生根据表格和图像表示数列, 教师用 PPT 展示.结合表 1 及图 1，教师指出数列是一种离散函数.表 1问题 8：类似于函数的解析法， -的 n 次幂按 1 次幂、 2 次幂、 3 次幂、 4 次幂依次排成一列数：- ， ，- ， ， .数列的第 n 项an怎么表示？师生活动:学生回答，教师给出数列通项公式的概念，并提问学生数列能否写 出通项公式，让学生明确并不是所有的数列都有通项公式.设计意图：问题 7 和 8 通过表格、图像、通项公式，让学生认识数列是一种离散 型的函数，且和函数一样，数列有三种表示方法.问题9：结合表 1 及图 1，你能发现数列中的项随着序号的变化呈现出的
13、趋势么? 师生活动：学生交流回答， 与函数类似， 教师指出数列也有递增数列， 递减数列， 常数列的概念，并指导学生阅读教材递增数列的定义.设计意图：让学生理解，数列作为一种特殊的函数，也具有函数类似的单调性的 概念.（三）典例讲解，应用概念例 1.根据下列数列的前 4 项，写出数列的一个通项公式.（1）1， （2）1， （3）1，（4）2， ， ， ， ;-1，1，-1； ;- ， ，- ， ;0，2，0， .师生活动：先用数列（1）、（2）作为桥梁进行引导，让学生归纳推理得出这一 类摆动数列的通项特征,进而求解（3）（4）的通项，同时指出通项公式不唯一.练习：第 5 页练习题 4设计意图：通
14、过数列的前几项的规律写出通项公式，发展学生归纳推理的能力. 例 2.根据下列数列an的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图像.（1）an = ; （2）an = cos .师生活动：学生求数列前 5 项，并画出其图像.练习：第 5 页练习题 1设计意图：本例是通项公式的具体应用，通过三种表示方式认识数列是一类特殊 函数.例 3.如果数列an的通项公式是an = n2 + 2n，那么 120 是不是这个数列中的 项？如果是，是第几项？师生活动：学生思考交流，教师进行引导：判断 120 是不是数列an中的项， 就是要回答是否存在正整数n,使得n2 + 2n = 120.这个问题也就转化为
15、求方程 正整数解的问题.设计意图：本例是让学生运用通项公式解决问题.（四）归纳小结回顾本节课学习的主要内容、数学思想方法.（1）数列的概念，通项公式；（2）数列的本质是一类离散型函数；（3）函数的思想:用研究函数的方法研究数列的相关问题(数列的 3 种表示方式， 单调性)（五）作业布置习题 4.1 第 14 题（六）目标检测1.根据下列数列的通项公式，写出数列的前 5 项.（1）an = ；（2）an = (-1)n + 1 + 1.2.根据数列的前 5 项写出数列的一个通项公式.（1） ， ， ， ， ， ; （2） ， ， ， ， ， .3.数列an的通项公式为an = n24n,判断 21是不是这个数列中的项，如果 是，是第几项？设计意图：作为课时评价的一部分.五、教学评价学科网（北京）股份有限公司