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1、高等数学上册课件全集第1章极限与连续CATALOGUE目录极限的概念与性质连续性的概念与性质无穷小量与无穷大量函数的极限连续函数的性质01极限的概念与性质极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具。数列的极限是指当数列的项无限增大时，数列的项无限趋近于某一常数。极限的定义包括数列的极限和函数的极限。函数的极限是指当自变量在某一点附近无限趋近时，函数值无限趋近于某一常数。极限的定义唯一性一个函数在某点的极限是唯一的。有界性一个函数在某点的极限存在时，该点的函数值是有界的。局部保号性一个函数在某点的极限存在时，该点的函数值保持一定的符号性质。局部有界性一个函数在某点的极限存在时，该点的函数值是局部
2、有界的。极限的性质对于简单的数列或函数，可以直接代入求得极限。直接代入法通过比较两个简单函数的极限，利用夹逼定理求得原函数的极限。夹逼法对于某些复杂的函数，可以利用洛必达法则求得其极限。洛必达法则利用等价无穷小替换简化复杂的函数，从而求得其极限。等价无穷小替换极限的计算方法02连续性的概念与性质如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。即，如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x-a|delta$时，有$|f(x)-f(a)|epsilon$，则称函数$f(x)$在点$a$处连续。连续性的定义在函数图像上，连续性意味着函数图像在某一点
3、是连续的，没有间断点。连续性的几何意义连续性的定义连续性的性质性质1若函数$f(x)$在区间$a,b$上连续，则$f(x)$在区间$a,b$上必有最大值和最小值。性质2若函数$f(x)$在区间$(-infty,a)$上连续，且当$x rightarrow a$时，$f(x)rightarrow+infty$，则存在一个正数$delta$，使得当$0|x-a|M$，其中$M$是任意给定的正数。应用1求极限。利用连续函数的性质，可以更容易地求出函数的极限。应用2判断函数的增减性。通过判断连续函数的导数的正负，可以确定函数的增减性。应用3求解定积分。利用连续函数的性质，可以更容易地求解定积分。连续函
4、数的应用03无穷小量与无穷大量无穷小量是指在某个变化过程中，其绝对值可以任意小的量。定义无穷小量在极限运算中具有重要地位，是研究函数极限的基础。性质在求函数极限、导数、积分等运算中，无穷小量是必不可少的工具。应用无穷小量的定义与性质无穷大量是指在某个变化过程中，其绝对值可以任意大的量。定义无穷大量与无穷小量是相对的概念，两者在极限运算中具有相反的性质。性质在研究函数的极限行为、级数收敛等数学问题中，无穷大量有重要作用。应用无穷大量的定义与性质123无穷小量与无穷大量在极限运算中具有密切的联系，它们在某些条件下可以相互转化。关系在一定条件下，无穷小量可以转化为无穷大量，反之亦然。这种转化关系在解
5、决一些数学问题中非常有用。转化通过研究无穷小量与无穷大量的关系，可以深入理解函数的极限行为，进一步掌握高等数学的基本概念和原理。应用无穷小量与无穷大量的关系04函数的极限函数极限的数列定义如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$nN$时，有$|f(x_n)-L|varepsilon$，则称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$。函数极限的直观定义如果当$x$趋近于$a$时，函数$f(x)$的取值逐渐接近某个确定的常数$L$，则称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$。函数极限的定义唯一性如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，则该极限值是
6、唯一的。有界性如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，则存在一个正数$M$，使得当$x$趋近于$a$时，有$|f(x)|M$。局部有界性如果函数$f(x)$在点$a$处的极限存在，则存在一个正数$delta$，使得当$0|x-a|delta$时，有$|f(x)|M$。函数极限的性质函数极限的运算规则如果$lim_x to a f(x)=A quad text和 quad lim_x to a g(x)=B$，则$lim_x to a f(x)g(x)=AB quad text和 quad lim_x to a f(x)g(x)=AB$.四则运算法则如果$lim_u to a u=b qu
7、ad text且 quad lim_u to b f(u)=c$,则$lim_u to a f(u)=c$.复合运算法则05连续函数的性质零点定理是连续函数的一个重要性质，它表明如果函数在区间两端取值异号，则该区间内必存在至少一个零点。总结词零点定理可以用来证明函数的零点存在性，是数学分析中解决初值问题的重要工具。在连续函数中，如果函数在区间两端取值异号，则该区间内至少存在一个零点。详细描述零点定理总结词中值定理是数学分析中的一个基本定理，它表明如果函数在闭区间上连续且在开区间上可导，则在开区间内至少存在一个点，使得该点的导数等于函数在该区间内的平均变化率。详细描述中值定理是微分学中的基本定理之一，它提供了函数在某个点处的导数与函数在该区间内的平均变化率之间的关系。这个定理在研究函数的单调性、极值等问题中有着广泛的应用。中值定理VS积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上非负且可积，则该函数在此区间上的积分等于一个常数乘以该区间的长度。详细描述积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它提供了函数在某个区间上的积分与该区间长度之间的关系。这个定理在解决一些积分问题、研究函数的性质等方面有着广泛的应用。总结词积分中值定理THANKS感谢观看