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1、第1章极限与连续【学习目标】1.了解基本初等函数、复合函数、初等函数的定义，掌握复合函数的分解；2.了解极限的定义，会运用极限的运算法则及两个重要极限求函数极限；3.理解函数连续性的定义，会判断函数在点x0处的连续性；理解闭区间上连续函数的性质.1.基本初等函数在初等数学中，我们学习了函数的概念，即设D为非空数集，x与y是两个变量，如果对变量x在D中的每一个值，按照某种对应法则f，变量y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，xD，称x为自变量，y为因变量，对应法则f为函数关系.x的取值范围叫做函数的定义域，与x对应的y的值叫做函数值，函数值的全体叫做函数的值域.当x=x
2、0时的函数值记作y0=f(x0).以前我们学习了函数y=x,y=x-1，y=x2，y=x3等.把形如y=x(为实数)的函数叫做幂函幂函数数，还学习了指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，我们把这些函数统称为基本初基本初等函数等函数.2.复合函数与初等函数我们知道物体做简谐振动时的位移y与相位u之间的关系是y=Asinu，而相位u又是时间t的函数u=t+，从而位移y与时间t的函数关系为y=Asin(t+).定义定义设y=f(u)是以u为自变量的函数，u=(x)是以x为自变量的函数，如果当x在某一数集内取值时，函数u=(x)相应的值能使y=f(u)有意义，则称函数y=f(x)是y=f(u)和u
3、=(x)的复合函数，变量u称为中间变量.1.2函数的极限1.x时函数的极限当x取负值且绝对值无限增大时的变化趋势，叫做x趋向于负无穷大，记作x-；当x取正值且绝对值无限增大时的变化趋势，叫做x趋向于正无穷大，记作x+；当x既取负值又取正值且绝对值无限增大时的变化趋势，叫做x趋向于无穷大，记作x.由上表看出，当x+时，函数f(x)=x的值无限接近于0；当x-时，函数f(x)=2x的值无限接近于0.定义定义1 1如果当x+时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，那么A叫做函数f(x)当x+时的极限，记作如果当x-时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，那么A叫做函数f(x)当x-时
4、的极限，记作定义定义2 2如果当x时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，那么A叫做函数f(x)当x时的极限，记作由于数列an=n 和数列bn=n 分别可以看作是上面函数的自变量取正整数时的特殊情形，因此，我们给出数列极限的定义.定义3如果当n时，数列an的值无限接近于一个确定的常数A，那么A叫做数列an当n时的极限，记作2.xx0时函数的极限定义定义4 4设函数y=f(x)在x0的左右近旁有定义，如果当自变量x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当xx0时的极限，记作定义4中，x以任意方式趋向于x0，但有时只能或只需讨论x从x0的左侧无限
5、接近于x0(记为xx-0)或从x0的右侧无限接近于x0(记为xx+0)时函数f(x)的变化趋势，从而给出下面的定义.定义定义5 5如果当x从x0的左侧无限趋近于x0时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当xx-0时的左极限，记作如果当x从x0的右侧无限趋近于x0时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当xx+0时的右极限，记作显然1.3极限的运算1.极限的运算法则定理定理1 1(四则运算法则)如果极限limxx0f(x)=A，limxx0g(x)=B，则有定理定理2(2(复合函数的极限复合函数的极限)如果函数 且函数f(u)在u
6、=A处有函数值存在，则有由于数列是特殊的函数，因此，定理1和定理2也适用于数列的极限.2.两个重要极限重要极限重要极限1 1一般地，当u(x)0时，有公式重要极限2一般地，当u(x)时，有在公式e中，令t=1x，则当x时，t0，于是得1.4函数的连续性1.函数连续性的概念定义定义1 1设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，如果则称函数y=f(x)在点x0处连续，并称x0为函数的连续点连续点.定义定义2 2若函数y=f(x)在点x0的左(或右)侧近旁有定义，且有则称函数y=f(x)在点x0处左连续(或右连续).定义定义3 3如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在开
7、区间(a,b)内连续，并称区间(a,b)为函数的连续区间；如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续，同时在左端点a右连续，右端点b左连续，则称f(x)在闭区间a,b上连续.相对于连续函数而言，如果函数f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处间断，称点x0为函数f(x)的间断点.若点x0是函数f(x)的间断点，则必出现下列情形之一：2.初等函数的连续性根据定义1和极限运算法则，可推出如下结论：1)连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数；2)连续函数的复合函数仍然是连续函数；3)基本初等函数在其定义域内都连续；4)所有初等函数在其定义域内也都是连续函数.3.闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理：如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值.如图1-7所示，函数f(x)在闭区间a,b上连续，在点1处取得最大值M，在点2处取得最小值m.