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1、专题01 五大类解三角形题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）【题型1 三角形周长定值及最值】【题型2 三角形涉及长度最值问题】【题型3 三角形涉及中线长问题】【题型4 三角形涉及角平分线问题】【题型5 三角形面积最值问题】三角形周长定值及最值 ：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长第二步：利用正弦定理将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值已知的内角的对边分别为，且（）求；（）若，求的周长在中，角的对边
2、分别为，.（1）求；（2）若，求的周长.在中,角的对边分别为.(1)求;(2)若,且,求的周长.在中，且（1）求；（2）若，求的周长.1在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的周长2的内角的对边分别为(1)求；(2)若，求的周长最小值3已知函数的最小正周期为(1)求的值；(2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值4的内角A，的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.5在锐角中，(1)求角A；(2)求的周长l的范围.6记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(1)求a；(2)若，求的周长l的取值范围7设的内角所对
3、边分别为，若(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积8在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的周长l的取值范围三角形涉及长度最值问题解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.在中，已知，且.(1)试确定的形状；(2
4、)求的值已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范围.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为(1)求角A的大小；(2)当时，求的取值范围.已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.1在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围2已知的内角的对边分别为，且满足(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值3在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.4已知在锐角三角形中，边，对应角，向量，且与垂直，(1)求角；(2)求的取值范围5记的内角的
5、对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的范围.6已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围7在中，角，所对的边分别为，已知.(1)求的值；(2)若为的中点，且，求的最小值.8在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，(1)若，求的面积；(2)若为钝角三角形，求a的取值范围三角形涉及中线长问题中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）如：在与同用求中线长常用方法已知，求的范围为定值，故满足椭圆的第一定义半短轴半长轴中，则边上的中线长_.在中，边上的中线，则_中，则边上中线的长为_1已知的内角的对
6、边分别为，且满足(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值2在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.3在中，(1)若，求的面积；(2)求边上的中线的取值范围4记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)若，求边上的中线的长5已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求A；(2)若，求中BC边中线AD长6在锐角中，角、所对的边分别为、；在以上三个条件中选择一个，并作答(1)求角；(2)已知的面积为，是边上的中线
7、，求的最小值7记的内角的对边分别为，面积为，已知.(1)求的值；(2)若边上的中线，求周长的最小值.8已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且.(1)若为中线，且，求；(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围.三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在中，为边上一点，连接,设，则一定有证明过程：同时除以得在中，角所对的边分别为，交于点D，且，则的最小值为_在中，角所对的边分别为，点在边上，则的长为_已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为_ .在中，角所对的边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为_1在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且(1)求证
8、：；(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围2如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,.(1)求的大小;(2)若,求的面积.3已知的内角，的对边分别为，(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值4在中，内角、的对边分别为、，若.(1)求角的大小；(2)若，的平分线交于点，求线段长度的最大值.5已知中，内角所对的边分别为，且.(1)若的平分线与边交于点，求的值；(2)若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.6如图，在平面四边形中，的平分线交于点，且(1)求及；(2)若，求周长的最大值7中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点.(1)求角A的大小；(2)若
9、，求的长.8已知条件：；.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：_.(1)求角C的大小；(2)若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.三角形面积最值问题：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式秒杀方法：在中，已知,则： 其中 分别是的系数三角形面积公式其中分别为内切圆半径及的周长推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式（为外接圆的半径）推导：将代入可得将代入可得海伦公式（其中）推导：根据余弦定理的推论令，整理得在中，内角，的对边分别为，已知，则的面积为（ ）在，角
10、，的边分别为，且，则的内切圆的半径为（ ）已知在中，角，的对边分别为，的面积等于，则外接圆的面积为（）在中，角的对边分别为，已知,，则的面积最大值为_中，角的对边分别为，且，则面积的最大值为（）1中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.2如图，在四边形中，且的外接圆半径为4.(1)若，求的面积；(2)若，求的最大值.3已知的内角，的对边分别为，(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围4在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角A的大小；(2)若的周长为6，求面积S的最大值5已知中内角，所对边分别为，(1)求；(2)若边上一点，满足且
11、，求的面积最大值6在中，角，的对边分别是，满足.(1)求角；(2)若点D在AB上，CD2，BCD90，求ABC面积的最小值.7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，(1)求角B的大小；(2)若，求ABC面积的最大值8已知中，角，所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，点、在边上，求面积的最小值.专题01 五大类解三角形题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1 三角形周长定值及最值】【题型2 三角形涉及长度最值问题】【题型3 三角形涉及中线长问题】【题型4 三角形涉及角平分线问题】【题型5 三角形面积最值问题】三角形周长定值及最值 ：已知一
12、角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长第二步：利用正弦定理将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值已知的内角的对边分别为，且（）求；（）若，求的周长解：（）由已知得，（）第一步：求两边乘积又第二步：利用余弦定理求出两边之和，为等边三角形故三角形的周长为在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，求的周长.解：（1）求角根据，可得 所以.又因为，所以.（2）第一步：求三角各自的大小，所以，第二步：利用正弦定理求出三边的长度因为，所以
13、，则的周长为.在中,角的对边分别为.(1)求;(2)若,且,求的周长.解：因为，所以.又，解得.又，为锐角，所以.第一步：求两边乘积因为，又，所以或者，第二步：利用余弦定理求出两边之和，即，所以周长为.在中，且（1）求；（2）若，求的周长.解：（1）在中，则，由正弦定理得，. （2）第一步：求两边乘积由（1）得，第二步：利用余弦定理求出两边之和在中，由余弦定理得，又，解得（负值舍去），故.1在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的周长【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1），由正弦定理得，整理得由余弦定理得，均小于，是锐角三角形（2），又，在
14、中，由正弦定理得，即，的周长为2的内角的对边分别为(1)求；(2)若，求的周长最小值【答案】(1)(2)9【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理知，且，所以（2）由（1）可知：，整理得，且，当且仅当时，等号成立，则，即，可得，所以的周长最小值.3已知函数的最小正周期为(1)求的值；(2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值【答案】(1)(2)【详解】（1）因为最小正周期为，所以，解得，所以，所以（2）由得，由余弦定理有，即（当且仅当时取“=”），故，即为等边三角形时，周长有最大值4的内角A，的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2
15、)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.又，所以.因为，所以；（2）的面积，则.由余弦定理：，得，所以，故的周长为.5在锐角中，(1)求角A；(2)求的周长l的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），所以，所以，因为，所以， ，所以.（2），所以,所以，所以,因为是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.6记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(1)求a；(2)若，求的周长l的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以，根据正弦定理可得，所以（2）解法一：因为，所以由余弦定理可得，即因为，所以，所以，当且仅当时，取到最值又，所以，即周长l的取值范围为解法
16、二：由正弦定理知，所以，所以，因为，所以，所以,，所以,，所以,，故的周长的取值范围为,7设的内角所对边分别为，若(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积【答案】(1)2(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，由正弦定理，得，即（2）由可得：，故，于是，由正弦定理及余弦定理可得：，解得：(舍)或者，故，因为，所以当时，周长最小，此时，所以，所以的面积为8在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的周长l的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，可得，即，即，所以，又因为，所以.（2）解：由正弦
17、定理，可得，所以三角形的周长，因为，可得，所以，因为，可得，所以，所以，故的周长的取值范围为.三角形涉及长度最值问题解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.破解：（1）第一步：因为，整理得，所以，第二步：由正弦定理得：，因为，所以，所以.（2）第一步：因为为锐角三角形，所以，且，所以，第二步：解
18、法，因为，所以，第三步：所以，即的取值范围是.第一步：解法，因为，所以，得，第二步：所以，即的取值范围是.在中，已知，且.(1)试确定的形状；(2)求的值破解：（1）第一步：在中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，代入，得，所以，第二步：因为，所以，所以，由正弦定理，得，所以，把代入得，即，所以是直角三角形；（2）第一步：由（1）知，即，所以，第二步：又，所以，所以.已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范围.破解：（1）第一步：.由，即.第二步：为锐角三角形，.（2）第一步：由正弦定理，.，.第二步：，.第三步：是锐角三角形，且.
19、，.综上，的取值范围为.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为(1)求角A的大小；(2)当时，求的取值范围.破解：（1）第一步：由正弦定理得：，所以，即，第二步：因为，所以，又，所以（2）第一步：，由正弦定理，所以，第二步：因为为锐角三角形，所以，则，所以，所以已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.破解：（1）第一步：在中，由余弦定理得，所以，所以，第二步：又因为为锐角三角形，所以，所以.（2）第一步：在中，由正弦定理得，所以，第二步：因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以的取值范围为.1在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，
20、c，(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，所以，又为锐角，则；（2）由正弦定理，则，所以，因为在锐角三角形中，得，所以，则，所以的取值范围为.2已知的内角的对边分别为，且满足(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值【答案】(1)(2)【详解】（1）因，由正弦定理，由余弦定理，又代入化简得，因，则（2）因是的中线，故,两边平方可得：，即，由（1）知，则，又因，即，当且仅当时等号成立，此时，即.故当时，的最小值为.3在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，根据正弦定理可
21、得，则，展开可得，.（2）由正弦定理，则，其中，是锐角三角形，.，显然，当时，.4已知在锐角三角形中，边，对应角，向量，且与垂直，(1)求角；(2)求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为与垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根据三角形是锐角三角形得，解得，则，所以，所以，则，则的取值范围为.5记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以.（2）因为，则，因为,所以.所以.因为.所以.所以，所以.6已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(
22、1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得：，所以，所以，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.7在中，角，所对的边分别为，已知.(1)求的值；(2)若为的中点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，即，又，.（2）由为的中点，得，而，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.8在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，(1)若，求的面积；(2)若为钝角三角形，求a的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）
23、由及正弦定理，则当时，由余弦定理，从而，此时的面积（2）由于，由三角形三边关系可得，即，解得由于C为的最大内角，故，即，解得由于，则三角形涉及中线长问题中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）如：在与同用求中线长常用方法已知，求的范围为定值，故满足椭圆的第一定义半短轴半长轴中，则边上的中线长_.解：法一：两次余弦定理设，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，由余弦定理得：，所以.法二：一次余弦定理+一次中线长定理设，由余弦定理得：，所以，或（舍去），中线长定理在中，边上的中线，则_解：中线常用方法 设，中，中， ，重点，解得：，中，,.中，则边上中线
24、的长为_解：中线常用方法由余弦定理可知：,设，由余弦定理可知：而重点即解得，故边上中线的长为1已知的内角的对边分别为，且满足(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值【答案】(1)(2)【详解】（1）因，由正弦定理，由余弦定理，又代入化简得，因，则（2）因是的中线，故,两边平方可得：，即，由（1）知，则，又因，即，当且仅当时等号成立，此时，即.故当时，的最小值为.2在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）
25、解：若选：在中，因为，由，可得，由正弦定理得，即，则，又因为，故. 若选：由，可得，所以，因为，所以.若选：因为，正弦定理得，又因为，所以，即，因为，所以，又因为，可得； 综上所述：选择，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号，则的面积的最大值为.3在中，(1)若，求的面积；(2)求边上的中线的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，若，则，又，所以，所以；（2）因为，由正弦定理得，所以，所以，又，所以，所以，由余弦定理得，因为，则，因为，所以，因为，所以，则，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为4记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
26、知(1)若，求B；(2)若，求边上的中线的长【答案】(1)(2)【详解】（1），即，由正弦定理可得，又，.（2），又，.5已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求A；(2)若，求中BC边中线AD长【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，即，所以，又，所以，又，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，因为为中BC边的中线，所以，则，所以. 6在锐角中，角、所对的边分别为、；在以上三个条件中选择一个，并作答(1)求角；(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）解：若选，因为，即，则，即，所以，因为，故；若选，原式等价于，
27、即，即，因为、，则，所以，则，故；若选，原式等价于，即所以，即，即，因为，故.（2）解：因为，所以，因为为的中点，则，所以，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，长的最小值为.7记的内角的对边分别为，面积为，已知.(1)求的值；(2)若边上的中线，求周长的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）面积为，且，得，由正弦定理得：，.（2）边上中线，得，且，即，当且仅当时，“=”成立.又，由余弦定理得，设，设，在单调递减，又，在单调递减，则最小值为，所以当时，的最小值为，故周长最小值为.8已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且.(1)若为中线，且，求；(2)若为的平分线，且为锐角三角
28、形，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）如下图所示，在中，设，由余弦定理得即，得，所以，在中，由余弦定理得，则，所以（2）设，则，如下图所示，在和中，由正弦定理得 ，得，因为为锐角三角形，所以均为锐角，所以，则，所以，又因为，所以， 所以的取值范围是三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在中，为边上一点，连接,设，则一定有证明过程：同时除以得在中，角所对的边分别为，交于点D，且，则的最小值为_解：如图所示,根据张角定理故：，根据柯西不等式故，当且仅当时等式成立在中，角所对的边分别为，点在边上，则的长为_解：，根据张角定理故：已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为_ .解：
29、法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法），又，故即，所以.又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为方法二：张角定理+基本不等式又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为在中，角所对的边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为_解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）如图：因为 可得 即 ，所以 所以 当且仅当时取等号.故答案为18方法二：张角定理+基本不等式所以 当且仅当时取等号.故答案为181在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且(1)求证：；(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由余
30、弦定理可得，故，由正弦定理得所以在中，或若，又，故，因为，所以，故不满足题意，舍去，所以（2）在中，由正弦定理可得，即所以因为是锐角三角形，且，所得，所以所以线段BD长度的取值范围是2如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,.(1)求的大小;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是的角平分线,所以,在中,根据余弦定理得,所以,则,因为,所以.（2）因为,所以,在中,由正弦定理得,在四边形中,所以,则.3已知的内角，的对边分别为，(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即再由余弦定理得又，所以.（
31、2）因为是角的平分线，则，又，又，所以，得到，又因为，得到，解得，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最小值是4在中，内角、的对边分别为、，若.(1)求角的大小；(2)若，的平分线交于点，求线段长度的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以：，即，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.（2）解：由余弦定理得，即，所以，即，当且仅当时，即当时，等号成立，因为，所以，解得，因为，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以，线段长度的最大值为.5已知中，内角所对的边分别为，且.(1)若的平分线与边交于点，求的值；(2)若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.【答案】(
32、1)(2).【详解】（1）可得，解得，设，则，由余弦定理得，所以.因为为的平分线，所以，又，则.（2）因为，由（1）得，设，由余弦定理得，所以，因为，所以，当时取等号，所以，所以，当时取等号，所以的最小值为.6如图，在平面四边形中，的平分线交于点，且(1)求及；(2)若，求周长的最大值【答案】(1)，(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得，又，则，于是，为角平分线，在中，根据余弦定理得，（2）设，在中，由余弦定理得，即有，即，当且仅当时，“”成立周长的最大值为7中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点.(1)求角A的大小；(2)若，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定
33、理可得：，即，由余弦定理可得：，.（2），是的角平分线， ，在中，.8已知条件：；.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：_.(1)求角C的大小；(2)若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）选择条件，在中，由余弦定理得，整理得，则，又，所以；选择条件，于是，由正弦定理得，因为，则，即，因为，因此，即，又，所以；选择条件，则，所以，则，又，即有，则，所以；（2）由（1）知，有，而与的平分线交于点I，即有，于是，设，则，且，在中，由正弦定理得，所以，所以的周长为，由，得，则当，即时，的周长取得最大
34、值，所以周长的最大值为.三角形面积最值问题：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式秒杀方法：在中，已知,则： 其中 分别是的系数三角形面积公式其中分别为内切圆半径及的周长推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式（为外接圆的半径）推导：将代入可得将代入可得海伦公式（其中）推导：根据余弦定理的推论令，整理得在中，内角，的对边分别为，已知，则的面积为（ ）解：第一步：观察角化边在中，由正弦定理，可得，即，又由余弦定理可得，可得，因为，由余弦定理，可得，即，即，解得，第二步：面积公式所以三角形的面积为.在，角，的边分别为，且，则的内切圆
35、的半径为（ ）解：第一步：观察边化角由及正弦定理得，整理得， ，又，故，由余弦定理得，即，解得第二步：利用三角形面积公式（内切圆公式），已知在中，角，的对边分别为，的面积等于，则外接圆的面积为（）解：第一步：利用面积公式 第二步：求在中，解得，第三步：求圆的面积故，外接圆的面积为.在中，角的对边分别为，已知,，则的面积最大值为_解：则：其中 分别是的系数故故：中，角的对边分别为，且，则面积的最大值为（）解：第一步：，由正弦定理得，即；由余弦定理得，结合，得；又，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，第二步：，即面积的最大值为1中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.【
36、答案】(1)(2)【详解】（1）因为三角形的面积为，则，所以，又，则；（2）由于，所以，即，取等号，故，故2如图，在四边形中，且的外接圆半径为4.(1)若，求的面积；(2)若，求的最大值.【答案】(1)4；(2).【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.在中，则，解得.又，所以；在中，所以.（2）设，.又，所以.因为，所以.在中，由正弦定理得，即，解得.在中，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，当且仅当，即时，取得最大值1，所以的最大值为.3已知的内角，的对边分别为，(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，得，在中，由正弦
37、定理得，即，再由余弦定理得，又，所以；（2）由是角的平分线，则，所以，又，所以，即，所以，解得，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的取值范围是.4在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角A的大小；(2)若的周长为6，求面积S的最大值【答案】(1)(2)【详解】（1）由余弦定理，得，即则，所以又，所以（2）由题意，根据余弦定理，得，则，所以，当且仅当时取等号所以面积，故面积S的最大值为5已知中内角，所对边分别为，(1)求；(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，由正弦定理得，因为三角形内角，则，即，故，（2），已知，由（1）知， 由题意得由，（如图）已知，且由（1）知，两边平方得，则，解得，.故.当且仅当，即时，等号成立.所以，的最大值为6在中，角，的对边分别是，满足.(1)求角；(2)若点D在AB上，CD2，BCD90，求ABC面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得：，由余弦