《专题02 五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题02 五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析.docx（76页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题02 五大类数列题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】【题型2 裂项相消巧妙变形问题】【题型3 分组求和必记常见结论】【题型4 含类求和问题】【题型5 含绝对值求和问题】数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：当高考数列大题出现与 或与递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 简称知差求和注意：列举时最后一项必须是已知的首项，（）求通项公式。当高考数列大题出现与 或与递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新
2、数列的通项 第四步 反解简称构造法结论:已知数列中, ,求的通项公式. 当高考数列大题出现与 或与递推关系，关系式中系数不为1且还存在n时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项 第四步 反解简称构造法结论:已知：，时，求的通项公式。当高考数列大题出现与 或与递推关系，关系式中系数不为1且还存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以 第二步：寻找新的数列 第三步：秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项 第六步 反解简称直接除+构造法结论 ： 已知中，（）求。型，可化为的形式。待定系数法，其中在数列中，当， 求通
3、项公式.题型1 错位相减求和无需错位直接出答案错位相减；形式必须是则求和：已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和1已知各项均为正数的数列满足，且.(1)写出，并求的通项公式；(2)记求.2记.(1)当时，为数列的前项和，求的通项公式；(2)记是的导函数，求.3设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，(1)求数列与的通项公式；(2)数列的前项和分别为；（）证明；（）求4已知数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)令，记为的前项和，证明：时，.5设等比数列的前n项和为，(1)求；(2)设，求数列的前n项和6已知数列的前项和为.(1)求；(2)若，求数列的前项和.7设数列
4、满足：，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和8已知是各项均为正数的数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.裂项相消巧妙变形问题裂项相消求和 在数列中，又，求数列的前项的和.求证：已知，若数列的前项和，则_1已知是等差数列，且成等比数列(1)求的通项公式；(2)若数列满足，且，求的前项和2在正项等比数列中，.(1)求的通项公式：(2)已知函数，数列满足：.（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式（ii）设，证明：，3已知各项均为正数的等比数列，满足，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为求证：4已知为公差不为0的等差数列的前项和，且(1)求的值；
5、(2)若，求证：5已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.6已知是数列的前项和，是公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.7已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)若，求证：8设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和分组求和必记常见结论等差数列求和公式： 等比数列求和公式： 求数列的前项和：，求数列的前项和.记正项等比数列满足，.等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.1已知数列，_.在数列的前n项和为，；数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中
6、并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选_”）(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.2已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.3已知为数列的前n项和，且满足，其中，且(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围4已知数列满足，且(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，5已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，证明：.6已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.7在等差数列中，.(1)求数列的通项公
7、式；(2)若记为中落在区间内项的个数，求的前k项和.8已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，(1)求的通项公式；(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n含类进行求和问题我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出 ；第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式
8、表示已知数列的通项公式，求数列的前项和.已知数列的通项公式，求数列的前项和.1已知为数列的前n项和，且满足，其中，且(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围2已知数列是递增数列，前项和为，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.3在数列中，且数列是等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.4已知数列满足：，.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.5设是数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.6已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足(1)求和的通项公式；
9、(2)设，求数列的前项和：(3)设，求数列的前项和7在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.8已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.含绝对值求和问题给出数列，要求数列的前项和，必须分清取什么值时如果数列为等差数列，为其前项和，那么有： 若则有 若则有如果数列为等比数列，为其前项和，那么有： 已知各项都为正数的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求的值.在公差不为零的等差数列中，且、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的
10、前n项和.1已知数列的前n项和，且的最大值为(1)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和2设等差数列的前项和为，(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求3已知等差数列，记为的前项和，从下面中再选取一个作为条件，解决下面问题；(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求4已知正项等比数列满足是与的等差中项(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和5在等比数列中，公比，且，又与的等比中项为2.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前项和.6已知等差数列的公差为整数，设其前n项和为，且是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和7在等差数列中，已知公差，且，成等比数列.
11、(1)求数列的通项公式；(2)求的值.8已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.专题02 五大类数列题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】【题型2 裂项相消巧妙变形问题】【题型3 分组求和必记常见结论】【题型4 含类求和问题】【题型5 含绝对值求和问题】数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：当高考数列大题出现与 或与递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 简称知差求和注意：列举时最后一项必须是已知的首项，（）求通项公式。解：第
12、一步：作差 第二步：列举 。 左侧右侧第三步：求和口诀：左左加 右右加，相互抵消用等差 当高考数列大题出现与 或与递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项 第四步 反解简称构造法结论:已知数列中, ,求的通项公式.解:第一步：秒求所配系数 =1第二步：寻找新的等比数列 ,是首项为,公比为2的等比数列,第三步：求新数列的通项 即 第四步 反解 验证：当也成立故答案为： 当高考数列大题出现与 或与递推关系，关系式中系数不为1且还存在n时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通
13、项 第四步 反解简称构造法结论:已知：，时，求的通项公式。解：第一步：秒求所配系数设 秒求 解得： 第二步：寻找新的等比数列 是以3为首项，为公比的等比数列第三步：求新数列的通项 第四步 反解 验证：当时通项也成立故答案为：当高考数列大题出现与 或与递推关系，关系式中系数不为1且还存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以 第二步：寻找新的数列 第三步：秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项 第六步 反解简称直接除+构造法结论 ： 已知中，（）求。第一步：等式两边直接同除以由得第二步：寻找新的数列 成等差数列， 验证：当也成立故答案为 型，可化为的形式。待定
14、系数法，其中在数列中，当， 求通项公式.解：第一步：秒出系数式可化为： 比较系数得，不妨取.式可化为：第二步：出现新的等比数列则是一个等比数列，首项，公比为3.第三步：求新等比数列通项.利用上题结果有：第四步：反解.题型1 错位相减求和无需错位直接出答案错位相减；形式必须是则求和：秒杀1 卷子上书写第一步：寻找标准形式可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积第二步：列举 得 ？第三步：利用结论秒求草稿纸上书写 第四步：化解结论求卷子上书写秒杀2卷子上书写第一步：寻找标准形式可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积第二步：列举 得 ？第三步：利用结论秒求草稿纸上书写 则其中或第四
15、步：化解结论求卷子上书写已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和解：秒杀1 卷子上书写（1）快速求解通项当时，；当时，.不适合.综上所述，；第一步：寻找标准形式由（1）可得.第二步：列举当时，；当时，得，得 ？第三步：利用结论秒求草稿纸上书写 第四步：化解结论求卷子上书写，满足，因此，.1已知各项均为正数的数列满足，且.(1)写出，并求的通项公式；(2)记求.【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：因为，所以，当时，所以.当时，所以.当时，所以当时，也符合上式.综上，解法二：因为，所以，当时，所以.当时，所以.因为，所以，即.所以，即.又，所以（2）解法一：由（1）
16、得，即记则，-，得，所以，故.解法二：由（1）得，即.记，则.故.2记.(1)当时，为数列的前项和，求的通项公式；(2)记是的导函数，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，.当时，.又当时，不满足上式，所以（2）-得，3设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，(1)求数列与的通项公式；(2)数列的前项和分别为；（）证明；（）求【答案】(1)；(2)（）证明见解析；（）【详解】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，因为，可得，解得，又因为，可得，又由且，可得，解得（负值舍去），所以.（2）（）证明：由，可得，所以，则.（）解：由，可得，则，可得，则，两式相减得，所以，即4已知
17、数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)令，记为的前项和，证明：时，.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，作差可得，变形为，即，即，化简为，因为，所以，因为，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以，作差可得，所以，设，则在给定区间上递减，又故在是减函数，所以当时，.5设等比数列的前n项和为，(1)求；(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)；(2).【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，则，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，则，则，于是，两式相减得，即.6已知数列的前项和为.(1)求；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，当时，从
18、而，当时，也满足，故.（2）由（1）可知，所以，从而，所以，所以数列的前项和.7设数列满足：，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知数列满足：，则，故为首项是6，公比为2的等比数列，故，即，适合上述结果，故；（2）设，则，设，故；，作差得到，故，故.8已知是各项均为正数的数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1），当时，解得或（舍去），当时，数列是首项为1、公差为1的等差数列，.（2）由（1）知，两式相减得，裂项相消巧妙变形问题裂项相消求和 在数列中，又，求数列的前项的和.解：第一步：裂
19、项 第二步：裂项求和 数列的前项和 求证：证明：第一步：裂项设 第二步：裂项求和 原等式成立已知，若数列的前项和，则_解：第一步：裂项因为，第二步：裂项求和所以，因此，即.1已知是等差数列，且成等比数列(1)求的通项公式；(2)若数列满足，且，求的前项和【答案】(1)(2)【详解】（1）因为成等比数列，所以，解得又是等差数列，所以公差，故.（2）由，得，所以,又,当时，,又也适合上式，所以,则,所以.2在正项等比数列中，.(1)求的通项公式：(2)已知函数，数列满足：.（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式（ii）设，证明：，【答案】(1)(2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析【详解
20、】（1）因为正项等比数列中，所以.又因为，所以，进而公比，所以.（2）（i）因为，所以，所以，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列.所以，即.（ii）.当时，左式，右式，左式右式.当时， 下面先证明，令，又，即，又，所以.所以.即.综上：当时， .3已知各项均为正数的等比数列，满足，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为求证：【答案】(1)；(2)证明见详解.【详解】（1）记数列的公比为，则，解得，所以.（2）由（1）可得，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即.4已知为公差不为0的等差数列的前项和，且(1)求的值；(2)若，求证：【答案】(1)2(2)证明见解析【详解】（1）解
21、法一：设的公差为，由，得，则-得，即，又，则；解法二：设的公差为，因为，所以对恒成立，即对恒成立，所以，又，则；（2）由得，即，所以，又即，则，因此则5已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）数列的前项和为，当时，当时，所以，又当时，也成立，数列的通项公式为.（2）由（1）可得，设数列的前项和为，则.6已知是数列的前项和，是公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，当时，经检验，满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）知：，所以
22、.7已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)若，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由，当时，解得，当时，-，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，经验证符合上式，所以（2）由（1）知，则，故，所以，故.8设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，即当时，又适合上式，所以（2），故分组求和必记常见结论等差数列求和公式： 等比数列求和公式： 求数列的前项和：，解：第一步：分组设将其每一项拆开再重新组合得 第二步：分组求和当时， 当时，求数列的前项和.解：第一步：分组设 将其每
23、一项拆开再重新组合得 第二步：分组求和 记正项等比数列满足，.等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）快速求解通项 设的公比为，的公差为， ，即， ，解得或（舍去），；第一步：分组依题意，第二步：分组求和数列的前项和为，数列的前项和为，故.1已知数列，_.在数列的前n项和为，；数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选_”）(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）选，当时，即，当时，（I），（II），（I）（I
24、I）得：，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.选，当时，即,当时，即,当时，符合上式.所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以（2）因为，所以，所以.2已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.【答案】(1)(2)11【详解】（1）依题意，当时，.两式相减得，即，因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，又，故数列的通项公式为.（2）依题意，即，因为，所以满足不等式的正整数个数为，即，.，因为，所以单调递增，当时，当时，所以的最小值为11.3已知为数列的前n项和，且满足，其中，且(1)求数列的通项公式；(2)设，若
25、对任意的，都有，求实数m的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）由，当时，所以，当时，所以，所以数列是以为公比的等比数列，所以；（2）由（1）得，则，故，而随的增大而减小，所以，随的增大而增大，所以，因为对任意的，都有，所以.4已知数列满足，且(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，.易知，所以，因为所以是等比数列，首项，公比，所以（2）由（1）可得，先证明左边：即证明，当时，所以，所以，再证明右边：，因为，所以，即，下面证明，即证，即证，设，则，设，因为，所以函数在上单调递增，则
26、，即，所以，所以综上，5已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意可知，当时，；当时，由得，两式作差可得，也适合该式，故；（2）证明：由题意知，故，由于，则，故，即.6已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，又，则，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，由于，所以，所以.7在等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)若记为中落在区间内项的个数，求的前k项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）等差数列中，由，得，而，解得
27、，因此数列的公差，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，由，得，整理得，因此正整数满足，从而得，所以的前k项和为.8已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，(1)求的通项公式；(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公比为，则，因为，所以，依题意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故显然，随着的增大而增大，所以满足的最大整数.含类进行求和问题我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；第二步
28、：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出 ；第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示已知数列的通项公式，求数列的前项和.解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式不难发现，数列的项依次为 间隔出现，所以,第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出 当为偶数时,第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.当为奇数且时，第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两
29、段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示当 时,综上，已知数列的通项公式，求数列的前项和.解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；因为当为奇数时，第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出 ；当为偶数时,第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.当为奇数且时，第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示当 时,又因为适合当为奇数且时.综上，1已知为数列的前n项和，且满足，其中，且(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，
30、求实数m的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）由，当时，所以，当时，所以，所以数列是以为公比的等比数列，所以；（2）由（1）得，则，故，而随的增大而减小，所以，随的增大而增大，所以，因为对任意的，都有，所以.2已知数列是递增数列，前项和为，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为当时，则，所以，两式相减可得，整理得，即.因为是递增数列，且，所以，则，即，所以数列是公差为的等差数列，即，经检验时成立，则.（2）由（1）知.当为偶数时，；当为奇数时，综上所述，.3在数列中，且数列是等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前项和
31、为，求.【答案】(1)；(2)220.【详解】（1）因为，所以.所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以.当时，当时，也满足上式，所以.（2）由（1）知，.当时，.4已知数列满足：，.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）显然，由得，又，则数列是首项为1，公差为的等差数列.由，得.（2）由（1）可知，所以.5设是数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，解得.当时，两式相减得，即，又，数列是首项为1，公比为3的等比数列.数列的通项公式为.（
32、2）由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，.6已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和：(3)设，求数列的前项和【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）设数列的公比为，则由条件得，又，可得，则，因为，解得，故对于，当时，当时，由得，所以可得，可得，且也适合，故，所以，即和的通项公式分别为，.（2）因为，所以（3）由（1）可得，所以，所以，得，所以.7在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，则解得所以.（2）（方法一）.（方法二）当为偶数时，当为奇数时，.综上，8已知是等比数列，满
33、足，且成等差数列，数列满足.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，又，则，即，而，解得，因此；数列中，当时，由，得当时，两式相减得，即，显然满足上式，因此，所以数列和的通项公式分别为.（2）由（1）知，因此当为偶数时，当为奇数时，所以数列的前n项和.含绝对值求和问题给出数列，要求数列的前项和，必须分清取什么值时如果数列为等差数列，为其前项和，那么有： 若则有 若则有如果数列为等比数列，为其前项和，那么有： 已知各项都为正数的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.解：(1)快速求解通项设各项都为正数的等比数
34、列的公比为，则，因为，所以，解得，所以，(2)第一步：秒求临界由(1)知，故，第二步：利用结论当时，；当时，故.已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求的值.解：(1)快速求解通项公差为成等比数列，解得或当时，；当时， 故或. (2)第一步：秒求临界0，=-1，此时第二步：利用结论当时， 当时， 在公差不为零的等差数列中，且、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.解：(1)快速求解通项设公差为，由、成等比数列，得.解得.所以.(2)第一步：秒求临界因为所以.第二步：利用结论当时，所以.当时，所以.1已知数列的前n项和，且的最大值为(1
35、)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：由数列的前n项和，根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，即，解得，所以，当时，当时，（符合上式），所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得，且当且时，可得；当且时，可得，所以数列的前15项和：2设等差数列的前项和为，(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，解得，故.（2）由（1）知，3已知等差数列，记为的前项和，从下面中再选取一个作为条件，解决下面问题；(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求【详解】（1）设等差数列的公差为，且选择：（1）因
36、为，所以，解得所以，则，利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，因为，所以当或6时，.选择：因为，可得，因为，所以，此时，所以，因为，所以单调递增，且当时，所以当或11时，最小，此时.选择：因为，所以，即，所以，所以，则，利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，因为，所以当或6时，.（2）解：若选择或：由（1）知，当时，所以.若选择：由（1）知，且当时，且，所以.4已知正项等比数列满足是与的等差中项(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，又，所以，解得，设的公比为，因为是与的等差中项，所以，即，解得，从而，故等比数列的通项公式是；（2）由（1
37、）知，所以，设的前项和为，当时，易知数列是首项为6，公差为的等差数列，所以，当时，易知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以数列的前项和5在等比数列中，公比，且，又与的等比中项为2.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以，因为与的等比中项为2，所以，则，解得（舍去），所以，所以（舍去）所以；（2）由（1）得，令，则，令，则，当时，当时，综上所述，.6已知等差数列的公差为整数，设其前n项和为，且是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为d，依题意得，所以，即，化简得，解得或（舍去），故，（2）依题意，当时，故；当时，故故7在等差数列中，已知公差，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1），又，成等比数列，所以，化简得，解得或，又，所以，可得数列的通