《专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析.docx（111页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】【题型3 点面距离（体积求算）问题】【题型4 线面夹角问题（两大法）】【题型5 面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为找出(求出)平面内的两个不共线的向量，根据法向量的定义建立关于的方程组解方程组，取其中的一个解，即得法向量注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向
2、量秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题线面平行：关键点必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）：中位线型如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：构造平行四边形如图, 平行四边形和梯形所在平面相交，/，求证：/平面.分析：过点作/交于， 就是平面与平面的交线，那么只要证明/即可。：作辅助面使两个平面是平行如图，在四棱锥中，底
3、面为菱形， 为的中点，为的中点，证明：直线分析：取中点，连接，只需证平面平面。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ（如图）求证：PQ平面CBE 如图，已知三棱锥，是,的重心.(1)求证：面；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点证明平面；分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系设，则，因为轴
4、垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0）则：=0因此，所以平面如图，三棱柱中，为底面的重心，(1)求证：平面；(2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.(1)求证：平面；(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，点P是棱的中点，点Q在棱BC上(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长1如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为，AC，BC的中点求证：平面；2如图，在四棱锥中，平面， 为棱的中点求证：/平面；3如图，在四棱锥中，平面，(1)
5、求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小条件：；条件：平面注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分4如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，是长度为的底面圆的两条直径，且，为母线上一点求证：当为中点时，平面；5如图，在四棱锥中，平面，点在棱上，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.证明：平面，且；6如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，是的中点，作交于求证：平面；7在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，.(1)证明：四边形ABCD为菱形；(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），
6、证明：AE不可能与平面PCD平行.8如图，在平行六面体中，点为中点证明：平面；线面垂直问题（勾股定理妙解）必记结论：特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直等腰三角形三线合一，三线与底垂直直径所对的圆周角为直角 菱形和正方形：对角线互相垂直特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证平面；第一步：表示,表示（）中的两个第二步：如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，求证：平面如图，在三棱柱中，平面，. 求证：平面；三棱柱中，侧棱与底面垂直，分别是，的中点求证：平面1在长方体
7、中， 是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.求证：平面2如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形证明：3如图，在三棱台中，平面平面.证明：平面；4如图，在四棱锥中，平面，点在棱上，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点，(1)证明：平面，且，四点共面；(2)证明：平面平面；5如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，求证：平面平面；6如图，四棱锥，平面平面为中点证明：平面平面；7如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，求证：平面平面；8如图，在直四棱柱中，底面为矩形，高为，O，E分别为底面的中心和的中点求证：平面平面；点面距离问题结论1：点
8、线距离异面直线求距离问题结论2：点面距离结论3：线面距离结论4：面面距离结论5：点点距离在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为( )已知正方形的边长为1，平面，且，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线到平面的距离.1如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形.(1)求证:平面 平面(2)若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离.2如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到
9、平面的距离.3如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点(1)经过点在上底面上画一条直线与垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若，为的中点，求点到平面的距离4如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E是的中点(1)证明：平面；(2)求点B到平面的距离5图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱上，.(1)证明：；(2)求点C到平面的距离.6设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若(1)求与平面所成角的正切值；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；7如图，在四棱锥中，平面平面(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离8如图，在三棱柱
10、中，点E，F分别为BC，的中点(1)求证：平面；(2)若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离线面夹角问题（两大法）结论1：异面直线所成角能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出关键是求出及与结论2：线面角结论：点面距离（往往用等体积法计算），线自身长度如图，在四棱锥中，四边形是菱形，为正三角形，.求直线与平面所成角的大小；四棱锥中，平面，四边形为菱形，为的中点求与平面所成的角的正切值；如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点.求直线与平面所成的角的大小.在长方体中，则与平面所成角的正弦值为_1如图，在几何体中，
11、为等腰梯形，为矩形，平面平面.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的余弦值.2如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.3如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，点是的中点.(1)证明：.(2)点是的中点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积.4如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.5如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所
12、成角的正弦值.6如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.7如图，在三棱台中，平面，.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角正弦值.8如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.(1)证明：直线平面；(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.面面夹角问题（两大法）结论：二面角的平面角提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.结论：任意二面角的平面角满足如（）注意：为原图上的点，而分子_则是点在面的投影点在如图所示的几何体中，四边形是等
13、腰梯形，平面.求二面角的余弦值.如图，在三棱柱-中，在底面的射影为的中点，为的中点.求二面角-BD-的平面角的余弦值.四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，ADC=60，PA=AD=2，E为AD的中点.求二面角A-PD-C的正弦值.1如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且为的中点.(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.2如图，在三棱锥中，(1)证明：平面平面；(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值3如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正切值.4如图，在正四面体中
14、，是棱的两个三等分点(1)证明：；(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值5如图，已知平面与底面所成角为，且(1)求证：平面；(2)求二面角的大小6如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面(1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值7如图，在三棱柱中，平面是线段上的一个动点，分别是线段的中点，记平面与平面的交线为.(1)求证：；(2)当二面角的大小为时，求.8如图，在梯形中，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上.(1)求二面角的正切值；(2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；
15、若不存在，请说明理由.专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】【题型3 点面距离（体积求算）问题】【题型4 线面夹角问题（两大法）】【题型5 面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为找出(求出)平面内的两个不共线的向量，根据法向量的定义建立关于的方程组解方程组，取其中的一个解，即得法向量注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量
16、就不同，但它们是共线向量秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题线面平行：关键点必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）：中位线型如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：构造平行四边形如图, 平行四边形和梯形所在平面相交，/，求证：/平面.分析：过点作/交于， 就是平面与平面的交线，那么只要证明/即可。：作辅助面使两个平面是平
17、行如图，在四棱锥中，底面为菱形， 为的中点，为的中点，证明：直线分析：取中点，连接，只需证平面平面。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ（如图）求证：PQ平面CBE 如图，已知三棱锥，是,的重心.(1)求证：面；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点证明平面；分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直
18、角坐标系设，则，因为轴垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0）则：=0因此，所以平面如图，三棱柱中，为底面的重心，(1)求证：平面；(2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值破解：（1）连接交于点，连接因为为底面的重心，则，又因为，则，可知，因为平面平面，所以平面（2）取的中点，连接因为底面，且三棱柱的各棱长均为6，可知射线两两垂直，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，可得，所以如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.(1)求证：平面；(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.破解：（1）证明：如图，设的中点为，连接
19、.为的中点，且.又为的中点，且四边形是平行四边形，且四边形为平行四边形.又平面平面，平面.（2）解：在平面中，作交于.平面，平面，平面，.两两互相垂直.分别以射线为轴轴轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，在平行六面体中，由平面得平行四边形是矩形.根据已知可得，.由平面得是平面的法向量.设是平面的法向量，则取，得.是平面的法向量.设平面与平面的夹角为，则.平面与平面的夹角的余弦值为.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，点P是棱的中点，点Q在棱BC上(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长破解：（1）证明：取的中点M，连接MP，MB在四
20、棱台中，四边形是梯形，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且在正方形ABCD中，又，所以从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O因为平面平面，平面平面，平面，所以平面在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则以为正交基底，建立空间直角坐标系因为四边形是等腰梯形，所以，又，所以易得，所以，：设，所以设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为设二面角的平面角为，由题意得又，所以，解得（舍负），因此，所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1：设，所以设平面PDQ的法向量为，由，得，取， 另取平面DCQ的一个法向量为设
21、二面角的平面角为，由题意得又，所以，解得或6（舍），因此所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1：在平面中，作，垂足为H因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG因为，PH，平面，所以平面，又平面，所以因为，所以是二面角的平面角在四棱台中，四边形是梯形，点P是棱的中点，所以，设，则，在中，从而因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而所以在中，解得或（舍）所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为11如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为，AC，BC的中点求证：平面；【详解】直三棱柱中，为的中点，所以，且，因为，分别，的中点，
22、四边形为平行四边形，又平面，平面，故平面.2如图，在四棱锥中，平面， 为棱的中点求证：/平面；【详解】取中点为，连接，如下所示：在中，因为分别为的中点，故/；又，故/，则四边形为平行四边形，/；又面面，故/面.3如图，在四棱锥中，平面，(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小条件：；条件：平面注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)证明见解析(2)所选条件见解析，【详解】（1）如图，连接AC，因平面，平面，则，.又，则.注意到，则为等腰直角三角形，其中，.所以，又
23、因为，平面，所以平面；（2）若选条件，由余弦定理可得，结合为三角形内角，得，又，则，即.若选条件，因平面，BC平面，平面平面，则，又，则，即.故建立以A为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（轴所在直线与DC平行）又，则，则，.平面法向量为，设平面法向量为，则.令，则，所以，设面与平面所成角为，根据平面角的范围可知.4如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，是长度为的底面圆的两条直径，且，为母线上一点求证：当为中点时，平面；【详解】连接，因为，分别为，的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面；5如图，在四棱锥中，平面，点在棱上，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.证明：平面，且；【
24、详解】因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，在中，所以，且，因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，6如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，是的中点，作交于求证：平面；【详解】连接交于点，连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，平面，平面，平面.7在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，.(1)证明：四边形ABCD为菱形；(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）（1）证明：连接AC，BD，设，因为底面ABCD为平行四边形，则O为AC，BD的中点.因为，所以又，平面
25、PBD，平面PBD，所以平面PBD，又平面PBD，所以，所以四边形ABCD为菱形.（2）（2）方法一：（反证法）假设平面PDC，因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PDC，又平面PAB，平面PAB，所以平面平面PDC，这显然与平面PAB与平面PDC有公共点P所矛盾.所以假设错误，即AE不可能与平面PCD平行.方法二：平面PAB，平面PCD，平面PAB与平面PCD必相交，可设平面平面，又，平面PCD，平面PCD，平面PCD，又平面PAB，平面平面，又平面PAB，且不与重合，AE必与l相交面PCD，AE必与平面PCD相交，AE不可能与平面PCD平行.8如图，在平行六面体中，点为中点证明：平面；【
26、答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）连结，交于点，连结，在平行六面体中，是的中点，所以四边形是平行四边形，又点为中点，则且，所以四边形是平行四边形，从而，因为平面，所以平面.（2）以为原点建立如图所示的坐标系，则，设点为，其中，则，因为，所以，即，解得，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，设二面角为，则，所以，则，所以二面角的正弦值为.线面垂直问题（勾股定理妙解）必记结论：特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直等腰三角形三线合一，三线与底垂直直径所对的圆周角为直角 菱形和正方形：对角线互相垂直
27、特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证平面；第一步：表示,表示（）中的两个第二步：如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，求证：平面证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD. 第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线又因为PA平面ABCD. 所以PABD. 又因为所以BD平面PAC. 如图，在三棱柱中，平面，. 求证：平面；证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）因为，所以 第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线在三棱柱中，由平面，所以平面，又
28、因为平面，所以平面平面，交线为.又因为，所以，所以平面.因为平面，所以又，所以平面.三棱柱中，侧棱与底面垂直，分别是，的中点求证：平面证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线 连接，又是的中点，与相交于点，平面1在长方体中， 是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.(1)求证：平面【详解】如图，连接交于点，在长方体中，有面，因为面，所以，又因为的长成等比数列，所以的长成等比数列，即，注意到，所以，从而，又因为，所以，从而，又因为，平面，所以平面，因为平行且等于，平行且等于，所以
29、平行且等于，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，所以平面.2如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形证明：【详解】因为是边长为的等边三角形，所以，因为为中点，所以，所以为等腰三角形，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以；3如图，在三棱台中，平面平面.证明：平面；【详解】由于平面平面且交线为,又平面，所以平面平面故，又平面,故平面4如图，在四棱锥中，平面，点在棱上，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点，(1)证明：平面，且，四点共面；(2)证明：平面平面；【详解】（1）因为F，G分别为的中点，所以，又平面CFG，平面，所以平面连接HE
30、，在中，所以，且，因为，所以，且，所以四边形为平行四边形所以，又，所以，故C，E，F，G四点共面（2）由题意可知，所以，故又平面，平面，所以，又平面，故平面，又平面，所以平面平面5如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，求证：平面平面；【详解】平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；四边形为正方形，平面，平面，平面，平面平面.6如图，四棱锥，平面平面为中点证明：平面平面；【详解】证明：根据题意可得为中点，所以，易知，所以，可得，易知，所以，即；由，为中点，可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；又，平面，所以平面，又平面，因此平面平面；7如图几何体中，底
31、面是边长为2的正三角形，平面，若，求证：平面平面；【详解】证明：设分别为，边的中点，连接，因为平面，且，所以，且，即四边形为平行四边形，可得，在底面正三角形中，为边的中点，则，又因为平面，且平面，所以，由于，且平面，所以平面，因为，且平面，则平面，又平面，则平面平面8如图，在直四棱柱中，底面为矩形，高为，O，E分别为底面的中心和的中点求证：平面平面；【详解】连接、，O，E分别为的中点和的中点，四点、 、 、共面， ， ，且，、平面，平面，平面，平面，平面平面，点面距离问题结论1：点线距离异面直线求距离问题结论2：点面距离结论3：线面距离结论4：面面距离结论5：点点距离在棱长为1的正方体中，为的
32、中点，则点到直线的距离为解：第一步：识别题干属于哪一种距离空间点线距离第二步：直接利用结论 则，所以， ，所以在上的投影为，所以点到直线的距离.在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为( )解：第一步：识别题干属于哪一种距离空间面面距离第二步：直接利用结论 建立如图所示的直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量，则，即，解得（秒杀），故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离已知正方形的边长为1，平面，且，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线到平面的距离.解：第一步：识别题干属于哪一种距离空间面面距离第二步：直接利用结论 建立以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向的空间直角
33、坐标系，如图所示， ，分别为，的中点，所以，设平面的法向量为，则，秒杀所以，所以点到平面的距离，（2）因为，所以点到平面的距离.1如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形.(1)求证:平面 平面(2)若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离.【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）因为，为中点，所以，即，因为是正方形，所以，因为分别是的中点，所以，所以，又，平面，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，令，则，所
34、以，又，所以，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍），所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为.2如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：为中点，则，又，得，由，得，所以四边形为平行四边形，又平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.因为平面，且直线与圆柱底面所成角为，所以，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，设点到平面的距离为，.故点到平面
35、的距离.3如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点(1)经过点在上底面上画一条直线与垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若，为的中点，求点到平面的距离【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）连结，在平面上作，因为为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以（2）因为，所以，两两互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空向直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，因为，所以，则，取，则，设点到平面的距离为，则因此点到平面的距离为4如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E是的中点(1)证明：平面；(2)求点B到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2).【详
36、解】（1）如图所示，连接交于F点，连接，由直四棱柱的性质可知F是及的中点，所以是的一条中位线，即，又平面，平面，所以平面；（2）如图所示，作，交延长线于M，由直四棱柱的特征易知底面，面，所以，又平面，故面，因为底面ABCD为菱形，所以，则，易知到平面的距离相等，设点B到平面的距离为，则，解之得.5图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱上，.(1)证明：；(2)求点C到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由平面，平面，故，由底面是正方形，故，又，、平面，故平面，又平面，故，又，、平面，故平面，又平面，故；（2）由，故为中点，又平面，故点到平面的距离为，由底面是正方形，故
37、，由，故，由，且，故，解得,故点C到平面的距离为.6设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若(1)求与平面所成角的正切值；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即为与平面所成角的平面角，在中，则，所以与平面所成角的正切值为；（2）假设存在，设，连接，作于点，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即为点到平面的距离，由，得，由，解得，所以存在，.7如图，在四棱锥中，平面平面(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【
38、详解】（1）因为平面平面，平面平面，且， 平面，所以平面，又因为，所以平面（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，过作直线的垂线，垂足为，则平面，由，可得，因为平面，平面，所以，则，可得，在直角梯形中，因为，可得，所以，在等腰中，取的中点，连接，可得，且，所以，设点到平面的距离为，由，可得，解得，所以点到平面的距离为8如图，在三棱柱中，点E，F分别为BC，的中点(1)求证：平面；(2)若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1作的中点D，连接DF，DB，因为点D，F分别为，的中点，所以，且，又由三棱柱的定义，结合点E为BC的中点可
39、知：，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）作AC的中点G，连接，因为，所以是正三角形，又点G为AC的中点，所以，由平面平面，有平面平面，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以是三棱锥的高，所以， 又因为平面，点到平面的距离即为点C到平面的距离，又，设点C到平面的距离为d，则，解得线面夹角问题（两大法）结论1：异面直线所成角能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出关键是求出及与结论2：线面角结论：点面距离（往往用等体积法计算），线自身长度如图，在四棱锥中，四边形是菱形，为正三角形，.求直线与平面所成角的大小；解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离直线与平面，去掉相同的,只需求到平面的距离即第二步：利用等体积法求距离 ，, 第三步：利用结论求出答案,四棱锥中，平面，四边形为菱形，为的中点求与平面所成的角的正切值；解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离直线与平面，去掉相同的,只需求到平面的距离即第二步：利用等体积法求距离 ，, 第三步：利用结论求出答案,如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点.求直线与平面所成的角的大小.解：第一步：先去掉相同的字母且明