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1、2024中考数学压轴题-二次函数第1节 线段周长面积最大值 内容导航方法点拨 例题演练 题组1：线段的最大值例1如图，抛物线y+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(1，0)，C(0，2)(1)求抛物线的表达式；(2)线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值练1.1如图所示，二次函数yax2x+c的图象经过点A(0，1)，B(3，)，A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C(1)求直线AB的解析式和二次函数的解析式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求M
2、N的最大值；练1.2如图，二次函数yax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(1，0)、B(4，0)，与y轴相交于点C(1)求该函数的表达式；(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQBC，垂足为点Q，连接PC求线段PQ的最大值；题组2：周长的最大值例2已知：如图，直线yx+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为(1，0)(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DEBC于E，作DFy轴交BC于F，求DEF周长的最大值练2.1如图所示，抛物线yax2+bx3交x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析
3、式；(2)如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DEBC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求DEF周长的最大值；练2.2如图，抛物线yx2+bx+c的图象与x轴交于A(5，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点E(x，y)为抛物线上一点，且5x2，过点E作EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；练2.3如图，抛物线yx24x5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称
4、轴(2)如图1，点E(m，n)为抛物线上一点，且2m5，过点E作EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值练2.4如图1，抛物线yx2(a+1)x+a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴负半轴交于点C，若AB4(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EFAC交抛物线于点F，过E作EGx轴交AC于点M，过F作FHx轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；练2.5综合与探究如图，抛物线yx22x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D(m，0)为线段OA上一个动点(
5、与点A，O不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E(1)求A，B，C三点的坐标；(2)当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；题组3：面积的最大值例3如图，抛物线yax23ax4a(a0)与x轴交于A，B两点，直线yx+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形DEFG为平行四边
6、形时，求出此时点P、Q的坐标；(3)在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由练3.1如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A(3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C(1)求这个抛物线的函数表达式(2)点D的坐标为(1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值练3.2如图，对称轴为直线x2的抛物线经过点A(1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a+1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点(1)求此抛物线的解析式；(2)当a1时，求四边形MEFP面积的最大
7、值，并求此时点P的坐标2024中考数学压轴题-二次函数第1节 线段周长面积最大值 中考数学压轴题-二次函数第2节 将军饮马求最值1-对称 内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。基本图形解析：(一)、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；(1)点A、B在直线m两侧： (2)点A、B在直线同侧： A、A 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。(1)两个点都在直线外侧： (2)一个点在内侧，一个点在外侧： (3)两个点都在内侧： (4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，
8、使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；(1)点A、B在直线m同侧： 解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。(2)点A、B在直线m异侧： 解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB 例题演练 题组1：两定点一动点问题例1已知，如图1，抛物线y
9、x22x3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使ACB90，ACBC，抛物线的顶点为D(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，若点E是AB上一动点(点A、B除外)，连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求BDE的面积；练1.1如图，已知抛物线yx2+3x8的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(1)求直线BC的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标； 题组2：两动点一定点问题例2如图，抛物线yx2+bx+c与直线ymx+n相交
10、于点A(1，8)和点B(5，4)(1)求抛物线和直线AB的解析式(2)如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D(1)如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当ARAD时，求点R的坐标；(2)在(1)的条件下在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQx轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MNAR
11、交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标 题组3：线段之差的最大值问题例3如图，二次函数yx2+2x+1的图象与一次函数yx+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F(1)当PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BHPH|的值最大，求点H的坐标和|BHPH|的最大值；练3.1已知抛物线：yx2x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为5(
12、1)如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积(2)如图2，连接AE，以AB，AE为边作AEFB，将抛物线w与AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w和AEFB，在向上平移的过程中AEFB与AEFB重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，EF与BF交于点Q，在直线AB上有两动点P，H，且PH2(P在H的右边)，当|PQHC|取得最大值时，求点P的坐标练3.2如图1，二次函数y的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边)，与y轴交于点C，直线l是它的对称轴(1)求直线l与直线AC交点的坐标；(2)如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作
13、x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当PEF的周长最大时，在对称轴l上找点M，使得|BMPM|的值最大，求出|BMPM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D(1)求直线BC的解析式；(2)点E(m，0)，F(m+2，0)为x轴上两点，其中2m4，EE，FF分别垂直于x轴，交抛物线于点E，F，交BC于点M，N，当ME+NF的值最大时，在y轴上找一点R，使|RFRE|的值最大，请求出R点的坐标及|RFRE|的
14、最大值； 内容导航方法点拨 例题演练 题组1：线段的最大值例1如图，抛物线y+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(1，0)，C(0，2)(1)求抛物线的表达式；(2)线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值【解答】解：(1)抛物线y+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A(1，0)，C(0，2)，解得：，故抛物线解析式为：yx2+x+2；(2)令y0，则x2+x+20，解得x11，x24，B(4，0)，设直线BC的解析式为ykx+b，解得，直线BC的解析式为yx+2，设P(m，m+2)；则Q(m，m2
15、+m+2)，则PQ(m2+m+2)(m+2)m2+2m(m2) 2+2，此时PQ的最大值为2练1.1如图所示，二次函数yax2x+c的图象经过点A(0，1)，B(3，)，A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C(1)求直线AB的解析式和二次函数的解析式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；【解答】解：(1)设直线AB的解析式为：ykx+b，直线AB的解析式为：yx+1；把A(0，1)，B(3，)代入yax2x+c得，二次函数的解析式为：yx2x+1；(2)设点N的坐标为(m，m2m+1)(3m0)，则点M的坐标为(m，m
16、+1)，MNm2m+1(m+1)m2m+1(m+)2+，当m时，MN取最大值，最大值为；练1.2如图，二次函数yax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(1，0)、B(4，0)，与y轴相交于点C(1)求该函数的表达式；(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQBC，垂足为点Q，连接PC求线段PQ的最大值；【解答】解：(1)抛物线解析式为ya(x+1)(x4)，即yax23ax4a，则4a2，解得a，所以抛物线解析式为yx2+x+2；(2)作PNx轴于N，交BC于M，如图，BC2，当x0时，yx2+x+22，则C(0，2)，设直线BC的解析式为ymx+n，把C(0，2)，B(4，0)
17、得，解得，直线BC的解析式为yx+2，设P(t，t2+t+2)，则M(t，t+2)，PMt2+t+2(t+2)t2+2t，NBMNPQ，PQMBOC，即PQ，PQt2+t(t2)2+，当t2时，线段PQ的最大值为；题组2：周长的最大值例2已知：如图，直线yx+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为(1，0)(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DEBC于E，作DFy轴交BC于F，求DEF周长的最大值【解答】解：(1)直线yx+2与x轴交于B(2，0)，与y轴交于C点(0，2)，设过A、B、C的抛物线的解析式为yax2+bx+c，把A(1，0
18、)、B(2，0)、C(0，2)的坐标代入，a1，b1，c2，抛物线的解析式为：yx2+x+2，(2)设D(x，x2+x+2)，F(x，x+2)，DF(x2+x+2)(x+2)x2+2x，所以x1时，DF最大1，OBOC，OBC为等腰直角三角形，DEBC，DFy轴，DEF为等腰直角三角形，DEF周长的最大值为1+练2.1如图所示，抛物线yax2+bx3交x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DEBC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求DEF周长的最大值；【解答】解：(1)抛物线yax2+bx3交x轴交
19、于A(1，0)，B(3，0)两点，解得：抛物线的解析式为yx22x3(2)抛物线yx22x3与y轴交于点C点C坐标为(0，3)直线BC解析式为：yx3点B(3，0)，点C(0，3)OBOC3，OBCOCB45DFAB，EFD45OBC，DEBC，EFDEDF45，DEEF，DFEF，EFDEDF，DEF周长DE+EF+DF(1+)DF，设点D(a，a22a3)，则F(a22a，a22a3)DFaa2+2aa2+3a(a)2+当a时，DF有最大值为，即DEF周长有最大值为(1+)，练2.2如图，抛物线yx2+bx+c的图象与x轴交于A(5，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与
20、x轴交于点D(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点E(x，y)为抛物线上一点，且5x2，过点E作EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；【解答】解：(1)把A(5，0)，B(1，0)两点坐标代入yx2+bx+c，得到，解得，抛物线的函数表达式为yx24x+5(2)如图1中，抛物线的对称轴x2，E(x，x24x+5)，EHx24x+5，EF2x，矩形EFDH的周长2(EH+EF)2(x25x+3)2(x+)2+，20，x时，矩形EHDF的周长最大，最大值为练2.3如图，抛物线yx24x5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y
21、轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴(2)如图1，点E(m，n)为抛物线上一点，且2m5，过点E作EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值【解答】解：(1)当x0时，y5，C(0，5)，当y0时，x24x50，x15，x21，A(1，0)，B(5，0)，由对称性得：抛物线的对称轴是：x2；(2)如图1，E(m，n)，且2m5，E在第四象限，EFm2，EHnm2+4m+5，设四边形EHDF周长为W，则W2(EF+EH)2(m2m2+4m+5)2m2+10m+62(m)2+，20，当m时，四边形EHDF周长的最
22、大值是；练2.4如图1，抛物线yx2(a+1)x+a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴负半轴交于点C，若AB4(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EFAC交抛物线于点F，过E作EGx轴交AC于点M，过F作FHx轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；【解答】解：(1)x2(a+1)x+a0，则x1+x2a+1，x1x2a，则AB(a1)216，解得：a5或3，抛物线与y轴负半轴交于点C，故a5舍去，则a3，则抛物线的表达式为：yx2+2x3；(2)由yx2+2x3得：点A、B、C的坐标分别为：(3，0)、(1，0)
23、、(0，3)，设点E(m，m2+2m3)，OAOC，故直线AC的倾斜角为45，EFAC，直线AC的表达式为：yx3，则设直线EF的表达式为：yx+b，将点E的坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：yx+(m2+3m3)，联立并解得：xm或3m，故点F(3m，m2+4m)，点M、N的坐标分别为：(m，m3)、(3m，m+3)，则EF(xFxE)(2m3)MN，四边形EMNF的周长SME+MN+EF+FN2m2(6+4)m6，20，故S有最大值，此时m，故点E的横坐标为：；练2.5综合与探究如图，抛物线yx22x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D(m，0)为线段OA上
24、一个动点(与点A，O不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E(1)求A，B，C三点的坐标；(2)当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；【解答】解：(1)令y0，得x22x+30，解方程得x11，x23，A(3，0)，B(1，0)令x0，得y3C(0，3)(2)当点D是OA的中点时，点D(，0)，Q(，)，直线AC的解析式为yx+3P(，)PQ(3)如图，作PFCO设D(m，0)，则P(m，m+3)，Q (m，m22m+3
25、)PQ+PC(m22m+3)(m+3)+(m)(m+2)2+4当m2时，PQ+PC有最大值4题组3：面积的最大值例3如图，抛物线yax23ax4a(a0)与x轴交于A，B两点，直线yx+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；(3)在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由【解答】解：(1)点C的横坐标为3，y3+2，点C的坐标为(3，2)
26、，把点C(3，2)代入抛物线，可得29a9a4a，解得：a，抛物线的解析式为y；(2)设点P(m，0)，Q(m+1，0)，由题意，点D(m，m+)m，E(m，)，G(m+1，m+1)，F(m+1，)，四边形DEFG为平行四边形，EDFG，()(m+)()(m+1)，即，m0.5，P(0.5，0)、Q(1.5，0)；(3)设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由(2)可得，S()12(m2+m+)，当m时，S最大值为，以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为练3.1如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A(3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C(1)求这个抛物线的函数表达式(2
27、)点D的坐标为(1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值【解答】解：(1)抛物线的表达式为：ya(x+3)(x1)a(x2+2x3)ax2+2ax3a，即3a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+2， (2)连接OP，设点P(x，x2x+2)，则SS四边形ADCPSAPO+SCPOSODCAOyP+OC|xP|COOD(x2x+2)2(x)x23x+2，10，故S有最大值，当x时，S的最大值为；练3.2如图，对称轴为直线x2的抛物线经过点A(1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a+1，0)，点P是第一象限内
28、的抛物线上的动点(1)求此抛物线的解析式；(2)当a1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标【解答】解：(1)对称轴为直线x2，设抛物线解析式为ya(x2)2+k将A(1，0)，C(0，5)代入得：，解得，y(x2)2+9x2+4x+5(2)当a1时，E(1，0)，F(2，0)，OE1，OF2设P(x，x2+4x+5)，如答图2，过点P作PNy轴于点N，则PNx，ONx2+4x+5，MNONOMx2+4x+4S四边形MEFPS梯形OFPNSPMNSOME(PN+OF)ONPNMNOMOE(x+2)(x2+4x+5)x(x2+4x+4)11x2+x+(x)2+，当x时，四边形MEF
29、P的面积有最大值为，把x时，y(2)2+9此时点P坐标为(，) 中考数学压轴题-二次函数第2节 将军饮马求最值1-对称 内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。基本图形解析：(一)、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；(1)点A、B在直线m两侧： (2)点A、B在直线同侧： A、A 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。(1)两个点都在直线外侧： (2)一个点在内侧，一个点在外侧： (3)两个点都在内侧： (4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形A
30、DEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；(1)点A、B在直线m同侧： 解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。(2)点A、B在直线m异侧： 解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB 例题演练 题组1：两定点一动点问题例1已知，如图1，抛物线yx22x3与x轴交
31、于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使ACB90，ACBC，抛物线的顶点为D(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，若点E是AB上一动点(点A、B除外)，连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求BDE的面积；【解答】解：(1)由题意A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)设C(m，0)，则B(m，m+1)，把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1m22m3，解得m4或1(舍弃)，C(4，0)，B(4，5)，设直线AB的解析式为ykx+b，则有，直线AB的解析式为yx+1(2)如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C，连接OC交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO
32、+EC的值最小C(4，0)，CC关于直线AB对称，C(1，5)，直线OC的解析式为y5x，由，解得，E(，)，D(1，4)，SBDE9(4+)39(1+)(4+)(4+)(5)12.5练1.1如图，已知抛物线yx2+3x8的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(1)求直线BC的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：(1)对于抛物线yx2+3x8，令y0，得到x2+3x80，解得x8或2，B(8，0)，A(2，0)，令x0，得到y8，A(2，0)，B
33、(8，0)，C(0，8)，设直线BC的解析式为ykx+b，则有，解得，直线BC的解析式为yx8(2)如图1中，作FNy轴交BC于N设F(m，m2+3m8)，则N(m，m8)SFBCSFNB+SFNCFN84FN4(m8)(m2+3m8)2m216m2(m+4)2+32，当m4时，FBC的面积有最大值，此时F(4，12)，抛物线的对称轴x3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时BFP的周长最小，设直线AF的解析式为yax+b，则有，解得，直线AF的解析式为y2x4，P(3，10)，点F的坐标和点P的坐标分别是F(4，12)，P(3，10) 题组2：两动点一定点问题例2如图，抛物
34、线yx2+bx+c与直线ymx+n相交于点A(1，8)和点B(5，4)(1)求抛物线和直线AB的解析式(2)如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值【解答】解：(1)抛物线yx2+bx+c与直线ymx+n相交于点A(1，8)和点B(5，4)，解得，抛物线解析式为yx2+5x+4，直线y解析式为x+9(2)如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E(0，9)，F(9，0)，连接PE、PF、PO当PQ最大时，PEF的面
35、积最大，设P(m，m2+5m+4)SPEFSPOE+SPOFSEOF9m+9(m2+5m+4)99(m3)2+18，0，m3时，PEF的面积最大值为18，此时P(3，10)，作点P关于y轴的对称点P，B关于x轴的对称点B，连接PB，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小理由：四边形PNMB周长PN+MN+MB+PBPN+MN+MB+PBPB+PB，PB是定长，两点之间线段最短，此时四边形PNMB周长最小P(3，10)，B(5，4)，PB2，PB2，四边形PNMB周长的最小值为2+2练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C
36、点，顶点为D(1)如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当ARAD时，求点R的坐标；(2)在(1)的条件下在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQx轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MNAR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标【解答】解：(1)对于抛物线yx2+x+3，令y0，得x2+x+30，解得x2或6，B(2，0)，A(6，0)，yx2+x+3(x2)2+4，抛物线顶点D坐标为(2，4)，对称轴x2，设直线AD的解析式为ykx+b则有，解得，
37、直线AD的解析式为yx+6，ARAD，直线AR的解析式为yx2，点R坐标(2，)(2)如图1中，设P(m，m2+m+3)，则Q(m，m2)，M(m，m2+m+)，由(1)可知tanDAB，DAB60，DAQ90，BAQ30，平行四边形MNRQ周长2(m2+m+m+2)+2(2m)cos30m2m+，m时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P(，)，如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小理由：PE+EF+AFEM+FE+AFFM+AFFN+AFAN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小M(，)
38、，N(，)，直线AN的解析式为yx+，点F坐标(0，)，直线FM的解析式为yx+，点E坐标(2，) 题组3：线段之差的最大值问题例3如图，二次函数yx2+2x+1的图象与一次函数yx+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F(1)当PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BHPH|的值最大，求点H的坐标和|BHPH|的最大值；【解答】解：(1)设点P(m，m+1)，则点E(m，0)，联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为(0，1)、(6，5)，由抛物线的表达式知，点C(2，3)，由B
39、、C的坐标得，直线BC的表达式为y2x+7，当y2x+7m+1时，x，故点F(，m+1)，PEF面积PEPF(m1)(m)(m1)(m6)，0，故PEF面积有最大值，此时m(1+6)，故点P(，)，当P、B、H三点共线时，|BHPH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H(1，0)，则|BHPH|的最大值BHPHBP；练3.1已知抛物线：yx2x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为5(1)如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积(2)如图2，连接AE，以AB，AE为边作AEFB，将抛物线w与AEFB一起先向右平
40、移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w和AEFB，在向上平移的过程中AEFB与AEFB重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，EF与BF交于点Q，在直线AB上有两动点P，H，且PH2(P在H的右边)，当|PQHC|取得最大值时，求点P的坐标【解答】解：(1)令x2x+40，解得：x14，x22，A(4，0)，B(2，0)当x1时，y，即D(1，)，当x5时，y，即E(5，)S四边形AEODSAOE+SAODAD(yDyE)4()16；(2)如图1，延长FE交x轴于点H，由平移可知：F(1，)，FHx轴，FEm，FH，BH1，FHBFEQ，即，EQ，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形EQHE()