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1、统计学统计学（第二版）（第二版）第八章方差分析第八章方差分析方差分析方法引导方差分析方法引导单因素方差分析单因素方差分析双因素方差分析双因素方差分析统计学统计学（第二版）（第二版）第一节第一节 方差分析方法引导方差分析方法引导方差分析问题的提出方差分析问题的提出方差分析的基本原理方差分析的基本原理统计学统计学（第二版）（第二版）在诸多领域的数量分析研究中，找到众多影响因素中重要的在诸多领域的数量分析研究中，找到众多影响因素中重要的影响因素是非常重要的。比如：在农业生产中，我们总是希影响因素是非常重要的。比如：在农业生产中，我们总是希望在尽量少的投入成本下得到较高的农作物产量。这就需要望在尽量少
2、的投入成本下得到较高的农作物产量。这就需要首先分析农作物的产量究竟受到哪些因素的影响。有许多因首先分析农作物的产量究竟受到哪些因素的影响。有许多因素会影响农作物的产量，如种子的品种、施肥量、气候、地素会影响农作物的产量，如种子的品种、施肥量、气候、地域等，他们都会给农作物的产量带来或多或少的影响。如果域等，他们都会给农作物的产量带来或多或少的影响。如果我们能够掌握在众多的影响因素中，哪些因素对农作物的产我们能够掌握在众多的影响因素中，哪些因素对农作物的产量起到了主要的、关键性的作用，我们就可以根据实际情况量起到了主要的、关键性的作用，我们就可以根据实际情况对这些关键因素加以控制。对这些关键因素
3、加以控制。进一步，在掌握关键影响因素，如品种、施肥量因素等之进一步，在掌握关键影响因素，如品种、施肥量因素等之后，我们还要对不同的品种、不同的施肥量条件下的产量进后，我们还要对不同的品种、不同的施肥量条件下的产量进行对比分析，研究究竟哪个品种的产量高，施肥量究竟多少行对比分析，研究究竟哪个品种的产量高，施肥量究竟多少最合适，哪种品种与哪种施肥量搭配最优，等等。在这些分最合适，哪种品种与哪种施肥量搭配最优，等等。在这些分析研究的基础上，我们就可以计算出各个组合方案的成本和析研究的基础上，我们就可以计算出各个组合方案的成本和收益，并选择最合理的种植方案，主动的在农作物种植过程收益，并选择最合理的种
4、植方案，主动的在农作物种植过程中对各种影响因素加以准确控制，进而获得最理想的效果。中对各种影响因素加以准确控制，进而获得最理想的效果。统计学统计学（第二版）（第二版）一、一、方差分析问题的提出方差分析问题的提出【例【例8-1】为研究某种新安眠药的效果，将】为研究某种新安眠药的效果，将18只试验只试验小白鼠随机的等分成三组，各组分别注射不同剂小白鼠随机的等分成三组，各组分别注射不同剂量的这种安眠药，观察每只小白鼠从注射到入睡量的这种安眠药，观察每只小白鼠从注射到入睡的时间，得到数据如下表。的时间，得到数据如下表。表表8-1 小白鼠安眠药试验入睡时间数据小白鼠安眠药试验入睡时间数据组组号号剂剂量量
5、mg入睡入睡时间时间（分（分钟钟）(interval)10.521231924252321.019212018222031.5151013141115统计学统计学（第二版）（第二版）v可以看出不同剂量的安眠药效果有差异，表明安可以看出不同剂量的安眠药效果有差异，表明安眠药的剂量对入睡时间有一定的影响；同时同一眠药的剂量对入睡时间有一定的影响；同时同一剂量下的六只小白鼠的入睡时间各不相同，这表剂量下的六只小白鼠的入睡时间各不相同，这表明入睡时间除了受到安眠药剂量的影响之外，还明入睡时间除了受到安眠药剂量的影响之外，还有某些偶然性因素及测量误差的影响。有某些偶然性因素及测量误差的影响。如果我们想检
6、验这三个水平的平均入睡时间之间如果我们想检验这三个水平的平均入睡时间之间的差别，在正态总体假设前提下，即检验的差别，在正态总体假设前提下，即检验 、，可以采用，可以采用t检验。检验。两两检两两检验过于繁琐，要想一次性进行检验，可采用方差验过于繁琐，要想一次性进行检验，可采用方差分析的方法。分析的方法。统计学统计学（第二版）（第二版）v方差分析，简称方差分析，简称ANOVA（analysis of variance），），就是利用试验观测值总偏差的可分解性，将不同就是利用试验观测值总偏差的可分解性，将不同条件所引起的偏差与试验误差分解开来，按照一条件所引起的偏差与试验误差分解开来，按照一定的规则
7、进行比较，以确定条件偏差的影响程度定的规则进行比较，以确定条件偏差的影响程度以及相对大小。当已经确认某几种因素对试验结以及相对大小。当已经确认某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检验确定哪种果有显著影响时，可使用方差分析检验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。统计学统计学（第二版）（第二版）v在介绍方差分析之前，先要明确以下一些术语和概念。在介绍方差分析之前，先要明确以下一些术语和概念。v1、影响因素的分类：在所有的影响因素中根据是否可以、影响因素的分类：在所有的影响因素中根据是否可以人为控制可以分为两类，一类是人为可以控
8、制的因素，称人为控制可以分为两类，一类是人为可以控制的因素，称为控制因素或控制变量，如种子品种的选定，施肥量的多为控制因素或控制变量，如种子品种的选定，施肥量的多少；另一类因素是认为很难控制的因素，称为随机因素或少；另一类因素是认为很难控制的因素，称为随机因素或随机变量，如气候和地域等影响因素。在很多情况下随机随机变量，如气候和地域等影响因素。在很多情况下随机因素指的是实验过程中的抽样误差。因素指的是实验过程中的抽样误差。v2、控制变量的不同水平：控制变量的不同取值或水平，、控制变量的不同水平：控制变量的不同取值或水平，称为控制变量的不同水平。如甲品种、乙品种；称为控制变量的不同水平。如甲品种
9、、乙品种；10公斤化公斤化肥、肥、20公斤化肥、公斤化肥、30公斤化肥等。公斤化肥等。v3、观测变量：受控制变量和随机变量影响的变量称为观、观测变量：受控制变量和随机变量影响的变量称为观测变量，如农作物的产量等。测变量，如农作物的产量等。v 方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量以及对观测量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量以及对观测变量有显著影响的各个控制变量其不同水平以及各水平的变量有显著影响的各个控制变量其不同水平以及各水平的交互搭配是如何影响观测变量的一种分析方法。交互搭配是如何影响观
10、测变量的一种分析方法。统计学统计学（第二版）（第二版）产量品种施肥量地形气候甲乙高低山地平原热冷控制变量控制变量观测量观测量随机变量随机变量控制变量的不同水平控制变量的不同水平统计学统计学（第二版）（第二版）二、二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理 方差分析认为，如果控制变量的不同水平对观测变方差分析认为，如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影响，那么它和随机变量共同作用必然量产生了显著影响，那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动；反之，如果控制变量的不使得观测变量值显著变动；反之，如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响，那么观测变量同水平没有对观测变量产生显著
11、影响，那么观测变量值的变动就不明显，其变动可以归结为随机变量影响值的变动就不明显，其变动可以归结为随机变量影响造成的。造成的。建立在观测变量建立在观测变量各总体服从正态分布各总体服从正态分布和和同方差同方差的假设的假设之上，方差分析的问题就转化为在控制变量不同水平之上，方差分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的上的观测变量均值观测变量均值是否存在显著差异的推断问题了。是否存在显著差异的推断问题了。综上所述，方差分析从对观测变量的方差分解入手，综上所述，方差分析从对观测变量的方差分解入手，通过推断控制变量各水平下各观测变量的均值是否存通过推断控制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异，分
12、析控制变量是否给观测变量带来了显在显著差异，分析控制变量是否给观测变量带来了显著影响，进而再对控制变量各个水平对观测变量影响著影响，进而再对控制变量各个水平对观测变量影响的程度进行剖析。的程度进行剖析。统计学统计学（第二版）（第二版）v一般的，试验结果的差异性可由离差平方和表示，离差平一般的，试验结果的差异性可由离差平方和表示，离差平方和又可分解为组间方差与组内方差。其中，组间方差为方和又可分解为组间方差与组内方差。其中，组间方差为因素对试验结果的影响的加总；组内方差则是各组内的随因素对试验结果的影响的加总；组内方差则是各组内的随机影响的加总。如果组间方差明显高于组内方差，说明样机影响的加总。
13、如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因素是引起波动的主本数据波动的主要来源是组间方差，因素是引起波动的主要原因，则认为因素对试验的结果存在显著的影响；否则要原因，则认为因素对试验的结果存在显著的影响；否则认为波动主要来自组内方差，即因素对试验结果的影响不认为波动主要来自组内方差，即因素对试验结果的影响不显著。显著。根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素方差分析；根据观测变量的个数可将方差分析分为多因素方差分析；根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析（单因变量方差分析）和多元方差分析（多一
14、元方差分析（单因变量方差分析）和多元方差分析（多因变量方差分析）。因变量方差分析）。统计学统计学（第二版）（第二版）（二）检验统计量（二）检验统计量v由上面的分析可知，因素以及因素之间的由上面的分析可知，因素以及因素之间的“交互作用交互作用”对试验对试验结果是否有显著影响，不仅要看组间方差与组内方差的比较，结果是否有显著影响，不仅要看组间方差与组内方差的比较，同时也要考虑重复试验的次数，因为如果将每一次独立观测的同时也要考虑重复试验的次数，因为如果将每一次独立观测的结果作为一个独立变量，方差则是所有变量和其均值的残差平结果作为一个独立变量，方差则是所有变量和其均值的残差平方和。构成方差的独立变
15、量个数越多，其方差越大；而独立变方和。构成方差的独立变量个数越多，其方差越大；而独立变量个数越小，其方差越小。在统计中这些独立变量的个数称为量个数越小，其方差越小。在统计中这些独立变量的个数称为自由度。为了消除自由度对方差大小的影响，我们用方差除去自由度。为了消除自由度对方差大小的影响，我们用方差除去自由度后的结果来比较两者相对大小。由此得到一个检验因素自由度后的结果来比较两者相对大小。由此得到一个检验因素影响是否显著的统计量：影响是否显著的统计量：vF统计量的值越大，就越能说明组间方差是离差平方和的统计量的值越大，就越能说明组间方差是离差平方和的主要来源，因素影响显著；主要来源，因素影响显著
16、；F统计量的值越小，就越能说统计量的值越小，就越能说明组内方差是离差平方和的主要来源，因素影响不显著。明组内方差是离差平方和的主要来源，因素影响不显著。统计学统计学（第二版）（第二版）第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析单因素条件下的平方和分解公式单因素条件下的平方和分解公式因素作用显著性的检验因素作用显著性的检验应注意的问题应注意的问题统计学统计学（第二版）（第二版）一、一、单因素条件下的平方和分解公式单因素条件下的平方和分解公式v（一）定义：（一）定义：v在试验中只考虑一个因素对试验结果影响显著性的在试验中只考虑一个因素对试验结果影响显著性的方差分析称为单因素方差分析。方差分析称为单
17、因素方差分析。v例如：分析不同施肥量是否给农作物的产量产生显例如：分析不同施肥量是否给农作物的产量产生显著影响；研究不同学历是否对工资收入产生显著著影响；研究不同学历是否对工资收入产生显著影响等。影响等。统计学统计学（第二版）（第二版）（二）观测变量方差的分解（二）观测变量方差的分解 表示在表示在 水平下水平下，第第 次实验的实验结果次实验的实验结果。总离差平方和总离差平方和 表示试验结果的差异性的总和表示试验结果的差异性的总和（8.1）（8.2）（8.3）（8.4）（8.5）次数次数水平水平12n合合计计均均值值合合计计统计学统计学（第二版）（第二版）v按方差分解的原理可得按方差分解的原理可
18、得：交叉项为零，因为交叉项为零，因为统计学统计学（第二版）（第二版）同时可以得到：同时可以得到：为组间方差，由不同水平下的各组均值和总平均为组间方差，由不同水平下的各组均值和总平均值的残差平方和值的残差平方和；是组内方差，即各组实验结是组内方差，即各组实验结果和各组均值的残差平方和果和各组均值的残差平方和。由此可得离差平方由此可得离差平方和的分解公式和的分解公式：（8.6）（8.7）统计学统计学（第二版）（第二版）其中，其中，SST为观测变量的总离差平方和；为观测变量的总离差平方和；SSA为为组间离差平方和，是由控制变量不同水平造成的组间离差平方和，是由控制变量不同水平造成的观测变量的变差；观
19、测变量的变差；SSE为组内平方和，是由抽样为组内平方和，是由抽样误差引起的观测变量的变差。误差引起的观测变量的变差。统计学统计学（第二版）（第二版）二、因素作用显著性的检验二、因素作用显著性的检验v若记各水平下的总体均值为若记各水平下的总体均值为 ，则检验因素对试验则检验因素对试验结果影响的显著性就是检验假设：结果影响的显著性就是检验假设：或简单写成或简单写成 由前所述，只要建立关于由前所述，只要建立关于 与与 的的F统计量就可以进行统计量就可以进行假假设设检验。在此之前，先要推算出对应的自由度。检验。在此之前，先要推算出对应的自由度。（8.9）（8.10）统计学统计学（第二版）（第二版）是所
20、有是所有 与总均值的残差平方和与总均值的残差平方和，但这但这nr个个 需要满足需要满足的一个约束条件的一个约束条件 ，因此只有，因此只有nr-1个独立变量个独立变量，即自由度是即自由度是nr-1。是因素在不同水平下的均值是因素在不同水平下的均值 的残差的残差平方和平方和，应满足约束条件应满足约束条件 ，因此自由度是因此自由度是r-1。是由所有的是由所有的 相对于各水平下均值的残差平方和相对于各水平下均值的残差平方和，要满要满足足r个约束条件个约束条件 （i=1,2,，r），），所以所以 的自由的自由度是度是r(n-1)。综上综上，、和和 的自由度满足的自由度满足：nr-1=(r-1)+r(n-
21、1)方差除去自由度后，就可以得到组间均方差方差除去自由度后，就可以得到组间均方差 与组内均方与组内均方差差 ：（8.11）（8.12）（8.13）统计学统计学（第二版）（第二版）v进一步，可直接构造进一步，可直接构造F统计量来检验前面提出的假设统计量来检验前面提出的假设（8.9）或（）或（8.10），），vF值越大，越说明组间方差大于组内方差，因此组间方差值越大，越说明组间方差大于组内方差，因此组间方差构成了离差平方和的主要来源，即因素的不同水平对试验构成了离差平方和的主要来源，即因素的不同水平对试验结果影响较大，应拒绝原假设；反之，说明组内方差是主结果影响较大，应拒绝原假设；反之，说明组内方
22、差是主要来源，不能拒绝原假设。要来源，不能拒绝原假设。对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平，查，查F分布表得临界值分布表得临界值 ，当，当F 时，拒绝原假设，时，拒绝原假设，认为因素对总体有显著影响；认为因素对总体有显著影响；当当F0.05，可以认为专家对评分没有显著影响。而品，可以认为专家对评分没有显著影响。而品牌的牌的p值值=0.000446，说明电视机品牌对评分有显著影响。，说明电视机品牌对评分有显著影响。表表8-8 Excel得到的无交互作用的双因素方差分析表得到的无交互作用的双因素方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方差均方差F F值值P P值值F F临界值临界值品牌
23、品牌43.243.23 314.414.412.9924812.992480.0004460.0004463.49033.4903专家专家11.511.54 42.8752.8752.5939852.5939850.0899810.0899813.259163.25916误差误差13.313.312121.1083331.108333总计总计68681919统计学统计学（第二版）（第二版）EXCEL在方差分析中的运用在方差分析中的运用 1输入数据，见附图输入数据，见附图-25。附图附图-25统计学统计学（第二版）（第二版）2点击点击【数据数据】下拉菜单，找到下拉菜单，找到【数据分析数据分析】选
24、项，选项，调调出出方差分析：无重复双因素分析方差分析：无重复双因素分析对话框对话框 统计学统计学（第二版）（第二版）v注意注意：本例中本例中标志标志复选框被选中，输入区域必复选框被选中，输入区域必须包括品牌代号（须包括品牌代号（A1、A2等）和专家代号（等）和专家代号（B1、B2等）所在的单元格区域，也即输入区域为等）所在的单元格区域，也即输入区域为“$A$1:$F$5”，而不是只包括数据的单元格区，而不是只包括数据的单元格区域域“$B$2:$F$5”。统计学统计学（第二版）（第二版）3单击单击确定确定按钮，得到方差分析表按钮，得到方差分析表。统计学统计学（第二版）（第二版）【例【例8-6】在
25、一个品酒试验中，有】在一个品酒试验中，有9位品师（位品师（scorer）分别独立的）分别独立的对四种酒（对四种酒（brand）做出评价。评价结果用七分制表示：）做出评价。评价结果用七分制表示：(1)最喜欢，最喜欢，(2)很喜欢，很喜欢，(3)轻微喜欢，轻微喜欢，(4)一般，一般，(5)轻微不喜欢，轻微不喜欢，(6)很不喜欢，很不喜欢，(7)最不喜欢。试验结果如下表。请分析品酒师最不喜欢。试验结果如下表。请分析品酒师和酒型对得分指标的影响（显著水平和酒型对得分指标的影响（显著水平0.05）。）。酒酒 型型A AB BC CD D品品 酒酒 师师1 15 52 26 66 62 26 61 13
26、35 53 36 64 44 43 34 43 33 36 65 55 53 33 34 45 56 62 23 34 44 47 75 56 65 55 58 82 23 32 23 39 93 34 44 45 5统计学统计学（第二版）（第二版）v解：设解：设品酒师品酒师因素为因素为，酒型酒型因素为因素为，由题意建立假设检验，由题意建立假设检验：v由由Excel软件得到下表软件得到下表:v因为品酒师因素的因为品酒师因素的p值值=0.16088，酒型因素的，酒型因素的p值值=0.16221，所以品酒师和酒型两个因素都对评分没有显著影响。所以品酒师和酒型两个因素都对评分没有显著影响。表表8-9
27、 Excel得到的双因素无交互作用的方差分析表得到的双因素无交互作用的方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方差均方差F F值值P P值值F F临界值临界值品酒品酒师师20.7222220.722228 82.59032.59031.657781.657780.160880.160882.355082.35508酒型酒型8.758.753 32.91672.91671.866671.866670.162210.162213.008793.00879误误差差37.537.524241.56251.5625总计总计66.9722266.972223535统计学统计学（第二版）（第二版）二
28、、有交互作用的双因素方差分析二、有交互作用的双因素方差分析v当因素之间存在交互作用时，为了区分随机误差和交互作用，当因素之间存在交互作用时，为了区分随机误差和交互作用，需要在不同的水平组合下进行重复试验。设在因素需要在不同的水平组合下进行重复试验。设在因素A与因素与因素B每一个水平组合下等重复的试验每一个水平组合下等重复的试验t次，得到表次，得到表8-10。表表8-10 有交互作用的双因素方差分析数据表有交互作用的双因素方差分析数据表因素因素 B因因素素A统计学统计学（第二版）（第二版）v 表示的是在水平组合表示的是在水平组合 下第下第k次实验的实验结果次实验的实验结果。在该组合下实验结果的均
29、值为在该组合下实验结果的均值为：v进一步记：进一步记：（8.25）（8.27）（8.26）（8.28）统计学统计学（第二版）（第二版）v和无交互作用的方差分析类似，离差平方和可以分解为：和无交互作用的方差分析类似，离差平方和可以分解为：v其中：其中：（8.33）（8.32）（8.31）（8.29）（8.34）（8.30）统计学统计学（第二版）（第二版）v交叉项交叉项 表表示两个因素的取值水平组合下的试验结果产生的示两个因素的取值水平组合下的试验结果产生的因素水平组合方差。因素水平组合方差。、和和 的自由度分别是的自由度分别是 rst-1、r-1、s-1、(r-1)(s-1)和和rs(t-1)。
30、可计算出均方差。可计算出均方差：v则则F统计量依次为统计量依次为：（8.40）（8.35）（8.36）（8.37）（8.38）（8.39）（8.41）统计学统计学（第二版）（第二版）v总结以上结论可以得到方差分析表总结以上结论可以得到方差分析表8-11：表表8-11 双因素等重复试验方差分析表双因素等重复试验方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方均方差差F统计统计量量因素因素交互作用误差总计统计学统计学（第二版）（第二版）多因素方差分析的基本步骤多因素方差分析的基本步骤v提出原假设：提出原假设：v(1)(1)各控制变量不同水平下观测变量各总体的均值无各控制变量不同水平下观测变量各总
31、体的均值无显著差异显著差异vu u1 1=u=u2 2=u=uk k=0=0 v(2)(2)控制变量及交互作用对观测变量无显著影响。控制变量及交互作用对观测变量无显著影响。va1=aa1=a2 2=a=ak k=0 b=0 b1 1=b=b2 2=b=br r=0=0 v(ab)(ab)1111=(ab)=(ab)1212=(ab)=(ab)krkr=0=0v计算检验统计量计算检验统计量F F和概率和概率P P值值l给定显著性水平给定显著性水平(0.05)(0.05)与与p p值做比较：如果值做比较：如果p p值小于值小于显著性水平，则应该拒绝原假设，反之就不能拒绝显著性水平，则应该拒绝原假设
32、，反之就不能拒绝原假设。原假设。统计学统计学（第二版）（第二版）【例【例8-7】一连锁便利店想要进行抽奖销售，为此设计了三种不】一连锁便利店想要进行抽奖销售，为此设计了三种不同的销售点展示牌类型，同时还选择了收银台和入口处两个同的销售点展示牌类型，同时还选择了收银台和入口处两个不同的地点摆放。试验选择了不同的地点摆放。试验选择了18家分店进行，每种组合随机家分店进行，每种组合随机分配了三家分店，各分店的彩票销售数量（单位：百张）见分配了三家分店，各分店的彩票销售数量（单位：百张）见下表。下表。请在显著水平请在显著水平0.05下，分析两种因素是否对彩票销售下，分析两种因素是否对彩票销售有显著影响
33、。有显著影响。展示牌展示牌类类型型ABC收收银银台旁台旁43,39,4039,38,4357,60,49便利店入口便利店入口处处53,46,5158,55,5047,42,46统计学统计学（第二版）（第二版）v解：这是一个有交互作用的双因素重复试验。由题意设展示解：这是一个有交互作用的双因素重复试验。由题意设展示牌位置因素为牌位置因素为，展示牌类型因素为，展示牌类型因素为，交互作用为，交互作用为，建立，建立假设检验假设检验：v由由Excel得到下表得到下表：v由表可以得出结论：展示牌的不同位置对彩票销售量有显著由表可以得出结论：展示牌的不同位置对彩票销售量有显著影响（影响（p值值=0.0240
34、），展示牌的类型对彩票销售没有显著影），展示牌的类型对彩票销售没有显著影响（响（p值值=0.10912），而两个因素的交互效应对彩票销售存在），而两个因素的交互效应对彩票销售存在显著影响（显著影响（p值值=0.0002）。）。表表8-12 由由Excel得到的方差分析表得到的方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方差均方差F F值值P P值值F F临界值临界值位置位置88.888988.88891 188.888988.88896.666676.666670.02400.02404.74714.7471类类型型71.444471.44442 235.722235.72222.6791
35、72.679170.10920.10923.88533.8853交互交互510.111510.1112 2255.055255.0556 619.129219.12920.00020.00023.88533.8853内部内部160160121213.333313.3333总计总计830.444830.4444 41717统计学统计学（第二版）（第二版）57哪些因素影响哪些因素影响GMATGMAT成绩？成绩？v 得克萨斯州的一所大学提出了三种得克萨斯州的一所大学提出了三种GMAT辅导课程：即辅导课程：即3小时复习、小时复习、1天课程和天课程和10周强化周强化班，他们需要了解这三种辅导方式如何影响
36、班，他们需要了解这三种辅导方式如何影响GMAT成绩。另外，通常考生来自三类院校，成绩。另外，通常考生来自三类院校，即商学院、工学院、艺术与科学院。因此，了即商学院、工学院、艺术与科学院。因此，了解不同类型学校毕业的考生解不同类型学校毕业的考生GMAT成绩是否有成绩是否有差异也是一个让人感兴趣的话题。最后，是否差异也是一个让人感兴趣的话题。最后，是否一类学校的考生适应一种辅导课程，而另一类一类学校的考生适应一种辅导课程，而另一类学校的考生适合其他课程？学校的考生适合其他课程？v 他们在三类学校中每一个随机抽取他们在三类学校中每一个随机抽取6个学个学生，随机指派两名到一门辅导课程中，最后他生，随机
37、指派两名到一门辅导课程中，最后他们的们的GMAT成绩结果如下表所示。成绩结果如下表所示。统计学统计学（第二版）（第二版）58对问题的初步分析对问题的初步分析v双因子，因子双因子，因子A-辅导课程：三个水平；辅导课程：三个水平；因子因子B-学校类型：三个水平；学校类型：三个水平；v检验假设：检验假设：H01：因子因子A对对GMAT成绩无影响；成绩无影响；H02：因子因子B对对GMAT成绩无影响；成绩无影响；H03：因子因子A与因子与因子B无交互作用。无交互作用。统计学统计学（第二版）（第二版）因子因子A（辅导课程）对（辅导课程）对GMAT成绩无影响；成绩无影响；因子因子B（学校类型）对（学校类型）对GMAT成绩有影响；成绩有影响；因子因子A与因子与因子B无交互作用。无交互作用。