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1、圆柱和圆锥圆柱和圆锥 1一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径为原来的 2 倍，可装水 40 千克，那么原来的水桶可装水多少千克？2如图，ABCD是矩形，6cmBC，10cmAB=，对角线AC、BD相交OE、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(取 3)3长 10 厘米，直径 2 厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧），至少需要多大面积的纸？(奥数典型题)圆柱和圆锥(培优)-2024年六年级下册小升初数学思维拓展 4如图所示，壁虎在一座油罐的下底边 A 处，它发现在自己的正上方，油罐
2、上边缘的 B 处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？5一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，高是15厘米，水深 8 厘米现将一个底面积是 16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后现在水深多少厘米？6如下图：用一张长 82.8 厘米、宽 10 厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）7一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分已知这两部
3、分的表面积之和比圆柱体的表面积 大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是多少2cm(取3.14)8把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？9如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是 3 和 4将ABC绕AC旋转一周，求ABC扫出的立体图形的体积(3.14=)10有一块棱长分别为 6dm、8dm、10dm 的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块求这个圆锥体木块的体积？11把一个底面直径是 10 厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了 100 平方厘
4、米求这个圆柱体的体积 12把一块长 18.84 厘米，宽 5 厘米，高 4 厘米的长方体钢锭和一块底面直径是 8 厘米，高 25 厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为 8 厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？13 已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积(3=)14如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 20 厘米，中间有一直径为 8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？15有一只底面半径是 20 厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是 5 厘米的圆柱体钢材浸在水中钢
5、材从水桶里取出后，桶里的水下降了 6 厘米这段钢材有多长？16把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？17一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是 12 厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部 5 厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（3=）18一个圆锥形容器高 24 厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？19输液 100 毫升，每分钟输2.5毫升如图，请你观察第 12
6、 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？20把一块长为 15.8 厘米，宽为 8.4 厘米，高为 6 厘米的长方体铝块和一块底面积直径为 8.4 厘米，高 10厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为 10 厘米的圆锥形铝块，求这块圆锥形铝块的高是多少厘米？21如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积22已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体
7、积最小的是多少立方厘米？(取3.14)23将一个棱长为 20 厘米的正方体，削成一个圆柱体，并且要使圆柱体的体积最大，则削去部分的体积是多少立方厘米？24一个圆柱体底面周长和高相等如果高缩短 4 厘米，表面积就减少50.24平方厘米求这个圆柱体的表面积是多少？答案第 1 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案：参考答案：120 千克【分析】利用圆柱的体积 V=r2h，可以求出改造后这桶水的容积积与原来这桶水的容积之间的关系，依此就能求出原来可装水的重量【详解】解：40222=4042=20（千克）答：原来可装水 20 千克 2180【详解】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是
8、一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形 两个圆锥的体积之和为212 3530903=(立方厘米)；圆柱的体积为(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为27090180=(立方厘米)3122.8 平方厘米【详解】如图所示：上图为捆成的圆柱的截面图，由图可知，需要的纸张的长为 1 个圆的周长再加 3 个直径，宽为圆柱的长（23+3.142）10=（6+6.28）10=12.2810=122.8（平方厘米）答：至少需要 122.8 平方厘米的纸【点睛】解答此题的关键是利用直观画图，求出所需纸张的长和宽，即可求其面积 413 米 答案第 2 页，共 7 页【分析】为了找到最短路线，我们可以把圆柱的侧面沿 A
9、B 剪开，展成一个平面（如图 5b 所示），在一个平面上两点间以直线段距离最短，因此连接 AB，即为最短路线【详解】将圆柱的侧面沿 AB 剪开，展成如图 5b）所示的平面，连接 AB 即为最短路线，并且 BC=5 米，答：壁虎至少要爬行 13 米才能抓到害虫 510【详解】根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度(法 1)：80 8(80 16)6406410=(厘米)；(法 2)：设水面上升了x厘米根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)xx=+，解得：2x=，8210+=(厘米)61570 立方厘米【分析】由题意可知：在长方形上剪一个最大的圆，圆的直径应
10、该是 10 厘米，把剩下的铁皮分成两块，把两块上下对接，围成的圆柱的高是 20 厘米根据圆的面积计算公式 S=r2，算出圆的底面积，再根据圆柱的体积 V=sh，算出圆柱的体积即可【详解】解：3.14（102）2102=3.142520=78.520=1570（立方厘米）答：这个铁皮水桶的容积是 1570 立方厘米 73152.56 平方厘米【详解】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面 设圆柱体底面半径为r，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：22 22008(cm)rh=，所以2502(cm)rh=，所以，圆柱体侧面积为：22 2 3.14 5023152.56(c
11、m)rh =825.12【详解】沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的 2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.5626.28=厘米，底面半径为6.283.1421=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2 18825.12=(立方厘米)937.68 答案第 3 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司【详解】如右上图所示，ABC扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为 3，高为 4，体积为：21 341237.683=10100.48 立方分米【分析】根据长方体切割出最大圆锥的特点可知，有 3 种切割方法：（1）以 8 分米为底面
12、直径，以 6 分米为圆锥高；（2）以 6 分米为底面直径，10 分米为高；（3）以 6 分米为底面直径，8 分米为高；由此利用圆锥的体积公式计算出它们各自的体积，即可求得这个圆锥的最大体积是多少【详解】解：（1）以 8 分米为底面直径，以 6 分米为圆锥高；体积为：3.14（82）2613=3.14162=100.48（立方分米）（2）以 6 分米为底面直径，10 分米为高；3.14（62）21013=3.14310=94.2（立方分米）（3）以 6 分米为底面直径，8 分米为高；3.14（62）2813=3.1438=75.36（立方分米）答：这个最大圆锥的体积是 100.48 立方分米 1
13、1392.5 立方厘米【分析】要求圆柱的体积，已知底面半径为 102=5 厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加部分就是以这个圆柱的底面直径和圆柱的高为边长的两个长方形的面积，由此利用长方形的面积公式即可求得圆柱的高，代入圆柱的体积公式即可解决问题【详解】解：圆柱的高为：100210=5010=5（厘米）所以圆柱的体积为：3.14（102）25=3.14255 答案第 4 页，共 7 页=392.5（立方厘米）答：原来这个圆柱的体积是 392.5 立方厘米 1224.375 厘米【分析】要求圆锥的高，必须知道圆锥的体积和底面积，而题中的圆锥
14、是两个不同形体的几何体熔铸而成的，所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和【详解】解：设圆锥的高为 x 厘米 13（3.1482x）=18.84543.14（82）225 x=24.375 答：这个圆锥形钢块高是 24.375 厘米 1330【详解】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为 10 厘米，宽为圆柱底面的直径，设为2r，则210 240r=，1r=(厘米)圆柱体积为：2 11030=(立方厘米)1465.94 平方米【详解】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：22208100840022=(立方厘米)，薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.
15、04厘米，所以薄膜展开后的面积为 84000.04659400=平方厘米65.94=平方米 另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积 由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为222088422=(平方厘米)，展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为840.046594=厘米，所以展开后薄膜的面积为6594 100659400=平方厘米65.94=平方米 1596【详解】根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的520，即，钢材底面积就是水桶底面积的根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的 16 倍 6(5
16、20)=96(厘米)，(法 2)：314206(3145)=96(厘米)1625.12 答案第 5 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司【详解】沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的 2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.5626.28=厘米，底面半径为6.283.1421=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2 18825.12=(立方厘米)171620 立方厘米【分析】根据题意，设圆锥的高为 h 厘米，水体积是 v 立方厘米。根据正放时和倒放时的体积不变，可得关于 h 的方程，求得圆锥体的高，再根据容器的容积圆柱体的容积圆锥体
17、的容积列式计算即可求解。【详解】解：设圆锥的高为 h 厘米，水体积是 v 立方厘米。正放时水体积：()()21211V=3122h+倒放时水体积：()()()221312231221253vh=+则：()()()()()222131223122312212513121hh=+()3 3636713 36hh+=+61308610758hh+=+72648h=9h=容器的容积为：()()221312212312293+3 36 1236 9+1296324 1620（立方厘米）答：这个容器的容积是 1620 立方厘米。【点睛】此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法，关键是明白：容器的容积圆柱体的
18、容积圆锥体的容积。188【详解】设圆锥形容器底面积为S，圆柱体内水面的高为h，根据题意有：1243SSh=，可得8h=厘米 19150【详解】100 毫升的吊瓶在正放时，液体在 100 毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来 由于每分钟输2.5毫升，12 分钟已输液2.5 1230=(毫升)，因此开始输液时液面应与 50 毫升的格线平齐，上面空的部分是 50 毫升的容积所以整个吊瓶的容积是10050150+=(毫升)答案第 6 页，共 7 页 2012.90 厘米【分析】要想求出圆锥体的高，必须确定它的体积，而圆锥体是用两个不同形状的几何体熔
19、铸而成的，故圆锥体的体积就等于长方体的体积加上圆柱体的体积【详解】长方体的体积为 15.88.46=796.32（立方厘米）圆柱体的体积为（立方厘米）设圆锥体的高为 x 厘米，则圆锥体的体积为（立方厘米）根据题意，圆锥体积等于长方体体积与圆锥体体积之和，列方程可得 即 104.64x=1350.22 从而 x=12.90（厘米）答：这块圆锥体铝块的高是 12.90 厘米【点睛】抓住其中的不变量：总体积 2124；668.64【详解】先求表面积表面积可分为外侧表面积和内侧表面积 外侧为 6 个边长 10 厘米的正方形挖去 4 个边长 4 厘米的正方形及 2 个直径 4 厘米的圆，所以，外侧表面积
20、为：210 10 64 4 4225368 =(平方厘米)；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右 4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：()24 3 1624 4222 3 219232824224 16+=+=+(平方厘米)，所以，总表面积为：224 1653687608785.12+=+=(平方厘米)再求体积计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可 挖出的几何体体积为：24 4 3 44 4 423 2192642425624 +=+=+(立方厘米)；所求几何体体积
21、为：()10 10 1025624668.64+=(立方厘米)2230.144【详解】以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm，高是3cm的圆锥体，体积为2313.14 4350.24(cm)3=以4cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm，高是4cm的圆锥体，体积为 答案第 7 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 2313.14 3437.68(cm)3=以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3 452.4=cm的两个圆锥，高之和是5cm的两个圆的组合体，体积为2313.14 2.4530.144(cm)3=231720【详解】显然，只有当圆柱体的底面直径和高均为 20 厘米时，圆柱体的体积最大，削去部分的体积设为 V，则有 即削去部分的体积为 1720 立方厘米 24182.8736【详解】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形 高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米 阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56=(厘米)，侧面积是：12.56 12.56157.7536=(平方厘米)，两个底面积是：()23.1412.563.142225.12=(平方厘米)所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)