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1、2024 年常德市高三年级模拟考试年常德市高三年级模拟考试 数数 学学 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.已知集合1|1Axx=，|22Bxx=，则AB=A.2 0，B.12，C.2,0)1,2 D.2 2，2.已知等差数列na的前n项和为nS，423a=，456S=，则2S=A.13 B.14 C.15 D.16 3.已知奇函数()yf x=是定义域为 R 的连续函数，且在区间(0,)+上单调递增，则下列说法正确的是 A.函数
2、2()yf xx=+在 R 上单调递增 B.函数2()yf xx=在(0,)+上单调递增 C.函数2()yx f x=在R上单调递增 D.函数2()f xyx=在(0,)+上单调递增 4.如图，现有棱长为 6cm 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥1AEFG，且,E F G分别为棱11111A AABAD，靠近1A的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为 A.327 32cm B.336 cm C.3125 32cm D.372 cm 5.已知1cos3=，1sincos22=，则cos2=A.12 B.13 C.13 D.12 6.已知平面向量,a b
3、均为单位向量，且夹角为60，若向量c与,a b共面，且满足a cb c=1，则|c=A.1 B.2 33 C.3 D.2 7.已知928901289(23)(1)(1)(1)(1)xaa xaxa xa x=+，则0128923910aaaaa+=A9 B10 C18 D19 8.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为 90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件,经检验不合格,放回原箱后在该箱中再随机取一件产品,则该件产品合格的概率为 数学试题第 1 页 (共 4 页)学科网（北京）股份有限公司 A.65 B.76 C.87 D.2017 二、选择题：本题共二、选择题
4、：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9.下列说法正确的是 A.数据 6，5，3，4，2，7，8，9 的上四分位数(75%分位数)为 7 B.样本数据ix与样本数据iy满足1(1,2,)iiyxin=+=，则两组样本数据的方差相同 C.若随机事件A，B满足：()()1P A BP A+=，则A，B相互独立 D.若2(,)N，且函数)()(2f xP xx=+为偶函数，则0=10
5、.过点(4,0)P的直线l交抛物线2:4C yx=于 A，B 两点，线段 AB 的中点为00(,)M xy，抛物线的焦点为F，下列说法正确的是 A.以 AB 为直径的圆过坐标原点 B.0FA FB C.若直线l的斜率存在，则斜率为02y D.若02y=，则|AFBF+=12 11.若函数()2 sin1(0)2xf xxx=的零点为1x，函数()2 cos1(0)2xg xxx=B.1234xx+C.12cos()0 xx+D.12cossin0 xx的左、右焦点分别为12,F F，过1F的直线与双曲线的左、右两支分别相交于,M N两点，直线2NF与双曲线的另一交点为P，若1NPF为等腰三角形
6、，且12NFF的面积是12PFF的面积的 2 倍，则双曲线 C 的离心率为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(本小题满分 13 分)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且222sinsinsinsinsinABABC+=(1)求角C；数学试题第 2 页 (共 4 页)学科网（北京）股份有限公司(2)若a,b,c成等差数列，且ABC的面积为15 34，求ABC的周长 16(本小题满分 15 分)某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前 9 天每天
7、普及的人数，得到下表：时间x（天）1 2 3 4 5 6 7 8 9 每天普及的人数 y 80 98 129 150 203 190 258 292 310(1)从这 9 天的数据中任选 4 天的数据，以 X 表示 4 天中每天普及人数不少于 240 人的 天数，求 X 的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第 5 天的数据统计有误，如果去掉第 5 天的数据，试用剩下 的数据求出每天普及的人数 y 关于天数x的线性回归方程.（参考数据：999221111190,()60,()55482,9iiiiiiyyxxyy=()()911800iiixxyy=附：对于一组数据11(,)x y，2
8、2(,)xy，(,)nnxy，其回归直线ybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()(),.()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybaybxxxxnx=）.17(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，/ABCD，90ABC=，224ABBCCD=，PAPD=.(1)证明：BD 平面PAD；(2)已知三棱锥BPAD的体积为4 23，点N为线段AP的中点，设平面NCD与平面PBD的交线为l，求直线l与平面PAB所成角的正弦值.数学试题第 3 页 (共 4 页)学科网（北京）股份有限公司 18(本小题满分 17 分)已知 O
9、为坐标原点，椭圆 C：2221(1)xyaa+=的上、下顶点为 A、B，椭圆上的点 P位于第二象限，直线 PA、PB、PO 的斜率分别为123kkk、，且312114kkk=+.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过原点 O 分别作直线 PA、PB 的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.19(本小题满分 17 分)已知函数()sinxf xx=.(1)判断函数()f x在区间()0,3上极值点的个数并证明；(2)函数()f x在区间(0,)+上的极值点从小到大分别为123,nx x xx
10、，设(),nnnaf xS=为数列 na的前n项和.证明：120aa+；试问是否存在*nN使得0nS？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由.数学参考答案第 1 页(共 5 页)学科网（北京）股份有限公司 2024 年常德市高三年级模拟考试年常德市高三年级模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一一一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每
11、小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 1234 132 14213或333 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 13 分)解：(1)由正弦定理sinsinsinabcABC=，222sinsinsinsinsinABAB
12、C+=222ababc+=.2 分 由余弦定理2222222()1cos222abcabababCabab+=.5 分 又(0,)C，23C=.6 分(2)由a,b,c成等差数列，2acb+=.7 分 ABC的面积为15 34，115 3sin24abC=，即15ab=.9 分 由(1)222ababc+=由解得：3,5,7abc=.12 分 15abc+=，故ABC的周长为 15.13 分 16.(本小题满分 15 分)解：(1)每天普及人数不少于 240 人的天数为 3 天，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.1 分()46495042CP XC=，()31634910121C CP
13、 XC=，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A B D A 题号 9 10 11 答案 BC ABC BCD 数学参考答案第 2 页(共 5 页)学科网（北京）股份有限公司()2263495214C CP XC=，()1363491321C CP XC=.5 分 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 542 1021 514 121()5105140123422114213E X=+=.7 分(2)设原来数据的样本中心点为(,)x y，去掉第 5 天的数据后样本中心点为(,)xy()11234678958x=+=，55xxx=.8 分()115078098 12
14、9 150 19025829231088y=+=.10 分 故995555511992225119()8()88()()()iiiiiiiiiiyyx yxyxyx yxyxbxxxxxx=955519219()iiiiix yxyxyx yxx=+=91921918003060()iiiiix yx yxx=.13 分 150730730 588aybx=，307308yx=+.15 分 17.(本小题满分 15 分)解：(1)证明：取 AD 的中点 O，PAPD=，POAD.1 分 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面ABCD.3 分 又BD 平面ABCD，P
15、OBD.4 分/ABCD，90ABC=，224ABBCCD=2 2BDAD=，222BDADAB+=，BDAD.5 分 又POADO=，,PO AD 平面PAD，BD平面PAD.6 分(法二：/ABCD，90ABC=，224ABBCCD=2 2BDAD=，222BDADAB+=，BDAD.3 分 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，BD 平面ABCD BD平面PAD.6 分 阅卷说明：若考生用方法二：第（2）问建系没有证明的PO 平面ABCD扣 2 分）数学参考答案第 3 页(共 5 页)学科网（北京）股份有限公司(2)11144 233233B PADP ABDABDV
16、VSPOAD BD POPO=，2PO=.8 分 取 PB 的中点 M，又N为AP的中点，/MNAB，又/ABCD，/MNCD 平面NCD即为平面MNDC，DM为平面NCD与平面PBD的交线l.10 分 取 AB 的中点 Q，连结 OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ 两两垂直.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)A，(2,0,0)D，(2,2 2,0)B，22(,2,)22M.11 分 设平面PAB的法向量为n(,)x y z=，(2,0,2)PA=，(2,2 2,2)PB=则22022 220 xzxyz=+=，取1x=，则1,1zy=，n(1,1,1)=.1
17、3 分 设直线l与平面PAB夹角为，22(,2,)22DM=则sin|cos,DM=+故直线l与平面PAB夹角的正弦值2 23.15 分 18.(本小题满分 17 分)解：(1)由题易得()()0,1,0,1AB 设()000,1P xyy，则00012300011,yyykkkxxx+=，.1 分 312114kkk=+，000000411xxyyyx+=+.3 分 化简得：22002(1)yx=又()00,P xy在椭圆上，220021xya+=由得222002(1)(1)yay=又01y，22a=.5 分 故椭圆 C 的标准方程2212xy+=.6 分 数学参考答案第 4 页(共 5 页
18、)学科网（北京）股份有限公司(2)设直线 PA 的平行线与椭圆相交于点 E、F（E 在上方）；直线 PB 的平行线与椭圆相交于点 G、H（G 在上方）.直线 EF 的方程为1yk x=，直线 GH 的方程为2yk x=.又22000012220000111112(1)2yyyyk kxxxy+=，2112kk=.8 分 联立12212yk xxy=+=，解得22122121221221xkkyk=+=+21212212kOEOFk+=+.10 分 联立1221212yxkxy=+=，解得22121221421121kxkyk=+=+21211412kOHOGk+=+.12 分 设直线 EF 的
19、倾斜角为，直线 GH 的倾斜角为，,EOxGOx=1211tan,tan2kkk=则1122221111211sin,cos,sin,cos111414kkkkkk=+()21221112sinsinsincoscossin114kEOGkk+=+.14 分 四边形面积为()()()()222111222211111122sin2sin222sin142212212121142 2OEGEOHSSSOE OGOE OHOE OGkkkkkkk=+=+=+=+=故该四边形的面积为定值2 2.17 分 19.(本小题满分 17 分)解：（1）()2cossinxxxfxx=，数学参考答案第 5 页
20、(共 5 页)学科网（北京）股份有限公司 设()cossing xxxx=，又()singxxx=.1 分 当(0,x时，()()sin0,0,xgxg x在()0,上单调递减，()()00g xg=，()g x在()0,上无零点.2 分 当(,2x时，()()sin0,0,xgxg x在(),2上单调递增，()0,(2)20gg=，()g x在(),2上有唯一零点.3 分 当(2,3x时，()()sin0,0,xgxg x=+，35()0,1,(2)0,022gggg+，()()1212121212sinsincoscosxxaaf xf xxxxx+=+=+=+，由cosyx=在52,2单
21、调递减得()211coscoscosxxx+=()()12120aaf xf x+=+，由cosyx=在()2,22nnn+N上单调递减得221coscosnnxx，()()221221221coscos0nnnnnnaaf xf xxx+=+=+=.13 分 当n为偶数时，na的相邻两项配对，每组和均为负值，数学参考答案第 6 页(共 5 页)学科网（北京）股份有限公司 即()()()()()()123410nnnSf xf xf xf xf xf x=+.15 分 当n为奇数时，na的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即()()()()()()()1234210nnnnSf xf xf xf xf xf xf x=+，综上，对一切*,0nnSN成立，故不存在*nN使得0nS.17 分