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1、学科网（北京）股份有限公司2024 年高三年级第一次适应性检测年高三年级第一次适应性检测 数学试题数学试题2024.03 本试卷共本试卷共 4 页，页，19 题，全卷满分题，全卷满分 150 分分考试用时考试用时 120 分钟分钟 注意事注意事项项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目
2、的答案标号涂黑如需要改如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1等比数列 na中，21a=，58a=，则7a=（）A32 B24 C20 D16 2在5(2)x+的展开式中，2x
3、项的系数为（）A1 B10 C40 D80 3已知直线 a，b 和平面，a/，b，则“/a”是“/a b”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2 sinbaB=，4bc=，则ABC 的面积为（）A1 B3C2 D2 352024 年 2 月 4 日，“龙行中华甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图 1）就是这样一件珍宝玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美现要计算璜身
4、面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图 2）：8AB cm，2AD cm，5AO cm，若3sin375，3.14，则璜身（即曲边四边形 ABCD）面积近似为（）A26.8cm B29.8cmC1214.8cmD222.4cm2024届青岛高三一模数学试题含答案 学科网（北京）股份有限公司 6记正项等差数列 na的前 n 项和为nS，20100S=，则1011aa的最大值为（）A9 B16 C25 D50 7x R，()(3)1()(3)f xf xf x f x+=+，(1)0f=，则(2024)f的值为（）A2 B1 C0 D1 8 已 知(2,0)A，(2,0)B，设 点 P 是 圆22
5、1xy+=上 的 点，若 动 点 Q 满 足：0QP PB=，|QAQBQPQAQB=+，则 Q 的轨迹方程为（）A2213yx=B2213xy=C2215xy+=D22162xy+=二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 A“取出的球的数字之积为
6、奇数”，事件 B“取出的球的数字之积为偶数”，事件 C“取出的球的数字之和为偶数”，则 A事件 A 与 B 是互斥事件 B事件 A 与 B 是对立事件 C事件 B 与 C 是互斥事件 D事件 B 与 C 相互独立 10已知复数 z，下列说法正确的是（）A若0zz=，则 z 为实数 B若220zz+=，则0zz=C若|i|1z =，则|z的最大值为 2 D若|i|1zz=+，则 z 为纯虚数 11已知函数()cossin2xf xx=+，则（）A()f x在区间0,6单调递增 B()f x的图象关于直线x=对称 C()f x的值域为90,8 D关于 x 的方程()f xa=在区间0,2 有实数根
7、，则所有根之和组成的集合为,2,4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12已知集合1,0,1A=，|2,By yx xA=，则AB的所有元素之和为_ 13已知 O 为坐标原点，点 F 为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点，点 A，B 在 C 上，AB 的中点为 F，学科网（北京）股份有限公司 OAOB，则 C 的离心率为_ 14已知球 O 的表面积为12，正四面体 ABCD 的顶点 B，C，D 均在球 O 的表面上，球心 O 为BCD 的外心，棱 AB 与球面交于点 P若A平面1，B平面2，C平面3，D平面4，
8、1/(1,2,3)iii+=且i与1(1,2,3)ii+=之间的距离为同一定值，棱 AC，AD 分别与2交于点 Q，R，则PQR 的周长为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤步骤 15（13 分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动开学后，学校统计了高一年级共 1000 名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为 0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为
9、 3：2：1 （1）根据频率分布直方图，估计高一年级 1000 名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于 60 分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取 6 名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的 3 名学生日均阅读时间处于80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望 16（15 分）已知函数21()ln2f xxaxx=+（1）若1a=，曲线()yf x=在点00(,()xf x处的切线斜率为 1，求该切线的方程；（2）讨论()f x的单调性 17（15 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，
10、1AA与1BB的距离为3，12ABACAB=，12 2ACBC=学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面11A ABB 平面 ABC；（2）若点 N 在棱11AC上，求直线 AN 与平面11ABC所成角的正弦值的最大值 18（17 分）已知 O 为坐标原点，点 W 为O：224xy+=和M的公共点，0OM OW=，M与直线20 x+=相切，记动点 M 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）若0nm，直线1:0lxym=与 C 交于点 A，B，直线2:0lxyn=与 C 交于点A，B，点A，A在第一象限，记直线AA与BB的交点为 G，直线AB与BA的交点为 H，线段 AB 的中点为 E（i
11、）证明：G，E，H 三点共线;（ii）若()217mn+=，过点 H 作1l的平行线，分别交线段AA，AA于点 T，T，求四边形GTET面积的最大值 19（17 分）记 集 合 *,nnSaan=N无穷数列中存在有限项不为零，对 任 意 naS，设 变 换()112nnnfaaa xa x=+，xR 定义运算：若 ,nnabS，则 nnabS，()()()nnnnfabfafb=（1）若 nnnabm=，用12341234,a a a a b b b b表示4m；（2）证明：()()nnnnnnabcabc=；（3）若()()211,1100,10,100nnnan nn+=+，2031,15
12、00,20,500nnnbn=nnndab=，证明：20012d恒成立，()(f x在()0,+单调递增 当0a 时，令2()1g xxax=+，24a=（i）当0 即02a即2a 时，()224422aaaaxxfxx+=由()0fx得，2402aax，由()0fx得，224422aaaax+时，()f x在240,2aa，24,2aa+单调递增；()f x在2244,22aaaa+单调递减 17（15 分）解：（1）取棱1A A中点 D，连接 BD，因为1ABAB=，所以1BDAA 因为三棱柱111ABCABC，所以11/AABB，所以1BDBB，所以3BD=因为2AB=，所以1AD=，1
13、2AA=；因为2AC=，12 2AC=，所以22211ACAAAC+=，所以1ACAA，同理ACAB，因为1AAABA=，且1AA，AB 平面11A ABB，所以AC 平面11A ABB，学科网（北京）股份有限公司 因为AC 平面 ABC，所以平面11A ABB 平面 ABC （2）取 AB 中点 O，连接1AO，取 BC 中点 P，连接 OP，则/OP AC，由（1）知AC 平面11A ABB，所以OP 平面11A ABB 因为1AO平面11A ABB，AB 平面11A ABB，所以1OPAO，OPAB，因为11ABA AAB=，则1AOAB 以 O 为坐标原点，OP，OB，1OA所在的直线
14、为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则(0,1,0)A，1(0,0,3)A，1(0,2,3)B，(2,1,0)C，设点(,0,3)N a，(02)a()110,2,0AB=，()12,1,3AC=，1(,1,3)ANa=，设面111ABC的法向量为(,)nx y z=，得11100n ABn AC=，得20230yxyz=，取3x=，则0y=，2z=，所以(3,0,2)n=设直线 AN 与平面11ABC所成角为，则232sincos,74n ANan ANnANa+=+()2222233444477aaaaa+=+学科网（北京）股份有限公司 若0a=，则21si
15、n7=，若0a，则34442sin11437477aa=+=+，当且仅当4aa=，即2a=时，等号成立，所以直线 AN 与平面1AMB所成角的正弦值的最大值427 18（17 分）解：（1）设(,)M x y，切点为 N，则2222|MNMWOMOW=+，所以222|2|4xxy+=+=化简得24yx=，所以 C 的方程为：24yx=（2）（i）因为12/ll，所以可设GAGA=，GBGB=，又因为1()()22GEGAGBGAGBGF=+=+=，所以 G，E，F 三点共线，同理，H，E，F 三点共线，所以 G，E，H 三点共线（ii）设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)A
16、xy，44(,)B xy，AB 中点为 E，A B 中点为 F，将xym=+代入24yx=得：2440yym=，所以124yy+=，124y ym=，所以1222Eyyy+=，同理2Fy=（,G E H F均在定直线2y=上）因为1/TTl，所以EAT 与EAH 面积相等，EBT与EBH 面积相等；所以四边形GTET面积等于四边形 GAHB 面积 设(,2)GG x，(,2)HH x，直线131113:()yyAAyyxxxx=，即121122331444yyyyyyyx=整理得：直线13134:xy yAAyyy+=+，又因为2Gy=，所以()131342Gyyy yx+=，学科网（北京）股
17、份有限公司 同理，直线23234:xy yBAyyy+=+，2Hy=，所以23232()4Hyyy yx+=所以()()()341231232244GHyyyyyyyyGHxx+=()()12348yyyy=所以四边形 GAHB 面积2123412()|1|216yyyySGHyy=()2212123434()4416yyy yyyy y+=(16 16)16 1616mn+=24(1)(1)mn=+22(1)142(22)162mnmmn+=+=当且仅当2(1)1mn+=+，即22226mmnnmm+=+=，即13mn=时取等号，所以GAT 面积的最大值为 16 19（17 分）解：（1）因
18、为3341 42 33 24 1()m xaba ba ba b x=+，所以41 42 33 24 1maba ba ba b=+（2）因为()()()nnnnfabfafb=，所以()()()()()nnnnnnfafbfcfabfc=()nnnfabc 又因为()()()()()()nnnnnnfafbfcfafbfc=()()nnnfafbc=()nnnfabc=学科网（北京）股份有限公司 所以()()nnnnnnfabf cfabf c=所以()()nnnnnnabcabc=（3）对于,nnabS，因为111121212()()nnnnnnaa xa xbb xb xdd xd x+=+，所以1112111121()()()nnkn knnnknknnnd xa b xa xbxaxb xa xb+=+，所以12111 21nnnknknndaba ba baba b+=+所以11 nnnnknkkabda b+=220010020010010020020120120120121110111(1)1(1)2kkkkkkkkkkkkkkkda ba ba ba bk k+=+=+=+所以10020021121121kkdkk+=+()10010021211111221 2kkkkkkk+=+102110212101 22=