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1、板块四平面解析几何微专题20直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.1.(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A.1 B. C. D.2答案B解析设点A(0，1)，直线l：yk(x1)，由l恒过定点B(1，0)，知当ABl时，点A(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，最大值为.2.(2022北京卷)若直线2xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴，则a()A. B. C.1 D.1答案A解析依题意可知圆心坐标为(a，0)，又直线2xy10是圆
2、的一条对称轴，所以2a010，所以a，故选A.3.(2021新高考卷改编)已知点P在圆(x5)2(y5)216上，点A(4，0)，B(0，2)，则下面结论错误的是()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，|PB|3D.当PBA最大时，|PB|3答案B解析设圆(x5)2(y5)216的圆心为M(5，5)，半径为4.由题意知直线AB的方程为1，即x2y40，则圆心M到直线AB的距离d4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4d4，又4510，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d44，又40，则点O(0，0)到l3的距离为1
3、，所以1，解得t或t(舍去)，所以公切线l3的方程为yx，即3x4y50.综上，所求直线方程为x1或7x24y250或3x4y50.热点一直线的方程1.已知直线l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2xB2yC20(A2，B2不同时为零)，则l1l2A1B2A2B10，且A1C2A2C10；l1l2A1A2B1B20.2.点P(x0，y0)到直线l：AxByC0(A，B不同时为零)的距离d.3.两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同时为零)间的距离d.例1 (1)(2022安徽江淮十校联考)“a1”是“直线2xay40与直线(a1)xy20平
4、行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2：xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为_.答案(1)C(2)3解析(1)由两直线平行，得12(a1)a0，解得a2或a1，检验：当a2时，两直线重合，舍去；当a1时，两直线平行.所以“a1”是“直线2xay40与直线(a1)xy20平行”的充要条件.故选C.(2)由题意得，当k0时，直线l1：kxy20的斜率为k，且经过点A(0，2)，直线l2：xky20的斜率为，且经过点B(2，0)，且直线l1l2，所以点P落在
5、以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C(1，1)，半径为r，由圆心到直线xy40的距离为d2，得点P到直线xy40的最大距离为dr23.当k0时，l1l2，此时点P(2，2).点P到直线xy40的距离d2.综上，点P到直线xy40的距离的最大值为3.易错提醒(1)求解两条直线平行的问题时，利用A1B2A2B10建立方程求出参数值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况.(2)设直线方程时，要注意斜率是否存在及各种形式的方程的适用条件.训练1 (1)(2022郑州调研)若直线l1：ykxk1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2过定点()A.(3，5) B.(3，5)C.(3，5) D.(
6、5，3)(2)若平面内两条平行线l1：x(a1)y20，l2：ax2y10间的距离为，则实数a等于()A.2 B.2或1C.1 D.1或2答案(1)C(2)C解析(1)直线l1：ykxk1，当x1时，y1，与k无关，故直线l1过定点(1，1).点(1，1)关于点(2，3)的对称点的坐标为(3，5)，直线l1：ykxk1与直线l2关于点(2，3)对称，直线l2过定点(3，5).故选C.(2)l1l2，a(a1)2，解得a2或a1，当a2时，d，不符合题意；当a1时，d.热点二圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2Dx
7、EyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r.例2 (1)(2022全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_.答案(x2)2(y3)213或(x2)2(y1)25或或(y1)2解析依题意设圆的方程为x2y2DxEyF0，其中D2E24F0.若过(0，0)，(4，0)，(1，1)，则解得满足D2E24F0，所以圆的方程为x2y24x6y0，即(x2)2(y3)213；若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则解得满足D2E24F0，所以圆的方程为x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25；若过(0，0)，(1，1)，(4，2)，则解得满足D2E2
8、4F0，所以圆的方程为x2y2xy0，即；若过(1，1)，(4，0)，(4，2)，则解得满足D2E24F0，所以圆的方程为x2y2x2y0，即(y1)2.(2)阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为(0，1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A，B(5，0)的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为x2y29.下面，我们来研究与此相关的一个问题.已知圆O：x2y21上的动点M和定点A，B(1，1
9、)，则2|MA|MB|的最小值为()A. B. C. D.答案C解析如图，取点K(2，0)，连接OM，MK.当M在x轴上时，|MK|2|MA|.当M不在x轴上时，|OM|1，|OA|，|OK|2，2.MOKAOM.MOKAOM，2，|MK|2|MA|，|MB|2|MA|MB|MK|，连接BK，易知|MB|MK|BK|，|MB|2|MA|MB|MK|的最小值为|BK|的长.B(1，1)，K(2，0)，|BK|.故选C.规律方法(1)求圆的方程常用待定系数法(代数法、几何法).(2)涉及圆上动点的最值问题：连接圆心再数形结合，利用换元法：对于圆(xa)2(yb)2r2，设(为参数)，转化为三角函数
10、求范围问题.训练2 (1)(2022全国甲卷)设点M在直线2xy10上，点(3，0)和(0，1)均在M上，则M的方程为_.答案(x1)2(y1)25解析法一设M的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得M的方程为(x1)2(y1)25.法二设M的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则M(，)，解得M的方程为x2y22x2y30，即(x1)2(y1)25.法三设A(3，0)，B(0，1)，M的半径为r，则kAB，AB的中点坐标为(，)，AB的垂直平分线方程为y3(x)，即3xy40.联立得解得所以M(1，1)，r2|MA|2(31)20(1)25，M的方程为(x1)2(y1)25.(2)
11、(2022兰州诊断)已知点P为圆C：(x1)2(y2)24上一点，A(0，6)，B(4，0)，则|的最大值为()A.2 B.4C.24 D.22答案C解析取AB中点D(2，3)，则2，|2|2|，又由题意知，圆C的圆心C(1，2)，半径为2，|的最大值为圆心C(1，2)到D(2，3)的距离d与半径r的和，又d，dr2，2|的最大值为24，即|的最大值为24.热点三直线、圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法)；(2)判别式法(代数法).2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离. 考向1直线与圆的位置关系例3 (1)(2022抚顺一模
12、)经过直线y2x1上的点作圆x2y24x30的切线，则切线长的最小值为()A.2 B. C.1 D.1(2)(2022菏泽一模)已知两条直线l1：2x3y20，l2：3x2y30，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1，l2相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为()A.(y1)2x265 B.x2(y1)265C.y2(x1)265 D.(x1)2y265答案(1)A(2)D解析(1)在直线y2x1上任取一点P(x0，y0)作圆x2y24x30的切线，设切点为A，圆x2y24x30的圆心为C(2，0)，半径r1，切线长为，PCmin，所以切线长
13、的最小值为2.(2)设动圆圆心P(x，y)，半径为r，则P到l1的距离d1，P到l2的距离d2，因为l1，l2被截在圆内的两条线段长度分别是定值26，24，226，224，即r2d169，r2d144.两式相减得dd25，将d1，d2代入后化简可得(x1)2y265.考向2圆与圆的位置关系例4 (2022临汾一模)已知圆O的直径AB4，动点M满足|MA|MB|，则动点M的轨迹与圆O的公共弦长为_.答案解析如图所示，以点O为原点建立平面直角坐标系，所以A(2，0)，B(2，0)，设M(x，y)，由|MA|MB|，得，即(x3)2y25，又圆O的方程为x2y24，得两圆的公共弦方程DE为x，故|D
14、F|，故动点M的轨迹与圆O的公共弦长为|DE|.规律方法1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.训练3 (1)(2022西安质检)圆C1：x2y21与圆C2：x2y2k(4x3y)10(kR，k0)的位置关系为()A.相交 B.外离C.相切 D.无法确定(2)已知圆C经过点(1，0)和(1，0)，且与直线yx1只有一个公共点，则圆心C的坐标为()A.(0，0) B.(0，1)C.(0，1) D.(0，1)或(0，1)(3)已
15、知圆C：x2y22x4y10，若在圆C中存在弦AB，满足|AB|2，且AB的中点M在直线2xyk0上，则实数k的取值范围是()A.2，2 B.5，5C.(，) D.，答案(1)A(2)B(3)D解析(1)圆C1：x2y21的圆心为C1(0，0)，半径r11，由x2y2k(4x3y)10，得(x2k)21k2，所以圆C2的圆心为C2，半径r2，所以|C1C2|(k0)，所以1，所以|C1C2|r2r1，所以r2r1|C1C2|0且1，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(xa)2(ya2)21，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2|MO|210，
16、则实数a的取值范围是_.答案0，3解析设M(x，y)，由|MA|2|MO|210可得x2(y2)2x2y210，即x2(y1)24，则点M在圆x2(y1)24上，由题目条件可知点M在圆C：(xa)2(ya2)21上，所以两圆相交或相切，则2112，解得0a3.一、基本技能练1.过圆(x2)2y24的圆心且与直线xy0垂直的直线方程为()A.xy20 B.xy20C.xy20 D.xy20答案C解析圆(x2)2y24的圆心为(2，0)，与直线xy0垂直的直线的斜率为1，所以所求直线为y01(x2)，即xy20，故选C.2.(2022无锡质检)“m1”是“直线mxy1与直线xmy1互相垂直”的()
17、A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若m1，则直线xy1和直线xy1互相垂直，充分性成立；若直线mxy1与直线xmy1互相垂直，则m11(m)0，因为m取任意实数都成立，所以必要性不成立.故选A.3.设直线l1：x2y10与直线l2：mxy30的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为PQ的中点，若|AM|PQ|，则m的值为()A.2 B.2 C.3 D.3答案A解析根据题意画出图形，如图所示.直线l1：x2y10与直线l2：mxy30的交点为A，M为PQ的中点，若|AM|PQ|，则PAQA，即l1l2，1m(2)10，解得m2.4.(2
18、022北京门头沟一模)若点M(1，1)为圆C：x2y24x0的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A.xy20 B.xy20C.xy0 D.xy0答案C解析圆C的标准方程为(x2)2y24，(12)2120，k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中，O(0，0)，A(3，0)，圆C：(x2)2y2r2(r0)上有且仅有一个点P满足|PA|2|PO|，则r的值为_.答案1或5解析设点P(x，y)，由|PA|2|PO|，得(x3)2y24x24y2，整理得(x1)2y24，又圆C上有且仅有一点满足|PA|2|PO|，所以两圆相切.圆(x1)2y24的圆心坐标
19、为(1，0)，半径为2，圆C：(x2)2y2r2(r0)的圆心坐标为(2，0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r23，得r1；当两圆内切时，|r2|3，由r0，得r5.故满足题意的r的值为1或5.二、创新拓展练13.(2022贵阳检测)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7答案C解析圆C：(x3)2(y4)21的圆心为C(3，4)，半径r1，设P(a，b)在圆C上，则(am，b)，(am，b)，若APB90，则，所以(am)(am)b20，所以m2a2b2|OP|2
20、(O为坐标原点)，所以m的最大值为|OP|的最大值，等于|OC|r516，故选C.14.(2022盐城调研)已知圆M：(x4)2(y6)216，点A，B在圆上，且圆M的割线AB过x轴上的点P(x0，0)，使得|PA|AB|，则x0的取值范围是()A.6，6B.6，6C.46，46D.46，46答案D解析由题意得圆M的圆心坐标为M(4，6)，半径r4，如图所示，连接PM并延长，交圆M于点C，D，连接AD，BC，易知PCBPAD，则|PA|PB|PC|PD|(|PM|r)(|PM|r)|PM|2r2|PM|216，因为|PA|AB|，所以|PB|2|AB|，又|PM|2(x04)262(x04)2
21、36，所以|PA|PB|2|AB|2(x04)23616(x04)220，又|AB|2r8，所以(x04)220128，解得64x064，故选D.15.过点M(0，4)作直线l与圆C：x2y22x6y60相切于A，B两点，则直线AB的方程为_.答案x7y180解析圆C的标准方程为(x1)2(y3)24，圆心为C(1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MAAC，则|MA|，所以以点M为圆心、以|MA|为半径的圆M的方程为x2(y4)246，将圆M的方程与圆C的方程作差并化简可得x7y180.因此直线AB的方程为x7y180.16.(2022苏州调研)某中学开展劳动实践活动，学生加工制作零件，零
22、件的截面如图(单位：cm)所示，四边形AFED为矩形，弧BC为圆O的一段弧(点O未标出)，B是弧BC与直线AB的切点，C是弧BC与直线CD的切点，直线EF与圆O相切.已知tan ，tan ，则该零件的截面的周长为_cm.(结果保留)答案846解析以A为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则直线AB的方程为4x3y0，直线CD的方程为3x4y1050，直线EF的方程为y12.设圆O的圆心为(a，b)，半径为r cm，由题意得r|12b|，解得a15，b0，r12或a27，b84，r72(不符合题意，舍去)，即O(15，0)，|OB|OC|r12，所以|AB|9，|CD|16，易知BOC，所以该零件的截面的周长为35122916846(cm).