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1、第八章综合训练一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关联时,最有说服力的方法是()A.平均数与方差B.回归分析C.独立性检验D.概率2.2023江西兴国期中两个分类变量X和Y,它们的取值分别为x1,x2和y1,y2,其抽样数据列联表如表所示.XY合计y1y2x1aba+bx2cdc+d合计a+cb+da+b+c+d则在下列四组数据中,分类变量X和Y之间关系最强的是()A.a=4,b=2,c=3,d=6B.a=2,b=1,c=3
2、,d=5C.a=4,b=5,c=6,d=8D.a=2,b=3,c=4,d=63.从某高中学生中选取10名学生,根据其身高(单位:cm)、体重(单位:kg)数据,得到体重y关于身高x的经验回归方程y=0.85x-85,用来刻画回归效果的R2=0.6,则下列说法正确的是()A.这些学生的体重和身高具有非线性相关关系B.这些学生的体重和身高具有线性相关关系C.身高为170 cm的学生的体重一定为59.5 kgD.这些学生的身高每增加0.85 cm,其体重约增加1 kg4.下列关于回归分析的说法错误的是()A.经验回归直线一定过点(x,y)B.在残差图中,残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的
3、模型比较合适C.残差平方和越小,模型的拟合的效果越好D.若甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80,则模型乙的拟合效果更好5.某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导,推进绿色发展,现要订购一批苗木,苗木长度与售价如表:苗木长度x/厘米384858687888售价y/元16.818.820.822.82425.8由表可知,苗木长度x(单位:厘米)与售价y(单位:元)之间存在线性相关关系,经验回归方程为y=0.2x+a,则当苗木长度为150厘米时,售价大约为()A.33.3元B.35.5元C.38.9元D.41.5元6.变量x与y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8
4、,3),(12.5,4),(13,5),变量u与v相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示变量y与x之间的样本相关系数,r2表示变量v与u之间的样本相关系数,则()A.r2r10B.0r2r1C.r200时,P(A|B)=P(A)是A与B相互独立的充要条件D.正态曲线越“胖”,方差越小10.某地响应号召,建立农业科技图书馆,供农民免费借阅,收集了近5年的借阅数据如下表:年份20182019202020212022年份代码x12345年借阅量y/万册4.95.15.55.75.8根据上表,可得y关于x的经验回归方程为y=0.24
5、x+a,则下列说法正确的是()A.a=4.68B.近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长C.x与y的样本相关系数r0D.2023年的借阅量一定不少于6.12万册11.某校计划在课外活动中新增攀岩项目,为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联,面向学生开展了一次随机调查,其中参加调查的男、女生人数相同,男生喜欢攀岩的占80%,女生不喜欢攀岩的占70%,则()参考公式:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).0.050.01x3.8416.635A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C.若参与调查的
6、男、女生人数均为100人,则依据=0.01的独立性检验认为喜欢攀岩和性别有关联D.无论参与调查的男、女生人数为多少,都可以依据=0.01的独立性检验认为喜欢攀岩和性别有关联12.2023广东湛江一模某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系,在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重,数据如下表所示:编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如图所示的散点图.由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为y=b1x+a1,样本相关系数为r1,决定系数为R12;经过残差分析确定
7、(168,89)为离群点(对应残差过大),把它去掉后,再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线l2的方程为y=b2x+a2,样本相关系数为r2,决定系数为R22.则以下结论正确的有()A.r10,r20B.b1b2C.r1R22三、填空题(本题共4小题)13.某高校“统计初步”课程的教师随机统计了一些学生的情况,具体数据如下表:性别不选该课程选择该课程男1310女720根据表中的数据,依据=0.05的独立性检验,认为选择该门课程与性别关联.(填“有”或“没有”)14.若一组观测值(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)之间满足yi=bxi+a+ei(i=1,2,n),且ei=0,则R2为.
8、15.某厂2023年14月份用水量(单位:百吨)的一组数据如下表:月份x1234用水量y2.5344.5根据上表可画出散点图(图略),由散点图可知,用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,其经验回归方程是y=bx+1.75,则预测2023年6月份该厂的用水量为百吨.16.下面是一个22列联表:XY合计y1y2x1a2170x25c30合计bd100则b-d=,2.(保留小数点后3位)四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.2023湖南宜章检测某公司市场部对同类产品连续5个月的销售单价x和月销售量y的数据进行了统计,得如下统计表:月销售单价x/(元/件)123
9、45月销售量y/万件2823m1510统计时,不慎将m处的数据丢失,但记得0m39,且月销售量的平均数与中位数相等.(1)已知x和y线性相关,建立y关于x的经验回归方程;(2)根据(1)的结果,若该产品成本是0.5元/件,月销售单价x(其中xN*)为何值时,公司月利润的预测值最大?经验回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计为b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.18.2023安徽凤阳质检已知甲、乙两地生产同一种瓷器,现从两地的瓷器中随机抽取了一共300件统计质量指标值,得到如图所示的两个统计图,其中甲地瓷器的质量指标值在区间95,105和125,135上的频
10、数相等.甲地瓷器质量频率分布直方图乙地瓷器质量扇形图(1)求频率分布直方图中x的值,并估计甲地瓷器质量指标值的平均值;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)规定该种瓷器的质量指标值不低于125为特等品,且已知样本中甲地的特等品比乙地的特等品多10个,结合乙地瓷器质量扇形图完成下面的22列联表,并依据=0.05的独立性检验,分析甲、乙两地的瓷器质量是否有差异.单位:件质量指标特等品非特等品合计甲地乙地合计附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.10.050.01x2.7063.8416.63519.为推行“新课堂”教学法,某化学老
11、师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表.记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数50,59)60,69)70,79)80,89)90,100甲班频数56441乙班频数13655(1)由以上统计数据填写下面22列联表,依据=0.05的独立性检验,能否认为成绩优良与教学方式有关联?单位:人成绩班级合计甲班乙班优良不优良合计(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层随机抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记乙班成绩不优良的人数为X,求X的分布列及数学期望
12、.附:2=n(ad-bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d).0.10.050.01x2.7063.8416.63520.“碳中和”是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某城市计划通过绿色能源(光伏、风电、核能)替代煤电能源、智慧交通、大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干小排量汽车5年内所行驶的里程数(单位:万千米)的频率分布直方图,如图.(1)求a的值及这些汽车5年内所行驶里程的平均值.(2)据“碳中和罗盘”显示:一辆小排量汽车每年行驶1
13、万千米的排碳量需要近100棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图,该城市每一辆小排量汽车平均每年需要多少棵树才能够达到“碳中和”?(3)该城市为了减少碳排量,计划大力推动新能源汽车,关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素,对400名车主进行了调查,这些车主中新能源汽车车主占15,且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%,燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占15%,根据以上统计情况,补全下面22列联表,并依据小概率值=0.01的独立性检验,分析购买新能源汽车与考虑大气污染是否有关联.单位:人车主是否考虑大气污染合计考虑大气污染没考虑大气污染新能源汽车车主燃油汽车车主合计附:2=n(
14、ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82821.某医疗队针对某非洲国家制定的猴痘病毒防控措施之一是要求猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大.对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后,统计了感染病毒情况,得到下面的列联表:单位:人天花疫苗猴痘病毒合计感染未感染未接种306090接种2090110合计50150200(1)依据=0.01的独立性检验,分析密切接
15、触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗是否有关联.(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计,求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率.(3)该国现有一个中风险村庄,当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间,发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触,这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果,若检测结果呈阳性,则该家庭被确定为“感染高危家庭”.假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0p0.80,所以甲模型的拟合效果好,故D错误.故选D.5.C由题意可知,x=1
16、6(38+48+58+68+78+88)=63,y=16(16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8)=21.5,因为经验回归直线y=0.2x+a过点(63,21.5),则有21.5=0.263+a,解得a=8.9,所以经验回归方程为y=0.2x+8.9,把x=150代入方程可得,y=0.2150+8.9=38.9.所以当苗木长度为150厘米时,售价大约为38.9元.6.C变量x与y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量y与x之间正相关,r10.变量u与v相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.
17、8,3),(12.5,2),(13,1),可知变量v与u之间负相关,r20.r200时,若P(A|B)=P(A),则由P(A|B)=P(AB)P(B),得P(A)=P(AB)P(B),即P(AB)=P(A)P(B),故A与B相互独立;若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),因为P(B)0,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A).所以当P(B)0时,P(A|B)=P(A)是A与B相互独立的充要条件,故C正确.正态曲线越“胖”,说明随机变量的取值越分散,故方差越大,故D错误.10.ABC把x=3,y=5.4代入y=0.24x+a,可得a=4.68,故A正
18、确;由y=0.24x+a,得直线的斜率为0.24,0.24万册是每年的借阅量的增长量的预测值,故B正确;因为b=0.240,所以x与y正相关,故r0,故C正确;把x=6代入y=0.24x+4.68,得y=6.12,然而6.12万册是预测值,不是精确值,故D错误.故选ABC.11.AC由题意设参加调查的男、女生人数均为m人,则得到如下22列联表:单位:人性别喜欢攀岩不喜欢攀岩合计男生0.8m0.2mm女生0.3m0.7mm合计1.1m0.9m2m所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多,参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少,故A正确,B错误.零假设为H0:喜欢攀
19、岩和性别无关联.由列联表中的数据,计算得到2=2m(0.56m2-0.06m2)21.1m0.9mmm=50m99,当m=100时,2=50m99=501009950.5056.635=x0.01,所以当参与调查的男、女生人数均为100人时,依据=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为喜欢攀岩和性别有关联,此推断犯错误的概率不超过0.01,故C正确,D错误.故选AC.12.AC结合题中图象,可知身高和体重正相关,故A正确;因为离群点(168,89)的纵坐标89相对过大,所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小,所以b1b2,故B错误;去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强,拟合效果
20、会更好,所以r1r2,R123.841=x0.05,依据=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为选择该门课程与性别有关联,此推断犯错误的概率不超过0.05.14.1由ei=0,知yi=yi,即yi-yi=0,故R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2=1-0=1.15.5.95由题意可知x=1+2+3+44=2.5,y=2.5+3+4+4.54=3.5.又因为经验回归直线经过(x,y),所以3.5=2.5b+1.75,解得b=0.7.所以y=0.7x+1.75.当x=6时,y=0.76+1.75=5.95.所以预测2023年6月份该厂的用水量为5.95百吨.16.82
21、4.047由22列联表得a=49,b=54,c=25,d=46.b-d=54-46=8.2=100(4925-215)27030544624.047.17.解月销售量的平均数与中位数相等,且平均数76+m515,中位数为m或23,则76+m5=m或76+m5=23,解得m=19或m=39(舍去).(1)x=1+2+3+4+55=3,y=28+23+19+15+105=19.i=15xiyi=128+223+319+415+510=241,b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=241-531955-532=-4.4,a=y-bx=19-(-4.4)3=32.2.y关于x的经验回归方
22、程为y=-4.4x+32.2.(2)设销售利润为z,则z=(x-0.5)(-4.4x+32.2)(x0.5且xN*),z=-4.4x2+34.4x-16.1,34.4-2(-4.4)3.9,当x=4时,z取最大值.月销售单价为4元/件时,公司月利润的预测值最大.18.解(1)由(0.008+x+0.026+0.03+x+0.004)10=1,解得x=0.016.甲地瓷器质量指标的平均值为x=900.08+1000.16+1100.26+1200.3+1300.16+1400.04=114.2.(2)设300件样品中甲地瓷器有m件,则乙地瓷器有(300-m)件,因为甲地的特等品比乙地的特等品多1
23、0个,从而有0.2m-(300-m)30%=10,解得m=200.零假设为H0:甲、乙两地的瓷器质量没有差异.从而22列联表如下:单位:件质量指标特等品非特等品合计甲地40160200乙地3070100合计70230300所以2=300(4070-16030)2200100702303.7273.841=x0.05,依据=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为成绩优良与教学方式有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)由列联表可知在8人中成绩不优良的人数为15408=3,则X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C113C153=3391;P(X=1)=C112C41C15
24、3=4491;P(X=2)=C111C42C153=66455;P(X=3)=C43C153=4455.所以X的分布列为X0123P33914491664554455E(X)=03391+14491+266455+34455=364455.20.解 (1)由(0.052+a+0.32+0.22+a+0.052)1=1,解得a=0.178.设x为这些汽车5年内所行驶里程的平均值,则x=3.50.052+4.50.178+5.50.32+6.50.22+7.50.178+8.50.052=5.95.(2)由(1)可知,一辆汽车1年内平均行驶里程为5.955=1.19(万千米),因为一辆汽车每年行驶
25、1万千米的排碳量需要近100棵树用1年时间来吸收,所以每一辆汽车平均需要1.19100=119(棵)树才能够达到“碳中和”.(3)对400名车主进行了调查,这些车主中新能源汽车车主有40015=80(人),这些车主在购车时考虑大气污染因素的占8020%=16(人),燃油汽车车主有40045=320(人),燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的有32015%=48(人),补全22列联表如下:单位:人车主是否考虑大气污染合计考虑大气污染没考虑大气污染新能源汽车车主166480燃油汽车车主48272320合计64336400零假设为H0:购买新能源汽车与考虑大气污染无关联.因为2=400(16272
26、-6448)280320643361.196.635=x0.01,所以根据小概率值=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为购买新能源汽车与考虑大气污染无关联.21.解(1)零假设为H0:密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关联.依题意知,2=200(3090-6020)290110501506.0610,则p=1-x,所以y=(1-x)x(1+x)=x-x3,对其求导得y=1-3x2,令y=0,得x=33,此时p=1-33,f(p)取得最大值.22.解(1)根据散点图判断y=cdx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程模型.(2)由(1)知y=cdx,两边同时取对数得lg y=lg c+(lg d)x,设v=lg y,则x=4,i=17xi2=12+22+32+42+52+62+72=140,所以lgd=i=17xivi-7xvi=17xi2-7x2=50.12-741.54140-742=0.25,所以lgc=v-(lg d)x=1.54-0.254=0.54.所以v关于x的经验回归方程为v=0.54+0.25x,则y关于x的非线性经验回归方程为y=100.54+0.25x=3.47100.25x,当x=8时,y=3.47102=347,故预测活动推出第8天使用扫码支付的人次为347.16