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1、第七章综合训练(参考数据:若XN(,2),则P(-X+)0.682 7;P(-2X+2)0.954 5;P(-3X+3)0.997 3)一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.2023浙江金东期中已知随机变量B(16,0.5),若=2+3,则D()等于()A.1B.2C.4D.62.已知离散型随机变量的分布列如下表,则其均值E()等于()135P0.5m0.2A.1B.0.6C.2+3mD.2.43.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自
2、容器A里面的球的概率是()A.0.5B.0.7C.0.875D.0.354.2023江西青原期末若某校高二年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(105,120上的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以31战胜甲的概率为()A.827B.227C.881D.32816.2023广东龙华校级模拟泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=kk!e-(k=0,1,2
3、,),其中e为自然对数的底数,是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为(0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1位乘客候车的概率为()A.1e4B.4e4C.94e6D.9e67.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为()A.125B.C52125C.C51125D.C52C531258.某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动,凡在开业当天进店的顾客,都能抽一次奖,每位进店的顾客得
4、到一个不透明的盒子,盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个,其中红球2个,黄球3个,蓝球1个,除颜色外,小球的其他方面,诸如形状、大小、质地等完全相同,每个小球上均写有获奖内容,顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球,然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖.设X表示某顾客在一次抽奖时,从自己得到的那个盒子里取出的2个小球中红球的个数,则X的数学期望E(X)=()A.35B.12C.23D.65二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X4)=0.8,则()A.P(X4)=0.2B.P(X0)=0.6C.P(0X
5、2)=0.3D.P(0X4)=0.410.2023北京昌平期中在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()A.P(X=1)=821B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布D.E(X)=8511.下列说法正确的是()A.已知随机变量XB(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变C.设随机变量N(0,1),若P(1)=p,则P(-10)=12-pD.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,XB(10,0.8),则当X=8时概率最大12.
6、2023江苏南京期中“信息熵”是信息论中的一个重要概念,设随机变量X的所有可能取值为1,2,n,且P(X=i)=pi0(i=1,2,n),i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-i=1n(pilog3pi),则下列说法正确的是()A.当n=1时,H(X)=0B.当n=3且pi=13(i=1,2,3)时,H(X)=1C.若pi=1n(i=1,2,n),则H(X)随着n的减小而减小D.当n=2时,H(X)随着p1的增大而减小三、填空题(本题共4小题)13.按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量X必须服从正态分布N(500,2),经检测某种品牌的奶粉P(490X510)=0.95,一超市一
7、个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g以上的袋数大约为.14.若随机变量XB(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=.15.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序,经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检测.已知某批芯片智能检测显示合格率为90%,最终的检测结果的次品率为310,则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为.16.一个盒子里有1个红色、1个绿色、2个黄色,共四个球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则P(=0)=,E()=.四、解答题(本题共6
8、小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.有三个同样的箱子,甲箱中有2个红球、6个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,丙箱中有3个红球、5个白球.(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;(2)从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.18.2023山东潍坊月考某校为缓解学生压力,举办了一场趣味运动会,其中有一个项目为篮球定点投篮,比赛分为初赛和复赛.初赛规则为:每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定为通过初赛,立即停止投篮
9、,否则应继续投篮,直到投完三次为止.现甲先在A处投一球,以后都在B处投,已知甲同学在A处投篮的命中率为14,在B处投篮的命中率为45,求他初赛结束后所得总分X的分布列.19.某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数是一个随机变量,求随机变量的分布列及均值.20.甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0
10、分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.21.2023陕西西安检测设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p(p,q(0,1),每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量.(1)当p=q=12时,求数学期望E()及方差D();(2)当p+q=1时,将的数学期望E()用p表示.22.一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析
11、,随机抽取了40名学生的成绩,分组为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从抽取的成绩在区间50,60)内和区间90,100上的学生中,随机选择三名学生进行进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在区间50,60)内的人数,求X的分布列及均值E(X).(2)求该年级全体学生的平均成绩x与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(,2),其中,分别近似为中的x,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间62,95上的
12、概率.(精确到0.01)附:295.385.参考答案第七章综合训练1.A随机变量B(16,0.5),D()=160.50.5=4.=2+3,=12-32,D()=122D()=144=1.2.D依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E()=10.5+30.3+50.2=2.4.故选D.3.C设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(A)=0.875.故选C.4.B根据正态分布的对称性P(105X120)=12P(60X120)-P(754)=0
13、.2.XN(2,2),P(X4)=0.2.P(0X4)=P(X4)-P(X0)=0.6,P(X0)=1-P(X1)=p,所以P(01)=12-p,所以P(-10)=12-p,故C正确;对于D,击中目标的次数为X,XB(10,0.8),令C10k0.8k0.210-kC10k+10.8k+10.29-k,且C10k0.8k0.210-kC10k-10.8k-10.211-k,解得395k445,又kZ,故k=8,故当X=8时概率最大,故D正确.12.ABC若n=1,则p1=1,故H(X)=-p1log3p1=-1log31=0,故A正确;当n=3且pi=13(i=1,2,3)时,H(X)=-31
14、3log313=1,故B正确;若pi=1n(i=1,2,n),则H(X)=-n1nlog31n=log3n,由对数函数的单调性可知,H(X)随着n的减小而减小,故C正确;若n=2,则p1+p2=1,H(X)=-(p1log3p1+p2log3p2)=-p1log3p1+(1-p1)log3(1-p1),设f(p)=-plog3p+(1-p)log3(1-p),0p1,则f(p)=-log3p+p1pln3-log3(1-p)+(1-p)-1(1-p)ln3=-log3p1-p,令f(p)0,解得12p0,解得0p510)=1-0.952=0.025,所以卖出的奶粉质量在510 g以上袋数大约为
15、4000.025=10.14.4由随机变量XB(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,则D(X)=41212=1,故D(2X-3)=4D(X)=4.15.79设该批芯片中一枚芯片由智能检测合格为事件A,经智能检测合格的芯片进入流水线并由人工检测,一枚芯片恰好为合格品为事件B,则P(A)=910,P(AB)=1-310=710,则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=710910=79.16.131依题意,的取值可能为0,1,2,则P(=0)=14+1413=13,P(=1)=2413+241312+142312=
16、13,P(=2)=1-13-13=13,故E()=013+113+213=1.17.解 (1)根据题意,记事件A1:从甲箱中取一球为红球,事件A2:从乙箱中取一球为红球,事件A3:从丙箱中取一球为红球,记事件B:取得的三球都为红球,且事件A1,A2,A3相互独立,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)=143538=9160,所以三球都为红球的概率为9160.(2)记事件C:该球为红球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.因为P(C|D1)=14,P(C|D2)=35,P(C|D3)=38,所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(
17、C|D3)=1314+1335+1338=49120,所以该球为红球的概率为49120.18.解设甲同学在A处投中为事件A,投不中为事件A,在B处投中为事件B,投不中为事件B,由已知得P(A)=14,P(B)=45,则P(A)=34,P(B)=15,X的可能取值为0,2,3,4,P(X=0)=341515=3100,P(X=2)=344515+341545=625,P(X=3)=14,P(X=4)=344545=1225,所以X的分布列为X0234P310062514122519.解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,则P(A)=C41C21C62=815.故恰
18、好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为815.(2)依题意,随机变量的取值可能为2,3,4,则P(=2)=C42C62=25,P(=3)=C41C21C62=815,P(=4)=C22C62=115.故随机变量的分布列为234P25815115E()=225+3815+4115=83.20.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,则P(A)=233+C3223313=1627,故甲获得这次比赛胜利的概率为1627.(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,则P(X=2)=132=19,P(X=3)=233+C2123132=49,P(X=4)=C32232131=49.故X的分布
19、列为X234P194949E(X)=219+349+449=103.21.解(1)每位投球手均独立投球一次,当p=q=12时,B3,12,E()=312=32,D()=3121-12=34.(2)的可能取值为0,1,2,3.P(=0)=(1-q)(1-p)2=pq2,P(=1)=q(1-p)2+(1-q)C21p(1-p)=q3+2p2q,P(=2)=qC21p(1-p)+(1-q)p2=2pq2+p3,P(=3)=qp2.的分布列为0123Ppq2q3+2p2q2pq2+p3qp2E()=0pq2+1(q3+2p2q)+2(2pq2+p3)+3qp2=1+p.22.解(1)由频率分布直方图,
20、可知40名学生中成绩在区间50,60)内和区间90,100上的人数均为4.X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C43C83=114,P(X=1)=C41C42C83=37,P(X=2)=C42C41C83=37,P(X=3)=C43C83=114.故X的分布列为X0123P1143737114E(X)=0114+137+237+3114=1.5.(2)x=550.1+650.3+750.4+850.1+950.1=73,s=(55-73)20.1+(65-73)20.3+(75-73)20.4+(85-73)20.1+(95-73)20.1=116=22911.由,可知成绩在区间62,95上的概率约为120.954 5+120.682 7=0.818 6,记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间62,95上”为事件A,则P(A)=C320.818 62(1-0.818 6)0.36.11