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1、 咸阳市实验中学 高三适应性训练（一）数学（理科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
2、】利用补集和并集的定义可求得集合.【详解】因为全集，则，又因为集合，因此，.故选：B.2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简可得.【详解】因为，所以故选：A3. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.【详解】由，得，所以为偶函数，故排除BD.当时，排除A.故选：C4. 设等差数列的前n项和为，且，则（ ）A. 26B. 32C. 52D. 64【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质计算即可.【详解】由等差数列的性质可得则故故选：C5. 已知抛物线的焦点为
3、F，C上一点满足，则（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】点代入抛物线方程，得，再利用等于点到准线距离求值.【详解】依题意得 ，因为，所以.由，解得.故选：D6. 如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（ ）A. 2B. 3C. 9D. 16【答案】A【解析】【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以，解得，故乙的平均成绩，则乙成绩的方差.故选：A.7. 已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（ ）A. 若，则
4、B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】由通项公式可由推出首项与公比同号，取可判断AB，由可得，取可判断C，由分类讨论可知同号，可判断D.【详解】由数列是等比数列，若，同号，由知，当时，故A，B错误；若，则可知当时，该等比数列为常数列，则，故C错误；当时，时，当时，所以由且同号，可知，故D正确.故选：D8. 中，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案.【详解】因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充
5、分性成立，同理当时，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C9. 设为两条直线，为两个平面，若，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确；对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确；对于C中，若且，如图所示，取点，过点，作，则，设，可得，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为与所成角的平面角，由，可得，即，所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确；对于D中，若且，则与平行、相
6、交或异面，所以D不正确.故选：C.10. 甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）A. 两两不互斥B. C. 与B是相互独立事件D. 【答案】B【解析】【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解【详解】对于A，由题意可知，不可能同时发生，所以，两两互斥，所以A不正确；对于B，由题意可得，所以，所以B正确；对于C，因为，所以，所以与B不是相互独立事件，
7、所以C错误；对于D，由C选项可知D是错误的.故选：B.11. 已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，求出新函数导数，根据题意可知新函数为单调递减函数，由此可知，即可判断出A、B选项；构造和可判断出C、D选项.【详解】由题意：，设，则，由得，因为，所以，又、是定义域为的恒大于0的可导函数，故，B错误，A错误；，因为，不知道正负，所以C不一定成立；，即，D正确.故选：D.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关
8、，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12. 已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，
9、再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围.【详解】由题设，若，则，所以，值域为R，函数图象如下：当时，只有一个与之对应；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有三个对应自变量且；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有一个与之对应；令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，若有三个解，则，此时有7个解，不满足；若有两个解且，此时和各有一个解，结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；若有一个解，则有两个解，此时，所以对应的，综上，.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，则_.【答案】【解析】【分析】依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解
10、得即可.【详解】因为，且，所以，解得.故答案为：14. 如图，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是_.【答案】【解析】【分析】根据排列组合计算个数，即可利用古典概型的概率公式求解【详解】从8个点中任取3个点，共有种情况，这三个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种，则所求的概率故答案为：15. 已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是_.【答案】#【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，利用双曲线的定义即可得到，则得到关于的方
11、程，则得到离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，则.由双曲线的定义可得，则，因为，所以，则周长的最小值为，结合，整理得，即，解得（负舍）.故答案为：. 16. 如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】如图，设该正四棱台为四棱台，设上下底面的焦点分别为，则其外接球的球心在直线上，先求出棱台的高，再利用勾股定理求出外接
12、球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】如图，设该正四棱台为四棱台，设上下底面的焦点分别为，则其外接球的球心在直线上，由题意，故四棱台的高，易知在线段上，设，外接球的半径为，则，解得，所以，所以其外接球的表面积.故答案为：.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求
13、半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.（1）求A；（2）在AD是的高；AD是的中线；AD是的角平分线，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.若，点D是BC边上的一点，且_.求线段AD的长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；
14、（2）选：根据等面积法求解即可；选：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选：根据，结合面积公式可得.【小问1详解】在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且，可得， 由余弦定理可得，.【小问2详解】选：AD是的高，由余弦定理得，所以由面积得，；选：是的中线，；选：AD是的角平分线.由于，所以，解得18. 某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了位同学月份玩手机的时间单位：小时，并将这个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：玩手机时间人数将月份玩手机时间为小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，小时以下者视为“手机自我管理到位”.
15、（1）请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”；手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生女生合计（2）学校体育老师从手机自我管理不到位的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮训练，已知男生投篮进球的概率为，女生投篮进球的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投篮进球总次数的分布列和数学期望.附录：，其中.独立性检验临界值表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，没有 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据已知条件完成列联表，利用表中数据求出观测值与临界值表进
16、行比较即可求解；（2）根据已知条件求出随机变量的取值，利用概率的加法公式和乘法公式求出对应的概率，进而求出随机变量的分布列，结合随机变量的期望公式即可求解.【小问1详解】列联表如下：手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生52860女生28合计8020100的观测值，所以没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”.【小问2详解】设3人投篮进球总次数为，由题意知随机变量的可能取值分别为0，1，2，3；故， ， ，所以分布列如下表，123所以.19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ADPQ是梯形，平面ABCD，且（1）求证：平面QAB；（2）求平面PB
17、Q与平面PCD所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由平面ABCD，可得平面ABCD，进而得到，结合，进而得证；（2）以为轴，为轴，为轴，为原点建立空间直角坐标系，找出平面与平面的法向量，根据两面的法向量即可求解【小问1详解】证明：平面ABCD，平面ABCD平面ABCD，在正方形ABCD中，又，AB，平面QAB，平面QAB【小问2详解】建立空间直角坐标系如图：以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，D为原点，则有，设平面PBQ的一个法向量为，则有，得，令，则，易知平面PCD的一个法向量为，设平面PBQ与平面PCD所成二面角的平面角为，则，即平面PBQ与平面PC
18、D所成锐二面角的余弦值20. 在平面直角坐标系中，已知点，直线PA与直线PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若直线与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F两点，若，求证：直线l过定点【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设P点坐标为，由可得结果；（2）设，联立，得和，再求出的坐标，根据得，从而可得结果.【小问1详解】设P点坐标为，则，即，所以曲线C的方程为.【小问2详解】设，由，消去并整理得，由，得,所以，因为，所以，即，所以，所以对任意都成立，故直线l过定点21. 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求证：当时，；
19、（3）对任意的，判断与的大小关系，并证明结论【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数几何意求解即可；（2）对求导，可判断出当时，则在区间上单调递减，从而可证得结论；（3）不妨假设中的定值，令，对函数求导后可判断在上单调递减，则，从而可比较出大小.【小问1详解】由，得因为，所以曲线在点处的切线方程为【小问2详解】依题意，所以当时，所以所以函数在区间上单调递减因为，所以当时，小问3详解】不妨假设中的定值，令，则，由（2）知，在区间上单调递减，因为，所以从而在上单调递减因为，所以当时，即综上，对任意的，有【点睛】关键点睛：此题第（3）问解题的关键是假设中的定
20、值，令，然后利用导数求出其单调区间，从而得结果.（二）选考题：共10分.考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t的几何意义即可求解.【小问1详解】直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得直
21、线l的普通方程为:.曲线C的极坐标方程为，即，又，曲线C的直角坐标方程为.【小问2详解】将（t为参数）代入，得，显然，即方程有两个不相等的实根，设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，则，.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，分，三种情况讨论求解即可；（2）由绝对值三角不等式得恒成立，进而分和两种情况求解即可.【小问1详解】解：若，当时，解得，所以；当时，无解；当时，解得，所以综上，不等式的解集是小问2详解】解：因为，当且仅当时等号成立，若，不等式恒成立，只需当时，解得；当时，此时满足条件的a不存在综上，实数a的取值范围是