《真题重组卷04（2024新题型）-冲刺2024年高考数学真题重组卷（新高考新题型专用）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《真题重组卷04（2024新题型）-冲刺2024年高考数学真题重组卷（新高考新题型专用）含答案.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、冲刺冲刺 2024 年高考数学真题重组卷（新七省专用）年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷真题重组卷 04（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟试卷满分：试卷满分：150 分）分）第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要只有一项是符合要求的。求的。1.（2022新高考）若集合|4Mxx，|31Nxx，则(MN)A|02xx B1|23xx C|316xx D1|163xx 2.（2023 全国乙卷数学（理）设252i1iiz，则
2、z（）A12iB12iC2iD2i3（2023天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r，下列说法正确的是()A花瓣长度和花萼长度没有相关性B花瓣长度和花萼长度呈现负相关C花瓣长度和花萼长度呈现正相关D若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 0.82454.（2023天津）“22ab”是“222abab”的()A充分不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5.（2023 全国甲卷数学（理）4有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（）A120B60
3、C40D306.（2023 全国乙卷数学（文）（理）已知函数()sin()f xx在区间 2,63单调递增，直线6x 和23x 为函数 yf x的图像的两条对称轴，则512f（）A32B12C12D327.（2023 全国甲卷数学（文）在三棱锥PABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，2,6PAPBPC，则该棱锥的体积为（）A1B3C2D38.（2022新高考）已知函数()f x的定义域为R，且()()()()f xyf xyf x f y，f（1）1，则221()(kf k)A3B2C0D1二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分，
4、在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的有多项符合题目的要求，全部选对的得要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9（2020 新课标全国卷）已知曲线22:1C mxny.（）A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为nC若 mn0，则 C 是两条直线10（2023 新课标全国卷）在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立发送 0 时，收到 1 的概率为(01)，收到 0 的概率为1；发送 1 时，收到 0 的概率为(01)，收到 1 的概率为1.考虑两种
5、传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输 是指每个信号重复发送 3 次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1）.A采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1 的概率为2(1)(1)B采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为2(1)C采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为23(1)(1)D当00.5时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0 的概率11（
6、2023 新课标全国卷）已知函数 f x的定义域为R，22fxyy fxx fy，则（）A 00fB 10fC f x是偶函数D0 x 为 f x的极小值点第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12（2023天津）在ABC中，60A，|1BC ，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设ABa，ACb，则AE 可用a，b表示为13.（2022新高考）8(1)()yxyx的展开式中26x y的系数为（用数字作答）14.（2023北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来
7、测量物体质量的“环权”已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列na，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且11a，512a，9192a，则7a，数列 na的所有项的和为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15（本小题满分 13 分）（2021新高考）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，1ba，2ca（1）若2sin3sinCA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不
8、存在，说明理由16（本小题满分 15 分）（2023新高考）如图，在正四棱柱111ABCDABC D中，2AB，14AA 点2A，2B，2C，2D分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA，222BBDD，23CC（1）证明：2222/B CA D；（2）点P在棱1BB上，当二面角222PA CD为150时，求2B P17（本小题满分 15 分）（2023新高考）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是
9、甲、乙的概率各为 0.5（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量iX服从两点分布，且(1)1(0)iiiP XP Xq，1i，2，n，则11()nniiiiEXq记前n次（即从第 1 次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求()E Y18（本小题满分 17 分）（2023新高考）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(2 5，0)，离心率为5（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点(4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于P，证明P在定直线上19（本小题满分 17 分）（2022甲卷（理
10、）已知函数()xef xlnxxax（1）若()0f x，求a的取值范围；（2）证明：若()f x有两个零点1x，2x，则121x x 冲刺冲刺 2024 年高考数学真题重组卷（新七省专用）年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷真题重组卷 04（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟试卷满分：试卷满分：150 分）分）第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要只有一项是符合要求的。求的。1.（2022新高考）若集合|4Mxx，|31N
11、xx，则(MN)A|02xx B1|23xx C|316xx D1|163xx【答案】D【解析】由4x，得016x，|4|016Mxxxx，由31x，得13x，1|31|3Nxxx x，11|016|1633MNxxx xxx故选：D2.（2023 全国乙卷数学（理）设252i1iiz，则z（）A12iB12iC2iD2i【答案】B【详解】由题意可得252i 2i2i2i2i 11 2i1 ii1 1 ii1z ，则12iz.故选：B.3（2023天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r，下列说法正确的是()A花瓣长度和花萼长度没有相关性B花瓣长度和花萼长
12、度呈现负相关C花瓣长度和花萼长度呈现正相关D若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 0.8245【答案】C【解析】相关系数0.82450.75r，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，花瓣长度和花萼长度呈正相关若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是 0.8245故选：C4.（2023天津）“22ab”是“222abab”的()A充分不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】22ab，即()()0ab ab，解得ab 或ab，222abab，即2()0ab，解得ab，故“22ab”不能推出“222abab”，充分性不成立，“222abab”
13、能推出“22ab”，必要性成立，故“22ab”是“222abab”的必要不充分条件故选：B5.（2023 全国甲卷数学（理）4有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（）A120B60C40D30【答案】B【详解】不妨记五名志愿者为,a b c d e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A12种方法，同理：,b c d e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有5 1260种.故选：B.6.（202
14、3 全国乙卷数学（文）（理）已知函数()sin()f xx在区间 2,63单调递增，直线6x 和23x 为函数 yf x的图像的两条对称轴，则512f（）A32B12C12D32【答案】D【详解】因为()sin()f xx在区间 2,63单调递增，所以22362T，且0，则T，22wT，当6x 时，fx取得最小值，则22 62k，Zk，则52 6k，Zk，不妨取0k，则 5sin 26f xx，则553sin1232f，故选：D.7.（2023 全国甲卷数学（文）在三棱锥PABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，2,6PAPBPC，则该棱锥的体积为（）A1B3C2D3【答案】A【详解】取A
15、B中点E，连接,PE CE，如图，ABC是边长为 2 的等边三角形，2PAPB，,PEAB CEAB，又,PE CE 平面PEC，PECEE，AB平面PEC，又3232PECE，6PC，故222PCPECE，即PECE，所以1113321332B PECA PECPECVVVSAB，故选：A8.（2022新高考）已知函数()f x的定义域为R，且()()()()f xyf xyf x f y，f（1）1，则221()(kf k)A3B2C0D1【答案】A【解析】令1y，则(1)(1)()f xf xf x，即(1)()(1)f xf xf x，(2)(1)()f xf xf x，(3)(2)(
16、1)f xf xf x，(3)()f xf x，则(6)(3)()f xf xf x，()f x的周期为 6，令1x，0y 得f（1）f（1）f（1）(0)f，解得(0)2f，又(1)()(1)f xf xf x，f（2）f（1）(0)1f，f（3）f（2）f（1）2，f（4）f（3）f（2）1，f（5）f（4）f（3）1，f（6）f（5）f（4）2，61()1 121 120kf k ，221()3 0(19)(20)(21)(22)kf kfffff（1）f（2）f（3）f（4）3 故选：A二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分，在
17、每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的有多项符合题目的要求，全部选对的得要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9（2020 新课标全国卷）已知曲线22:1C mxny.（）A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为nC若 mn0，则 C 是两条直线【答案】ACD【解析】对于 A，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B，若0mn，则221mxny可化为221xyn，此
18、时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；对于 C，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，此时曲线C表示双曲线，由220mxny可得myxn ，故 C 正确；对于 D，若0,0mn，则221mxny可化为21yn，nyn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确；故选：ACD.10（2023 新课标全国卷）在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立发送 0 时，收到 1 的概率为(01)，收到 0 的概率为1；发送 1 时，收到 0 的概率为(01)，收到 1 的概率为1.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输
19、是指每个信号重复发送 3 次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1）.A采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1 的概率为2(1)(1)B采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为2(1)C采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为23(1)(1)D当00.5时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0 的概率【答案】ABD【解析】对于 A，依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1 的
20、事件是发送 1 接收 1、发送 0 接收 0、发送 1接收 1 的 3 个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)，A 正确；对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1，1，1，则依次收到 l，0，1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)，B 正确；对于 C，三次传输，发送 1，则译码为 1 的事件是依次收到 1，1，0、1，0，1、0，1，1 和 1，1，1 的事件和，它们互斥，由选项 B 知，所以所求的概率为22323C(1)(1)(1)(1 2)，C
21、错误；对于 D，由选项 C 知，三次传输，发送 0，则译码为 0 的概率2(1)(12)P，单次传输发送 0，则译码为 0 的概率1P ，而00.5，因此2(1)(12)(1)(1)(12)0PP，即PP，D 正确.故选：ABD11（2023 新课标全国卷）已知函数 f x的定义域为R，22fxyy fxx fy，则（）A 00fB 10fC f x是偶函数D0 x 为 f x的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为22()()()f xyy f xx f y，对于 A，令0 xy，(0)0(0)0(0)0fff，故A正确.对于 B，令1xy，(1)1(1)1(1)fff，则(1)0f，故
22、 B 正确.对于 C，令1xy，(1)(1)(1)2(1)ffff，则(1)0f，令21,()()(1)()yfxf xx ff x，又函数()f x的定义域为R，所以()f x为偶函数，故C正确，对于 D，不妨令()0f x，显然符合题设条件，此时()f x无极值，故D错误.方法二：因为22()()()f xyy f xx f y，对于 A，令0 xy，(0)0(0)0(0)0fff，故A正确.对于 B，令1xy，(1)1(1)1(1)fff，则(1)0f，故 B 正确.对于 C，令1xy，(1)(1)(1)2(1)ffff，则(1)0f，令21,()()(1)()yfxf xx ff x，
23、又函数()f x的定义域为R，所以()f x为偶函数，故C正确，对于 D，当220 x y 时，对22()()()f xyy f xx f y两边同时除以22x y，得到2222()()()f xyf xf yx yxy，故可以设2()ln(0)f xx xx，则2ln,0()0,0 xx xf xx，当0 x 肘，2()lnf xxx，则 212 ln(2ln1)xxxxxfxx，令 0fx，得120ex；令()0fx，得12ex；故()f x在120,e上单调递减，在12e,上单调递增，因为()f x为偶函数，所以()f x在12,0e上单调递增，在12,e上单调递减，显然，此时0 x 是
24、()f x的极大值，故 D 错误.故选：ABC.第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12（2023天津）在ABC中，60A，|1BC ，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设ABa，ACb，则AE 可用a，b表示为【答案】1142ab【解析】在ABC中，60A，|1BC ，点D为AB的中点，点E为CD的中点，ABa，ACb，则11111()24242AEADACABACab 13.（2022新高考）8(1)()yxyx的展开式中26x y的系数为（用数字作答）【答案】28【解析】8()xy
25、的通项公式为818rrrrTC xy，当6r 时，62678TC x y，当5r 时，53568TC x y，8(1)()yxyx的展开式中26x y的系数为65888!8!2856286!2!5!3!CC 14.（2023北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列na，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且11a，512a，9192a，则7a，数列 na的所有项的和为【答案】48；384【解析】数列na的后 7 项成等比数列，0na，75912 19248aa a
26、，2253712348aaa，公比531223aqa4326a，又该数列的前 3 项成等差数列，数列na的所有项的和为6133()6(21)3(13)37838422 12aa四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15（本小题满分 13 分）（2021新高考）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，1ba，2ca（1）若2sin3sinCA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【解析】（1）2s
27、in3sinCA，根据正弦定理可得23ca，1ba，2ca，4a，5b，6c，在ABC中，运用余弦定理可得2222224561cos224 58abcCab，22sincos1CC，2213 7sin11()88Ccos C，113 715 7sin452284ABCSabC （2）cba，ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，222222(1)(2)cos022(1)abcaaaCaba a，2230aa，0a，03a，三角形的任意两边之和大于第三边，abc，即12aaa，即1a，13a，a为正整数，2a16（本小题满分 15 分）（2023新高考）如图，在正四棱柱111ABCDABC D中，
28、2AB，14AA 点2A，2B，2C，2D分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA，222BBDD，23CC（1）证明：2222/B CA D；（2）点P在棱1BB上，当二面角222PA CD为150时，求2B P【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：2(0B，2，2)，2(0C，0，3)，2(2A，2，1)，2(2D，0，2)，22(0,2,1)B C ，22(0,2,1)A D ，2222B CA D ，又2B，2C，2A，2D四点不共线，2222/B CA D；（2）在（1）的坐标系下，可设(0P，2，)t，0t，4，又由（1）知2(0C，0，3)，2(2A，2，1)，2
29、(2D，0，2)，22(2,2,2)C A ，2(0,2,3)C Pt，22(0,2,1)A D ，设平面22PA C的法向量为(,)mx y z，则22222202(3)0m C Axyzm C Pytz ，取(1,3,2)mtt，设平面222A C D的法向量为(,)na b c，则2222222020n C Aabcn A Dbc ，取(1,1,2)n，根据题意可得|cos150|cosm，|m nnm n，22362(1)(3)46tt，2430tt，又0t，4，解得1t 或3t，P为12B B的中点或2B B的中点，21B P17（本小题满分 15 分）（2023新高考）甲、乙两人投
30、篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量iX服从两点分布，且(1)1(0)iiiP XP Xq，1i，2，n，则11()nniiiiEXq记前n次（即从第 1 次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求()E Y【解析】（1）设第 2 次投篮的人是乙的概率为P，由题意得0.50.40.50.80.6P；（2）由
31、题意设nP为第n次投篮的是甲，则10.60.2(1)0.40.2nnnnPPPP，1110.4()33nnPP，又1111103236P，则13nP 是首项为16，公比为 0.4 的等比数列，1112()365nnP，即1112()365nnP，第i次投篮的人是甲的概率为1112()365iiP；（3）由（2）得1112()365iiP，由题意得甲第i次投篮次数iY服从两点分布，且(1)1(0)iiiP YP YP，11()()nniiiiEYE YP，当1n时，111121()125265()()1()26533185315nnniniiinnnE YP；当0n 时，0520()01()18
32、53E Y，综上所述，52()1()1853nnE Y，nN18（本小题满分 17 分）（2023新高考）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(2 5，0)，离心率为5（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点(4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于P，证明P在定直线上【解析】（1）双曲线C中心为原点，左焦点为(2 5，0)，离心率为5，则2222 55cabccea，解得24ab，故双曲线C的方程为221416xy；（2）证明：过点(4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为4xmy，1(M x，1)y，2(N x
33、，2)y，记C的左，右顶点分别为1A，2A，则1(2,0)A，2(2,0)A，联立224416xmyxy，化简整理可得，22(41)32480mymy，故222(32)448(41)2641920mmm 且2410m ，1223241myym，1224841y ym，直线1MA的方程为11(2)2yyxx，直线2NA方程22(2)2yyxx，故21211212(2)(2)22(2)(6)yxy myxxy xy my121211212()26my yyyymy yy12212483222414148641mmymmmym1212162141483641mymmym，故2123xx，解得1x ，
34、所以1Px ，故点P在定直线1x 上运动19（本小题满分 17 分）（2022甲卷（理）已知函数()xef xlnxxax（1）若()0f x，求a的取值范围；（2）证明：若()f x有两个零点1x，2x，则121x x【解析】（1）()f x的定义域为(0,)，22(1)1()(1)()1xxexex xfxxxx，令()0fx，解得1x，故函数()f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增，故()minf xf（1）1ea，要使得()0f x恒成立，仅需10ea，故1a e，故a的取值范围是(，1e；（2）证明：由已知有函数()f x要有两个零点，故f（1）10ea，即1ae，不妨设12
35、01xx，要证明121x x，即证明211xx，101x，111x，即证明：2111xx，又因为()f x在(1,)单调递增，即证明：211()()f xfx111()()f xfx，构造函数1()()()h xf xfx，01x，121(1)(1)()()()xxxexxeh xfxfxx，构造函数1()1xxm xexxe，11()1(1)xxm xeex，因为01x，所以110 x，故()0m x在(0,1)恒成立，故()m x在(0,1)单调递增，故()m xm（1）0又因为10 x ，故()0h x在(0,1)恒成立，故()h x在(0,1)单调递增，又因为h（1）0，故()h xh
36、（1）0，故111()()f xfx，即121x x 得证冲刺冲刺 2024 年高考数学真题重组卷（新七省专用）年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷真题重组卷 04（参考答案）（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678DBCBBDAA二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。91011ACDA
37、BDABC第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。121142ab13281448；384四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15（本小题满分 13 分）【解析】（1）2sin3sinCA，根据正弦定理可得23ca，1ba，2ca，4a，5b，6c，在ABC中，运用余弦定理可得2222224561cos224 58abcCab，22sincos1CC，2213 7sin11()88Ccos C，113 715 7sin452284ABCSabC （2）cba，ABC为钝角三角形时，
38、角C必为钝角，222222(1)(2)cos022(1)abcaaaCaba a，2230aa，0a，03a，三角形的任意两边之和大于第三边，abc，即12aaa，即1a，13a，a为正整数，2a16（本小题满分 15 分）【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：2(0B，2，2)，2(0C，0，3)，2(2A，2，1)，2(2D，0，2)，22(0,2,1)B C ，22(0,2,1)A D ，2222B CA D ，又2B，2C，2A，2D四点不共线，2222/B CA D；（2）在（1）的坐标系下，可设(0P，2，)t，0t，4，又由（1）知2(0C，0，3)，2(2A，2，1)，2
39、(2D，0，2)，22(2,2,2)C A ，2(0,2,3)C Pt，22(0,2,1)A D ，设平面22PA C的法向量为(,)mx y z，则22222202(3)0m C Axyzm C Pytz ，取(1,3,2)mtt，设平面222A C D的法向量为(,)na b c，则2222222020n C Aabcn A Dbc ，取(1,1,2)n，根据题意可得|cos150|cosm，|m nnm n，22362(1)(3)46tt，2430tt，又0t，4，解得1t 或3t，P为12B B的中点或2B B的中点，21B P17（本小题满分 15 分）【解析】（1）设第 2 次投篮
40、的人是乙的概率为P，由题意得0.50.40.50.80.6P；（2）由题意设nP为第n次投篮的是甲，则10.60.2(1)0.40.2nnnnPPPP，1110.4()33nnPP，又1111103236P，则13nP 是首项为16，公比为 0.4 的等比数列，1112()365nnP，即1112()365nnP，第i次投篮的人是甲的概率为1112()365iiP；（3）由（2）得1112()365iiP，由题意得甲第i次投篮次数iY服从两点分布，且(1)1(0)iiiP YP YP，11()()nniiiiEYE YP，当1n时，111121()125265()()1()2653318531
41、5nnniniiinnnE YP；当0n 时，0520()01()1853E Y，综上所述，52()1()1853nnE Y，nN18（本小题满分 17 分）【解析】（1）双曲线C中心为原点，左焦点为(2 5，0)，离心率为5，则2222 55cabccea，解得24ab，故双曲线C的方程为221416xy；（2）证明：过点(4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为4xmy，1(M x，1)y，2(N x，2)y，记C的左，右顶点分别为1A，2A，则1(2,0)A，2(2,0)A，联立224416xmyxy，化简整理可得，22(41)32480mymy，故222(32)4
42、48(41)2641920mmm 且2410m ，1223241myym，1224841y ym，直线1MA的方程为11(2)2yyxx，直线2NA方程22(2)2yyxx，故21211212(2)(2)22(2)(6)yxy myxxy xy my121211212()26my yyyymy yy12212483222414148641mmymmmym1212162141483641mymmym，故2123xx，解得1x ，所以1Px ，故点P在定直线1x 上运动19（本小题满分 17 分）【解析】（1）()f x的定义域为(0,)，22(1)1()(1)()1xxexex xfxxxx，令
43、()0fx，解得1x，故函数()f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增，故()minf xf（1）1ea，要使得()0f x恒成立，仅需10ea，故1a e，故a的取值范围是(，1e；（2）证明：由已知有函数()f x要有两个零点，故f（1）10ea，即1ae，不妨设1201xx，要证明121x x，即证明211xx，101x，111x，即证明：2111xx，又因为()f x在(1,)单调递增，即证明：211()()f xfx111()()f xfx，构造函数1()()()h xf xfx，01x，121(1)(1)()()()xxxexxeh xfxfxx，构造函数1()1xxm xexxe，11()1(1)xxm xeex，因为01x，所以110 x，故()0m x在(0,1)恒成立，故()m x在(0,1)单调递增，故()m xm（1）0又因为10 x ，故()0h x在(0,1)恒成立，故()h x在(0,1)单调递增，又因为h（1）0，故()h xh（1）0，故111()()f xfx，即121x x 得证