《真题重组卷03（2024新题型）-冲刺2024年高考数学真题重组卷（新高考新题型专用）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《真题重组卷03（2024新题型）-冲刺2024年高考数学真题重组卷（新高考新题型专用）含答案.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、冲刺冲刺 2024 年高考数学真题重组卷（新七省专用）年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷真题重组卷 03（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟试卷满分：试卷满分：150 分）分）第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要只有一项是符合要求的。求的。1.（2023 新课标全国卷）已知1i22iz，则zz（）AiBiC0D12.（2023 全国乙卷数学（理）设集合U R，集合1Mx x，12Nxx，则2x x（）AUMNBUNMCU
2、MNDUMN3.（2023 新课标全国卷）已知为锐角，15cos4，则sin2（）A358B158 C354D154 4.（2023乙卷（文）正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则(EC ED )A5B3C2 5D55.（2023新高考）设函数()()2x x af x在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()A(，2B 2，0)C(0，2D2，)6（2023 全国乙卷数学（文）已知等差数列 na的公差为23，集合*cosNnSa n，若,Sa b，则ab（）A1B12C0D127.（2023 全国乙卷数学（文）已知实数,x y满足224240 xyxy，则xy的最大值是（）A3
3、212B4C13 2D78.（2023 全国乙卷数学(理)）已知圆锥 PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，120AOB，若PAB的面积等于9 34，则该圆锥的体积为（）AB6C3D3 6二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的有多项符合题目的要求，全部选对的得要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9（2021 新课标全国卷）下列统计量中，能度量样本12,nx xx的离散程度的是
4、（）A样本12,nx xx的标准差B样本12,nx xx的中位数C样本12,nx xx的极差D样本12,nx xx的平均数10（2022 新课标全国卷）已知函数()sin(2)(0)f xx的图像关于点2,03中心对称，则（）A()f x在区间50,12单调递减B()f x在区间 11,12 12有两个极值点C直线76x 是曲线()yf x的对称轴D直线32yx是曲线()yf x的切线11（2022 新课标全国卷）已知 O 为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上，过点(0,1)B的直线交 C 于 P，Q 两点，则（）AC 的准线为1y B直线 AB 与 C 相切C2|O
5、POQOAD2|BPBQBA第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12.（2023乙卷（理）已知na为等比数列，24536a a aa a，9108a a，则7a 13.（2023 新高考天津卷）在6312xx的展开式中，2x项的系数为_14.（2021新高考）已知函数()|1|xf xe，10 x，20 x，函数()f x的图象在点1(A x，1()f x和点2(B x，2()f x的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AMBN的取值范围是四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5
6、 小题，共小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15（本小题满分 13 分）（2023新高考）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率（1）当漏诊率p
7、（c）0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）p（c）q（c）当95c，105，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间95，105的最小值16.（本小题满分 15 分）（新题型）已知椭圆C的中心为坐标原点，记C的左、右焦点分别为1F，2F，上下顶点为1B，2B，且112FB B是边长为 2 的等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点0,2Q的直线与椭圆C交于M，N两点，且0OM ON ，求直线MN斜率范围.17（本小题满分 15 分）（2022新高考）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为 4，1ABC的面积为2 2（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1
8、AC的中点，1AAAB，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC的正弦值18.（本小题满分 17 分）（2023新高考）（1）证明：当01x时，2sinxxxx；参考答案（2）已知函数2()cos(1)f xaxlnx，若0 x 为()f x的极大值点，求a的取值范围19.（本小题满分 17 分）（2024江苏四校联考）已知定义域为R的函数 h x满足：对于任意的xR，都有 22h xh xh，则称函数 h x具有性质P.(1)判断函数 2,cosf xx g xx是否具有性质P；（直接写出结论）(2)已知函数 35sin,222f xx，判断是否存在,，使函数 f x具有性质P？若
9、存在，求出,的值；若不存在，说明理由；(3)设函数 f x具有性质P，且在区间0,2上的值域为 0,2ff.函数 sing xfx，满足 2g xg x，且在区间0,2上有且只有一个零点.求证：22f.冲刺冲刺 2024 年高考数学真题重组卷（新七省专用）年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷真题重组卷 03（参考答案）（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678AADBDBCB二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分
10、，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。91011ACADBCD第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12213 6014(0,1)四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15（本小题满分 13 分）【解析】（1）当漏诊率p（c）0.5%时，则(95)0.0020.5%c，解得97.5c；q（c）0.01 2.550.0020.0353.5%；（2）当95c，100时，f（c）p（c）q（c）(95
11、)0.002(100)0.0150.0020.0080.82 0.02ccc ，当(100c，105时，f（c）p（c）q（c）50.002(100)0.012(105)0.0020.010.980.02ccc，故f（c）0.0080.82,951000.010.98,100105cccc，所以f（c）的最小值为 0.0216.（本小题满分 15 分）【解】（1）由题意知12|2B B，则1b；由12|2FB，则2a，故椭圆C的标准方程为2214xy；（2）由题意知，直线MN的斜率存在且不为 0，设其方程为2ykx，联立22214ykxxy，得221416120kxkx，由2221641 41
12、216 430kkk，得234k，设11,M x y，22,N xy，则1221614kxxk，1221214x xk，则2212121212244222414ky ykxkxk x xk xxk，因为0OM ON ，所以2212122224 412440141414kkx xy ykkk，即24k，2344k，则322k 或322k，综上，斜率范围为332,222.17（本小题满分 15 分）【解析】（1）由直三棱柱111ABCABC的体积为 4，可得11 111433AABCA B CABCVV，设A到平面1ABC的距离为d，由11AABCA A BCVV，11433A BCSd，142
13、233d，解得2d（2）连接1AB交1AB于点E，1AAAB，四边形11ABB A为正方形，11ABAB，又平面1ABC 平面11ABB A，平面1ABC平面111ABB AAB，1AB平面1ABC，1ABBC，由直三棱柱111ABCABC知1BB 平面ABC，1BBBC，又111ABBBB，BC平面11ABB A，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，1AAAB，122 22BCAB，又1142ABBCAA，解得12ABBCAA，则(0B，0，0)，(0A，2，0)，(2C，0，0)，1(0A，2，2)，(1D，1，1)，则(0BA，2，0
14、)，(1BD ，1，1)，(2BC ，0，0)，设平面ABD的一个法向量为(nx，y，)z，则200n BAyn BDxyz ，令1x，则0y，1z ，平面ABD的一个法向量为(1n，0，1)，设平面BCD的一个法向量为(ma，b，)c，200m BCam BDabc ，令1b，则0a，1c ，平面BCD的一个法向量为(0m，1，1)，cosn，11222m，二面角ABDC的正弦值为2131()2218.（本小题满分 17 分）【解析】（1）证明：设2()sing xxxx，(0,1)x，则()12cosg xxx，()2sin0gxx ，()g x 在(0,1)上单调递减，()(0)0g x
15、g，()g x在(0,1)上单调递减，()(0)0g xg，即2sin0 xxx，(0,1)x，2sinxxx，(0,1)x，设()sinh xxx，(0,1)x，则()1cos0h xx，()h x在(0,1)上单调递增，()(0)0h xh，(0,1)x，即sin0 xx，(0,1)x，sin xx，(0,1)x，综合可得：当01x时，2sinxxxx；（2）22()sin1xfxaaxx，222222()cos(1)xfxaaxx ，且(0)0f，2(0)2fa，若2()20fxa，即22a时，易知存在10t，使得1(0,)xt时，()0fx，()fx 在1(0,)t上单调递增，()(0
16、)0fxf，()f x在1(0,)t上单调递增，这显然与0 x 为函数的极大值点相矛盾，故舍去；若2()20fxa，即2a 或2a 时，存在20t，使得2(xt，2)t时，()0fx，()fx 在2(t，2)t上单调递减，又(0)0f，当20tx时，()0fx，()f x单调递增；当20 xt时，()0fx，()f x单调递减，满足0 x 为()f x的极大值点，符合题意；若2()20fxa，即2a 时，()f x为偶函数，只考虑2a 的情况，此时22()2sin(2)1xfxxx，(0,1)x时，2221()22(1)011xfxxxxx，()f x在(0,1)上单调递增，与显然与0 x 为
17、函数的极大值点相矛盾，故舍去综合可得：a的取值范围为(，2)(2，)19.（本小题满分 17 分）【解】（1）因为 2fxx，则22(2)24f xxx，又24f，所以2()(2)f xf xf，故函数 2fxx具有性质P；因为 cosg xx，则2cos(2)cosg xxx，又2cos21g，()(2)cos1(2)g xgxg x，故 cosg xx不具有性质P.（2）若函数 f x具有性质P，则02(0)(2)fff，即(0)sin0f，因为2，所以0，所以 sin()f xx；若(2)0f，不妨设(2)0f，由2()(2)f xf xf，得2(0)(2)(2)(Z)fkfkfkfk（
18、*），只要k充分大时，(2)kf将大于 1，而 f x的值域为 1,1，故等式（*）不可能成立，所以必有(2)0f成立，即sin(2)0，因为3522，所以32 5，所以2 4，则2，此时 sin2fxx，则2sin2(2)sin2f xxx，而()(2)sin2sin4sin2f xfxx，即有2()(2)f xf xf成立，所以存在2，0使函数 f x具有性质P.（3）证明：由函数 f x具有性质P及（2）可知，(0)0f，由 2g xg x可知函数 g x是以2为周期的周期函数，则2(0)gg，即sin(2)sin(0)0ff，所以(2)fk，Zk；由(0)0f，(2)fk以及题设可知，
19、函数 f x在0,2的值域为0,k，所以Zk且0k；当2k，f x 及 2f x 时，均有 sin0g xfx，这与 g x在区间0,2上有且只有一个零点矛盾，因此1k 或2k；当1k 时，(2)f，函数 f x在0,2的值域为0,，此时函数 g x的值域为0,1，而2()f xf x，于是函数 f x在2,4的值域为,2，此时函数 g x的值域为1,0，函数 sing xfx在当0,2x时和2,4x时的取值范围不同，与函数 g x是以2为周期的周期函数矛盾，故2k，即(2)2f，命题得证.冲刺冲刺 2024 年高考数学真题重组卷（新七省专用）年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷真题重
20、组卷 03（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟试卷满分：试卷满分：150 分）分）第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要只有一项是符合要求的。求的。1.（2023 新课标全国卷）已知1i22iz，则zz（）AiBiC0D1【答案】A【详解】因为1 i 1 i1 i2i1i22i2 1 i 1 i42z，所以1i2z，即izz 故选：A2.（2023 全国乙卷数学（理）设集合U R，集合1Mx x，12Nxx，则2x x（）AUMNB
21、UNMCUMNDUMN【答案】A【详解】由题意可得|2MNx x，则|2UMNx x，选项 A 正确；|1UMx x，则|1UNMx x，选项 B 错误；|11MNxx，则|1UMNx x 或1x，选项 C 错误；|1UNx x 或2x，则UMN|1x x 或2x，选项 D 错误；故选：A.3.（2023 新课标全国卷）已知为锐角，15cos4，则sin2（）A358B158 C354D154【答案】D【详解】因为215cos1 2sin24，而为锐角，解得：sin225135518164故选：D4.（2023乙卷（文）正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则(EC ED )A5B3C2
22、 5D5【答案】B【解析】正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，所以1EB EA ，EBAD，EABC ，224BC AD ，则()()10043EC EDEBBCEAADEB EAEB ADEA BCBC AD 故选：B5.（2023新高考）设函数()()2x x af x在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()A(，2B 2，0)C(0，2D2，)【答案】D【解析】设2()tx xaxax，对称轴为2ax，抛物线开口向上，2ty 是t的增函数，要使()f x在区间(0,1)单调递减，则2txax在区间(0,1)单调递减，即12a，即2a，故实数a的取值范围是2，)故选：D6（2
23、023 全国乙卷数学（文）已知等差数列 na的公差为23，集合*cosNnSa n，若,Sa b，则ab（）A1B12C0D12【答案】B【详解】依题意，等差数列na中，11222(1)()333naanna，显然函数122cos()33yna的周期为 3，而Nn，即cosna最多 3 个不同取值，又cos|N ,nana b，则在123cos,cos,cosaaa中，123coscoscosaaa或123coscoscosaaa，于是有2coscos()3，即有2()2,Z3kk，解得,Z3kk，所以Zk，241cos()cos()cos()cos coscos333332abkkkkk .
24、故选：B7.（2023 全国乙卷数学（文）已知实数,x y满足224240 xyxy，则xy的最大值是（）A3 212B4C13 2D7【答案】C【详解】法一：令xyk，则xky，代入原式化简得22226440ykykk，因为存在实数y，则0，即22264 2440kkk，化简得22170kk，解得1 3 213 2k，故xy的最大值是3 21，法二：224240 xyxy，整理得22219xy，令3cos2x，3sin1y，其中0,2，则3cos3sin13 2 cos14xy，0,2，所以 9,444，则24，即74时，xy取得最大值3 21，法三：由224240 xyxy可得22(2)(
25、1)9xy，设xyk，则圆心到直线xyk的距离|2 1|32kd，解得1 3 213 2k 故选：C.8.（2023 全国乙卷数学(理)）已知圆锥 PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，120AOB，若PAB的面积等于9 34，则该圆锥的体积为（）AB6C3D3 6【答案】B【详解】在AOB中，120AOBo，而3OAOB，取AB中点C，连接,OC PC，有,OCAB PCAB，如图，30ABO，3,232OCABBC，由PAB的面积为9 34，得19 3324PC，解得3 32PC，于是22223 33()()622POPCOC，所以圆锥的体积2211(3)6633
26、VOAPO.故选：B二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的有多项符合题目的要求，全部选对的得要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9（2021 新课标全国卷）下列统计量中，能度量样本12,nx xx的离散程度的是（）A样本12,nx xx的标准差B样本12,nx xx的中位数C样本12,nx xx的极差D样本12,nx xx的平均数【答案】AC【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由
27、中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10（2022 新课标全国卷）已知函数()sin(2)(0)f xx的图像关于点2,03中心对称，则（）A()f x在区间50,12单调递减B()f x在区间 11,12 12有两个极值点C直线76x 是曲线()yf x的对称轴D直线32yx是曲线()yf x的切线【答案】AD【解析】由题意得：24sin033f，所以43k，k Z，即4,3kk Z，又0，所以2k 时，23，故2()sin 23f xx对 A，当50,12x时，22 32
28、,332x，由正弦函数sinyu图象知()yf x在50,12上是单调递减；对 B，当 11,12 12x 时，2 52,322x，由正弦函数sinyu图象知()yf x只有 1 个极值点，由23232x，解得512x，即512x 为函数的唯一极值点；对 C，当76x 时，2233x，7()06f，直线76x 不是对称轴；对 D，由22cos 213yx 得：21cos 232x，解得2222 33xk或2422,33xkkZ,从而得：xk或,3xkkZ,所以函数()yf x在点30,2处的切线斜率为022cos13xky，切线方程为：3(0)2yx 即32yx故选：AD11（2022 新课标
29、全国卷）已知 O 为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上，过点(0,1)B的直线交 C 于 P，Q 两点，则（）AC 的准线为1y B直线 AB 与 C 相切C2|OPOQOAD2|BPBQBA【答案】BCD【解析】将点A的代入抛物线方程得12p，所以抛物线方程为2xy，故准线方程为14y ，A 错误；1(1)21 0ABk，所以直线AB的方程为21yx，联立221yxxy，可得2210 xx，解得1x，故 B 正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为1ykx，1122(,),(,)P x yQ xy
30、，联立21ykxxy，得210 xkx，所以21212401kxxkx x，所以2k 或2k ，21212()1y yx x，又2221111|OPxyyy，2222222|OQxyyy，所以2121212|(1)(1)|2|OPOQy yyykxkxkOA，故 C 正确；因为21|1|BPkx，22|1|BQkx，所以2212|(1)|15BPBQkx xk，而2|5BA，故 D 正确.故选：BCD第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12.（2023乙卷（理）已知na为等比数列，24536
31、a a aa a，9108a a，则7a【答案】2【解析】等比数列na，24523636a a aa a aa a，解得21a，而782159 10222()8a aa q a qaq，可得155 3()8qq，即52q ，5721(2)2aaq 13.（2023 新高考天津卷）在6312xx的展开式中，2x项的系数为_【答案】60【详解】展开式的通项公式63618 41661C212CkkkkkkkkTxxx，令1842k可得，4k，则2x项的系数为46 44612C4 1560.14.（2021新高考）已知函数()|1|xf xe，10 x，20 x，函数()f x的图象在点1(A x，1
32、()f x和点2(B x，2()f x的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AMBN的取值范围是【答案】(0,1)【解析】当0 x 时，()1xf xe，导数为()xfxe，可得在点1(A x，_11)xe处的斜率为_11xke，切线AM的方程为_1_11(1)()xxyeexx，令0 x，可得_1_111xxyexe，即_1_11(0,1)xxMex e，当0 x 时，()1xf xe，导数为()xfxe，可得在点2(B x，_21)xe处的斜率为_22xke，令0 x，可得_2_221xxyex e，即_2_22(0,1)xxNex e，由()f x的图象在A，B处的切线相互垂
33、直，可得_1_21 21xxk kee ，即为120 xx，10 x，20 x，所以122222212221()|11(0,1)|11xxxxxexAMeBNeexe四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15（本小题满分 13 分）（2023新高考）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等
34、于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率（1）当漏诊率p（c）0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）p（c）q（c）当95c，105，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间95，105的最小值【解析】（1）当漏诊率p（c）0.5%时，则(95)0.0020.5%c，解得97.5c；q（c）0.01 2.550.0020.0353.5%；（2）当95c，100时，f（c）p（c）q（c）(95)0.002(100)0.0150
35、.0020.0080.82 0.02ccc ，当(100c，105时，f（c）p（c）q（c）50.002(100)0.012(105)0.0020.010.980.02ccc，故f（c）0.0080.82,951000.010.98,100105cccc，所以f（c）的最小值为 0.0216.（本小题满分 15 分）（新题型）已知椭圆C的中心为坐标原点，记C的左、右焦点分别为1F，2F，上下顶点为1B，2B，且112FB B是边长为 2 的等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点0,2Q的直线与椭圆C交于M，N两点，且0OM ON ，求直线MN斜率范围.【解】（1）由题意知12|2
36、B B，则1b；由12|2FB，则2a，故椭圆C的标准方程为2214xy；（2）由题意知，直线MN的斜率存在且不为 0，设其方程为2ykx，联立22214ykxxy，得221416120kxkx，由2221641 41216 430kkk，得234k，设11,M x y，22,N xy，则1221614kxxk，1221214x xk，则2212121212244222414ky ykxkxk x xk xxk，因为0OM ON ，所以2212122224 412440141414kkx xy ykkk，即24k，2344k，则322k 或322k，综上，斜率范围为332,222.17（本小题
37、满分 15 分）（2022新高考）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为 4，1ABC的面积为2 2（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC的正弦值【解析】（1）由直三棱柱111ABCABC的体积为 4，可得11 111433AABCA B CABCVV，设A到平面1ABC的距离为d，由11AABCA A BCVV，11433A BCSd，142 233d，解得2d（2）连接1AB交1AB于点E，1AAAB，四边形11ABB A为正方形，11ABAB，又平面1ABC 平面11ABB A，平面1ABC平面111AB
38、B AAB，1AB平面1ABC，1ABBC，由直三棱柱111ABCABC知1BB 平面ABC，1BBBC，又111ABBBB，BC平面11ABB A，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，1AAAB，122 22BCAB，又1142ABBCAA，解得12ABBCAA，则(0B，0，0)，(0A，2，0)，(2C，0，0)，1(0A，2，2)，(1D，1，1)，则(0BA，2，0)，(1BD ，1，1)，(2BC ，0，0)，设平面ABD的一个法向量为(nx，y，)z，则200n BAyn BDxyz ，令1x，则0y，1z ，平面ABD的一个
39、法向量为(1n，0，1)，设平面BCD的一个法向量为(ma，b，)c，200m BCam BDabc ，令1b，则0a，1c ，平面BCD的一个法向量为(0m，1，1)，cosn，11222m，二面角ABDC的正弦值为2131()2218.（本小题满分 17 分）（2023新高考）（1）证明：当01x时，2sinxxxx；参考答案（2）已知函数2()cos(1)f xaxlnx，若0 x 为()f x的极大值点，求a的取值范围【解析】（1）证明：设2()sing xxxx，(0,1)x，则()12cosg xxx，()2sin0gxx ，()g x 在(0,1)上单调递减，()(0)0g xg
40、，()g x在(0,1)上单调递减，()(0)0g xg，即2sin0 xxx，(0,1)x，2sinxxx，(0,1)x，设()sinh xxx，(0,1)x，则()1cos0h xx，()h x在(0,1)上单调递增，()(0)0h xh，(0,1)x，即sin0 xx，(0,1)x，sin xx，(0,1)x，综合可得：当01x时，2sinxxxx；（2）22()sin1xfxaaxx，222222()cos(1)xfxaaxx ，且(0)0f，2(0)2fa，若2()20fxa，即22a时，易知存在10t，使得1(0,)xt时，()0fx，()fx 在1(0,)t上单调递增，()(0)
41、0fxf，()f x在1(0,)t上单调递增，这显然与0 x 为函数的极大值点相矛盾，故舍去；若2()20fxa，即2a 或2a 时，存在20t，使得2(xt，2)t时，()0fx，()fx 在2(t，2)t上单调递减，又(0)0f，当20tx时，()0fx，()f x单调递增；当20 xt时，()0fx，()f x单调递减，满足0 x 为()f x的极大值点，符合题意；若2()20fxa，即2a 时，()f x为偶函数，只考虑2a 的情况，此时22()2sin(2)1xfxxx，(0,1)x时，2221()22(1)011xfxxxxx，()f x在(0,1)上单调递增，与显然与0 x 为函
42、数的极大值点相矛盾，故舍去综合可得：a的取值范围为(，2)(2，)19.（本小题满分 17 分）（新题型）已知定义域为R的函数 h x满足：对于任意的xR，都有 22h xh xh，则称函数 h x具有性质P.(1)判断函数 2,cosf xx g xx是否具有性质P；（直接写出结论）(2)已知函数 35sin,222f xx，判断是否存在,，使函数 f x具有性质P？若存在，求出,的值；若不存在，说明理由；(3)设函数 f x具有性质P，且在区间0,2上的值域为 0,2ff.函数 sing xfx，满足 2g xg x，且在区间0,2上有且只有一个零点.求证：22f.【解】（1）因为 2fx
43、x，则22(2)24f xxx，又24f，所以2()(2)f xf xf，故函数 2fxx具有性质P；因为 cosg xx，则2cos(2)cosg xxx，又2cos21g，()(2)cos1(2)g xgxg x，故 cosg xx不具有性质P.（2）若函数 f x具有性质P，则02(0)(2)fff，即(0)sin0f，因为2，所以0，所以 sin()f xx；若(2)0f，不妨设(2)0f，由2()(2)f xf xf，得2(0)(2)(2)(Z)fkfkfkfk（*），只要k充分大时，(2)kf将大于 1，而 f x的值域为 1,1，故等式（*）不可能成立，所以必有(2)0f成立，即
44、sin(2)0，因为3522，所以32 5，所以2 4，则2，此时 sin2fxx，则2sin2(2)sin2f xxx，而()(2)sin2sin4sin2f xfxx，即有2()(2)f xf xf成立，所以存在2，0使函数 f x具有性质P.（3）证明：由函数 f x具有性质P及（2）可知，(0)0f，由 2g xg x可知函数 g x是以2为周期的周期函数，则2(0)gg，即sin(2)sin(0)0ff，所以(2)fk，Zk；由(0)0f，(2)fk以及题设可知，函数 f x在0,2的值域为0,k，所以Zk且0k；当2k，f x 及 2f x 时，均有 sin0g xfx，这与 g x在区间0,2上有且只有一个零点矛盾，因此1k 或2k；当1k 时，(2)f，函数 f x在0,2的值域为0,，此时函数 g x的值域为0,1，而2()f xf x，于是函数 f x在2,4的值域为,2，此时函数 g x的值域为1,0，函数 sing xfx在当0,2x时和2,4x时的取值范围不同，与函数 g x是以2为周期的周期函数矛盾，故2k，即(2)2f，命题得证.