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1、第十讲 角综合【学霸预习】1角的定义：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边（如图1）（2）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形（如图2） 2角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线（如图3）类似地，还有角的三等分线等（如图4）3余角：（1）一般地，如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角（如图5）（2）同角（等角）的余角相等4补角：（1）一般地，如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角（如
2、图6）（2）同角（等角）的补角相等专题一 角度计算【例题1】如图，AOC与BOC互余，OD平分BOC，EOC4AOE（1）若AOD70，求AOE的度数；（2）若DOE63，求EOC的度数 答案：（1）10；（2）48解析：设AOEx，则EOC4x，AOCAOECOE5x，BOC905x，CODBOC45x，（1）若AOD70，则AODAOCCOD70，即5x45x70，解得x10，AOE20；（2）若DOE63，则DOEEOCCOD63，即4x45x63，解得x12，4x48，EOC48【练1.1】如图，已知AOB,COD都是直角，AOD135，OE是BOD靠近D的三等分线，则COE为（ ）A
3、15B30C45D75答案：D解析：AOD135，AOB90，BOD45，EODBOD15，COE75【练1.2】如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB与DOA的比是3:13，则BOC的补角为（ ）A100B115C117D120 答案：C解析：略【练1.3】如图，已知O为直线AB上一点，OC平分AOD，BOD4DOE，COE，则BOE的度数为（ ）A3604B1804CD2703 答案：D解析：略专题二 双角平分线问题【例题2】已知锐角AOB，射线OC不与OA,OB重合，OM,ON分别平分AOC,BOC （1）如图1，射线OC在AOB的内部 若BOC50，AOC20，求MON的度数；
4、 若AOB，则MON_；（用含的代数式表示） （2）若射线OC在AOB的外部 如图2，若BOC70，AOC20，则MON的度数为_； 在图2中，若AOB，则MON_；（用含的代数式表示） 当OC位于如图3所示位置时，若AOB，则MON_；（用含的代数式表示） 答案：（1）35，；（2）25，； 180解析：（1）BOC50，AOC20，OM，ON分别平分AOC，BOCMOCAOC10，NOCBOC25MONMOCNOC102535MONMOCNOC（AOCBOC）AOB；（2）MOCAOC，NOCBOCMONNOCMOCBOCAOC351025；MONNOCMOCBOCAOC（BOCAOC）A
5、OB；MONNOCMOCBOCAOC（BOCAOC）（360AOB）180【练2.1】如图，OB是AOC内部的一条射线，把三角尺的60角的顶点放在点O处转动，当三角尺的边OD平分AOB时，它的另一边OE也正好平分BOC，则AOC的度数为（ ）A100B110C120D130答案：C解析：由角平分线的定义，得BODAOB，BOEBOC，则EODAOBBOCAOC，AOC2EOD120【练2.2】如图，ON平分AOC，OM平分BOC，AOB是直角，则MON的度数为（ ） A40B45C50D60答案：B解析：由角平分线的定义，得MOCBOC，NOCAOC，MONMOCNOC（BOCAOC），（BO
6、AAOCAOC），BOA，45【练2.3】己知AOB100，作射线OC，若BOCAOB，射线OM,ON分别平分AOB,BOC，则MON的度数为_答案：20或80解析：由题意得，BOC60，如图，有两种情况：AOC40或160，由角平分线的定义，得MOCAOB，NOCBOC，如图1，AOC40，MONMOBNOC（AOBBOC）AOC20；如图2，AOC160，MONMOBNOB（AOBBOC）AOC80【课后练习】1如图，已知OB是AOC的平分线，OD是COE的平分线，AOE140，BOC比COD大10，那么AOB的度数是（ ）A30B40C50D60 答案：B解析：设COD的度数为x，OD是
7、COE的平分线，EOC2COD2x，BOC比COD多10，BOCx10，OB是AOC的平分线，AOBBOC，AOC2BOC4x20，AOE140，xx1070，解得x30，BOCx1040AOB的度数是402如图，已知OM平分AOC，ON平分BOC，若MON36，则AOB的余角度数是（ ） A10B15C18D22答案：C解析：略3如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使BOC120，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，ON在AOC的内部若AOM，则NOC的度数是（ ）A30B30C60D1202答案：A解析：略 第1题图 第2题图 第3题图4两个形状、大小完全相同的含有30、60的三
8、角板如图放置，PB与直线MN重合，PE平分CPD，PF平分APD，求EPF答案：30解析：设CPEDPEx，CPFy，则APFDPF2xy，CPA60，y2xy60，xy30EPFxy30【学霸自修】1已知钝角AOB，COD（）（1）若OM平分AOD，ON平分BOC 如图1，当COD在AOB的内部时，求MON；（用含,的代数式表示）如图2，当COD在AOB的外部时，MON_；（用含,的代数式表示）（2）若OM平分AOC，ON平分BOD如图3，当COD在AOB的内部时，求MON；（用含,的代数式表示）如图4，当COD在AOB的外部时，MON_；（用含,的代数式表示）答案：（1）（）；（）；（2）
9、（）；（）解析：（1）如图1，OM平分AOD，ON平分BOC，AOMAOD，BONBOC，AOMBON（AODBOC），MONAOB（AOMBON）AOB（AODBOC）AOB（AOBCOD）（AOBCOD）（）；AOMCON（AODBOC）（AOBCOD2BOD），MONAOC（AOMCON）AOC（AOBCOD2BOD）AOCBOD（AOBCOD）AOBCOD（AOBCOD）（AOBCOD）（）；（2）如图3，OM平分AOC，ON平分BOD，AOMAOC，BONBOD，AOMBON（AOCBOD）（AOBCOD），MONAOB（AOMBON）AOB（AOBCOD）（AOBCOD）（）；如图2，OM平分AOC，ON平分BOD，AOMAOC，BONBOD，AOMBON（AOCBOD），MONAOB（AOMBON）AOB（AODBOC）AOB（AOBCOD）（AOBCOD）（）AOMCON（AOCBOD2COD）（AOB3COD2BOD），MONAOC（AOMCON）AOC（AOB3COD2BOD）AOCBOD（AOB3COD）AOBCOD（AOB3COD）（AOBCOD）（）