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1、第五讲 整式的应用专题一 几何应用【例题1】1936年，英国剑桥大学的4名学生得到了如图所示的完美长方形，它是由9个大小各不相同的正方形组成设最小的正方形的边长为z，其中编号为和的正方形的边长分别x,y （1）编号为的正方形的边长为_；编号为的正方形的边长为_；编号为的正方形的边长为_；（用含y,z的式子表示） （2）当y10，z1时，编号为9的正方形的面积为_，求这个完美长方形的周长 答案：（1）y3z；yz；2y5z；（2）324；130解析：（1）第个正方形的边长是：yzx，则第个正方形的边长是：y2z或y2zx；第个正方形的边长是：yz；第个正方形的边长是：xy；第个正方形的边长是：2
2、xy；则第个正方形的边长是：（yzx）（y2z）2yzx；y2zy2zx，即x4z；第个正方形的边长是：y3z，编号为的正方形的边长为2y5z；（2）则x4，2xy18；第个正方形的面积是：（18）2324 这个完美长方形的宽：3x2y32，长：2xy2y5z33故这个完美长方形的周长为130【练1.1】依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形，图形中正方形的面积为1，正方形的面积为a2 （1）用含a的式子直接写出正方形的面积为（ ）； Aa22 Ba23 C(a2)2 D(a3)2 （2）若正方形与正方形的面积相等，则正方形与正方形的面积比为（ ） A B C D 答案：（1）D；（2）C解析
3、：（1）由题意正方形的边长是a，则正方形的边长是a1，正方形的边长是a11，正方形的边长是a111a3，正方形的面积为（a3）2（2）由题意正方形的边长是a，由图形得：a111a1a1，解得：a3，正方形的边长是：31116，其面积是：6636，正方形的边长为3115，面积为25，正方形和正方形的面积比25：36【例题2】如图，将6张相同的小长方形纸片不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S1和S2已知小长方形纸片的长为a，宽为b（ab）（1）设EFx，则可以表示出S1_，S2_；（2）当AB长度不变而BC变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的
4、长方形ABCD内，S1与S2的差总保持不变，求a,b满足的关系式 答案：（1）S14b（x2b），S2a（xa）；（2）a4b解析：（1）S1a（xa），S24b（x2b），故答案为：a（xa），4b（x2b），（2）由（1）知：S1a（xa），S24b（x2b），S1S2a（xa）4b（x2b）axa24bx8b2（a4b）xa28b2，S1与S2的差总保持不变，a4b0a4b【练2.1】将7张相同的小长方形纸片（如图1）按如图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2已知小长方形纸片的长为m，宽为n，且mn（1）当AD30时，请用含
5、m,n的式子表示S1S2的值；（ ）A30m3mnB120n4mnC30m120nmnD120n30mmn（2）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而S1S2的值总保持不变，则m,n满足的关系是（ ）Am4nBm3nCm2nDmn答案：（1）C；（2）A解析：（1）S1S2m（303n）4n（30m）30m3mn120n4mn30m120nmn；（2）S1S2m（AD3n）4n（ADm）整理，得：S1S2（4nm）ADmn，若AB长度不变，AD变长，而S1S2的值总保持不变，4nm0，解得：m4n即m,n满足的关系是m4n专题二 实际应用【例
6、题3】某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）户月用水量单价不超过12立方米的部分2元/立方米超过12立方米但不超过20立方米的部分3元/立方米超过20立方米的部分4元/立方米（1）大饼家一个月用了14立方米水，则大饼家这个月应缴纳的水费为_元；（2）小乐家某月用水量为n立方米（12n20），该月缴纳的水费是39元，求n的值；（3）甲、乙两用户一个月共用水40立方米，设甲用户用水量为x（12x28）立方米当12x20时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为_元；（用含x的式子表示）当20x28时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为_元（用含x的式子表示）答案：（1）30；（2）17；（3）（
7、116x）元；（x76）元解析：（1）由题意可得：2123（1412）30元，答：该用户这个月应缴纳30元水费（2）由题意可得，2123（n12）39，解得n17；（3）12x20，乙用户用水量2040x28，1223（x12）122384（40x20）（116x）元；20x28，乙用户用水量1240x20，122384（x20）1223（40x12）（x76）元【练3.1】某市现在实行自来水梯价收费，收费标准如下表所示：月用水量不超过18吨的部分超过18吨不超过29吨的部分超过29吨的部分收费标准（元/吨）236备注：1每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分； 2以上表中的价格
8、均不包括0.9元/吨的污水处理费（1）某用户12月份用水量为20吨，则该用户12月份应缴水费为_元；（2）若某用户的1月用水量为m吨，请用含m的式子表示该用户1月所缴水费答案：（1）60；（2）详见解析解析：（1）该用户12月份应缴水费是182230.92060（元）（2）0m18吨时，所缴水费为2.9m元，18m29吨时，所缴水费为218（m18）30.9m（3.9m18）元，m29吨时，所缴水费为2183116（m29）（6.9m105）元【练3.2】贤贤水果批发市场苹果的价格如下表：购买苹果（千克）每千克的价格不超过20千克的部分6元超过20千克但不超出40千克的部分5元超出40千克的部
9、分4元（1）大饼第一次购买苹果10千克，需要付费_元；大饼第二次购买苹果x千克（x超过20千克但不超过40千克），需要付费多少元_（用含x的式子表示）；（2）浪浪分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且第一次购买的数量为a千克，请问浪浪两次购买苹果共需付费多少元？（用含a的式子表示）答案：（1）60元，（5x20）元；（2）详见解析解析：（1）10660元；2065（x20）（5x20）元（2）再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量a50当a20时，需要付费6a2062054（100a40）2a460（元）当20a40时，需要付费6a5（a20）20
10、62054（100a40）a480（元）当40a50时，需要付费6a5(a20)4(a40)2062054(100a40)520（元）【课后练习】1如图，边长为x米的正方形花坛，中间有横、竖两条长方形小路（图中阴影部分），宽度分别为2米和3米，则图中空白部分的面积为（ ）A5x6 B5x6 Cx25x6 Dx26答案：C解析：略2某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用如下的方法收取电费：居民每月用电不超过100度时，按每度0.5元收费，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.6元收费若12月份大饼老师家用电量为a度（a100），则该月大饼老师家应缴纳电费（）元
11、A0.6a B0.55a C0.5a10 D0.6a10答案：D解析：略3小饼房间窗户的装饰物如图所示，它们由两个四分之一圆组成（半径相同）（1）请用代数式表示装饰物的面积（结果保留）；（2）请用代数式表示窗户能射进阳光部分的面积（结果保留）；（3）若a1，b，请求出窗户能射进阳光的面积（取3）答案：（1）b2；（2）abb2；（3）解析：（1）装饰物的面积（b）2b2；（2）窗户能射进阳光部分面积abb2；a1，b，abb213（）2所以窗户能射进阳光的面积为4快乐超市在“国庆”期间对顾客实行优惠购物的条款如下表：一次性购物优惠办法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元九折优惠50
12、0元或超过500元其中500元部分给予九折优惠；超过500元部分给予八折优惠（1）甲顾客一次性购物800元，他实际付款_元；（2）乙顾客在该超市一次性购物x元（x500），他实际付款_元；（用含x的式子表示）（3）丙顾客两次购物货款合计为820元，第一次购物的货款为a元（200a300），试用a的代数式表示丙顾客两次购物实际付款合计多少元？答案：（1）690；（2）0.8x50；（3）（0.1a726）元解析：（1）由题意可得，5000.9（800500）0.8690（元）；（2）由题意可得，当x500时，他实际付款：5000.9（x500）0.80.8x50；（3）由题意可分析，得第二次购物
13、的货款为超过500元的，所以丙顾客两次购物实际付款合计：0.9a（820a）0.850（0.1a706）（元），即丙顾客两次购物实际付款合计（0.1a706）元【学霸自修】1把正奇数1，3，5，2021排成如图所示的7列，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、，从左到右依次为第1至7列（1）图表中共有_个数，数2021在第_行，第_列；图表中第n行第7列的数可用n表示为_；（2）按如图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中，最小的一个数为x，是否存在这样的x使得被框的三个数的和等于321？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）若在（2）中“L”形框框住的三个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差为_答案：（1）1011，145，3；14n1；（2）不存在；（3）6012解析：（1）2101112021数阵中共有1011个数101171443，数2021在第144行第3列；（2）不存在这样的x使得被框的三个数的和等于321，理由如下：设被框的三个数中最小的一个数为x，则另外两个数分别为（x14）、（x15）被框的三个数的和为：x（x14）（x15）3x29，若3x29321，则x，不存在这样的x使得被框的三个数的和等于321；（3）Smax2021201920056045，Smin1151733，S的最大值与最小值的差为6012