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1、2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2分）一元二次方程2x214x化成一般形式后，常数项是1，一次项系数是（）A2B2C4D42（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（APPB），若AB10，则AP的长约为（）A0.382B0.618C3.82D6.183（2分）在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（）A23B15C25D354（2分
2、）将二次函数yx2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）Ayx21Byx2+1Cy（x1）2Dy（x+1）25（2分）如图，若O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）Al1Bl2Cl3Dl46（2分）如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子继续向前走8m到达点N，影子为FN若测得EF10m，则路灯AH的高度为（）A6mB7mC8mD9m二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置）7（2分）若xy=23，则x+yy= 8（2分）一组数据7，2，1，6的极差为 9（2分）若、是方程x2+2
3、022x+20210的两个实数根，则+的值为 10（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 11（2分）若方程x240844410的两根为2021，则方程x22x40844400的两根为 12（2分）如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 13（2分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，若A25，则B 14（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 15（2分）如图，在O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为AC上的点，
4、且MNCD若CD5，MN4，则O的半径为 16（2分）如图，在RtABC中，P是斜边AB边上一点，且BP2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP4，则l1与l2之间的最大距离为 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）解方程：（1）x24x10；（2）100（x1）212118（7分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表：平均数众数中位数方差甲8 80.4乙 9 3.2（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）
5、如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 （填“变大”、“变小”或“不变”）19（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率20（6分）如图，已知A是直线l外一点用两种不同的方法作O，使O过A点，且与直线l相切要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明21（9分）阅读下面的短文，并解答下列问
6、题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则S甲S乙=6a26b2=（ab）2又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则V甲V乙=a3b3=（ab）3（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）A两个球体B两个锥体C两个圆柱体D两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ；相似体表面积的比等于 ；相似体体积比等于 （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一
7、人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）22（7分）如图，以AB为直径的O经过点C，CP为O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AFAE求证：AB是C的切线23（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EFAE，交BC于点F，连接AF（1）求证：ABEECF；（2）求AF长度的最小值24（9分）如图，已知二次函数yax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（2，3）（1）求该二次函数的表达式；（2）用无刻度直尺画出
8、抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（3）结合图象，直接写出当y3时，x的取值范围是 25（9分）已知二次函数yx22mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）求证：抛物线顶点在函数yx2+x+2的图象上；（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且ab，则m的取值范围是 26（9分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据x4070
9、90y1809030W360045002100（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数表达式是 （不要求写出自变量的取值范围）；（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值27（8分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q则DP DQ（填“”“”或“”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD2，CD4，其他条件不变如图2，若PQ5，求AP长如图3，若BD平分PDQ，则DP的长为 20
10、21-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷（参考答案与解析）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2分）一元二次方程2x214x化成一般形式后，常数项是1，一次项系数是（）A2B2C4D4【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可【解答】解：2x214x，移项得：2x24x10，即一次项系数是4，故选：D2（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（APPB），若AB10，则AP的长约为（）A0.382B0.618C3.82D6.18【分析】根据黄
11、金分割的定义进行计算即可解答【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点（APPB），PAAB0.618，AB10，AP0.618AB6.18，故选：D3（2分）在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（）A23B15C25D35【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目，全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小【解答】解：不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个白球，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是25，故选：C4（2分）将二次函数yx2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数
12、的解析式为（）Ayx21Byx2+1Cy（x1）2Dy（x+1）2【分析】直接利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案【解答】解：将二次函数yx2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为：yx21故选：A5（2分）如图，若O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）Al1Bl2Cl3Dl4【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论【解答】解：O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，63，直线l与O相交故选：B6（2分）如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子继续向前走8m到达点N，影子为FN若测得EF10m，则路灯AH的高度为
13、（）A6mB7mC8mD9m【分析】设DExm，DHym，则FN（10x8）m，HN（8y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论【解答】解：CDEF，AHEF，MNEF，CDAHMN，CDEAHE，MNFAHF，CDAH=DEEH，MNAH=FNFH，设DExm，DHym，则FN（10x8）m，HN（8y）m，1.2AH=xx+y，1.2AH=10-8-x10-(x+y)，y4x，DEEH=15，1.2AH=15，AH6，故路灯AH的高度为6m，故选：A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置）7（2分）若xy=23，则x+yy=53【分析】由xy
14、=23，可以假设x2k，y3k，（k0）代入计算即可解决问题【解答】解：xy=23，可以假设x2k，y3k，（k0）x+yy=2k+3k3k=5k3k=53故答案为538（2分）一组数据7，2，1，6的极差为9【分析】用最大值减去最小值即可【解答】解：数据7，2，1，6的极差为7（2）9，故答案为：99（2分）若、是方程x2+2022x+20210的两个实数根，则+的值为 2022【分析】根据根与系数的关系可得出+=-ba=-2022，此题得解【解答】解：，是方程x2+2022x+20210的两个实数根，+=-ba=-2022，故答案为：202210（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6
15、，则该圆锥侧面展开图的圆心角是120【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：224（cm），设圆心角的度数是n度则n6180=4，解得：n120故答案为12011（2分）若方程x240844410的两根为2021，则方程x22x40844400的两根为 x12022，x22020【分析】利用配方法求解即可【解答】解：x22x40844400，x22x4084440，x22x+14084441，即（x1）23084441，方程x240844410的两根为2021，x12021，x12022，x2202
16、0故答案为：x12022，x2202012（2分）如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 14【分析】用小正方形的面积除以大正方形的面积得到这只青蛙跳入阴影部分的概率【解答】解：这只青蛙跳入阴影部分的概率=1222=14故答案为：1413（2分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，若A25，则B65【分析】由AB是O的直径，可得：C90，然后由A25，根据三角形内角和定理即可求B的度数【解答】解：AB是O的直径，C90，A+B+C180，A25，B65，故答案为：6514（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D
17、为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 625【分析】根据题意可得AB32，ACBD，所以AECBED，进而可以解决问题【解答】解：根据题意可知：AB32，ACBD，AC2，BD3，AECBED，AEBE=ACBD，AE32-AE=23，解得AE=625故答案为：62515（2分）如图，在O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为AC上的点，且MNCD若CD5，MN4，则O的半径为 212【分析】连接AO，ON，延长NM交O于F，过O作OENF于E，如图，设O的半径为r，ADt，先证明四边形MEOD是矩形得到OEDM=12t，ODMEr5，再利用勾股定理得（r5）2+t2r
18、2，（r5+4）2+（12t）2r2，然后解方程组即可【解答】解：连接AO，ON，延长NM交O于F，过O作OENF于E，如图，设O的半径为r，ADt，CDAB，MNCD，ODMDMEMEO90，四边形MEOD是矩形，OEDM=12t，ODMEr5，在RtAOD中，（r5）2+t2r2，在RtNOE中，（r5+4）2+（12t）2r2，4得2r210，解得r=212，即O的半径为212故答案为：21216（2分）如图，在RtABC中，P是斜边AB边上一点，且BP2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP4，则l1与l2之间的最大距离为 62【分析】过点A作AGl2于点G，延长CP交AG
19、于点F，证明APFABG，可得APAB=PFBG=AFAG，由BP2AP，设BP2x，APx，PFa，（a0），可得BG3a，AG3AF，过点C作CDl1于点D，证明CADECB，可得CDBE=ADCE，由ADEG4+a，CE2x2-a2，BE42a，CDAF=x2-a2，整理得AF2a22a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴a1时，AF取最大值，因为a0，所以a1时不符合题意舍去，所以a0时，AF2取得最大值为8，所以AF22，进而可以解决问题【解答】解：如图，过点A作AGl2于点G，延长CP交AG于点F，PFBG，APFABG，APAB=PFBG=AFAG，BP2AP，设BP2x，APx
20、，PFa，（a0），BG3a，AG3AF，过点C作CDl1于点D，l1l2，CEl2，得矩形CEGF，EGCFCP+PF4+a，BEEGBG4+a3a42a，在RtAPF中，根据勾股定理，得AF=AP2-PF2=x2-a2，FG2AF2x2-a2，CEFG2x2-a2，ADCCEB90，ACD+CAD90，ACB90，ACD+CCB90，CADECB，CADECB，CDBE=ADCE，ADEG4+a，CE2x2-a2，BE42a，CDAF=x2-a2，x2-a24-2a=4+a2x2-a2，（x2-a2）2（2a）（4+a）a22a+8，AF2a22a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴a1时
21、，AF取最大值，a0，a1时不符合题意舍去，a0时，AF2取得最大值为8，AF22，AG3AF62，l1与l2之间的最大距离为62故答案为：62三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）解方程：（1）x24x10；（2）100（x1）2121【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先求出（x1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可【解答】解：（1）x24x10，x24x1，x24x+41+4，即（x2）25，x2=5或x2=-5，x12+5，x22-5；（2）（x1）21.21，开平方得，x11.1，x11.1或x1
22、1.1，x12.1，x20.118（7分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表：平均数众数中位数方差甲8880.4乙8993.2（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小（填“变大”、“变小”或“不变”）【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定（3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8
23、环，那么乙的射击成绩的方差变小【解答】解：（1）8出现了3次，出现的次数最多，甲的众数为8，乙的平均数=15（5+9+7+10+9）8，把这些数从小到大排列，则乙的中位数为9故填表如下：平均数众数中位数方差甲8880.4乙8993.2故答案为：8，8，9；（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小；故答案为：变小19（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废
24、纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案【解答】解：（1）垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：14；（2）如图所示：由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为416=1420（6分）如图，已知A是直线l外一点
25、用两种不同的方法作O，使O过A点，且与直线l相切要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明【分析】利用两种方法作图即可【解答】解：方法一：过点A作l的垂线，垂足为P，作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O，以O为圆心，OA（或OP）为半径，作O；方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线，过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O，以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作O21（9分）阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的
26、一切对应线段之比都等于相似比（a：b）设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则S甲S乙=6a26b2=（ab）2又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则V甲V乙=a3b3=（ab）3（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）A两个球体B两个锥体C两个圆柱体D两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 相似比；相似体表面积的比等于 相似比的平方；相似体体积比等于 相似比的立方（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考
27、虑不同时期人体平均密度的变化）【分析】根据阅读材料可以知道相似体就是形状完全相同的物体，根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论【解答】解：（1）A；（2分）（2）相似比相似比的平方相似比的立方；（每空（2分），共6分）（3）由题意知他的体积比为(1.11.65)3；又因为体重之比等于体积比，若设初三时的体重为xkg，则有(1.11.65)3=18x解得x=2434=60.75答：初三时的体重为60.75kg（2分）22（7分）如图，以AB为直径的O经过点C，CP为O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AFAE求证：AB是C的切线【分析】连结AC、OC
28、根据全等三角形的性质得到CAFCAE，AFCAEC，求得OCAF，根据平行线的性质得到AFC90，根据切线的判定定理即可得到结论【解答】证明：连结AC、OCAEAF，CECF，ACAC，ACEACF（SSS）CAFCAE，AFCAEC，OAOC，OACOCA又CAFCAE，CAFOCA，OCAF，CP为O的切线，OCBF，即OCF90，AFC90，AECAFC90，即CEAB，点E在C上，AB是C的切线23（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EFAE，交BC于点F，连接AF（1）求证：ABEECF；（2）求AF长度的最小值【分析】（1）先利用等角的余角相等得到BA
29、ECEF，加上BC90，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）设BEx，则CE4x，由于ABEECF，则利用相似比可表示出CF=x(4-x)4，根据二次函数的性质可判断当x2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，接着利用勾股定理得到AF=DF2+42，从而可确定AF长度的最小值【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BC90，BAE+BEA90，EFAE，AEF90，BEA+CEF90，BAECEF，又BC90，ABEECF；（2）解：设BEx，则CE4x，ABEECF，BECF=ABCE，即xCF=44-x，CF=x(4-x)4=-14（x2）2+1，当x2时，CF取最大值1，此
30、时DF有最小值3，在RtADF中，AF=DF2+AD2=DF2+42，当DF3时，AF取最小值，AF的最小值为32+42=5，AF长度的最小值为524（9分）如图，已知二次函数yax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（2，3）（1）求该二次函数的表达式；（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（3）结合图象，直接写出当y3时，x的取值范围是 2x0【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据二次函数图象的对称性即可画出抛物线的对称轴l；（3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论【解答】解：（1）将A（1，0），B（2，3）代入二次函数yax2+
31、bx+3，得0=a+b+3，3=4a-2b+3.解得a=-1，b=-2.该二次函数的表达式为yx22x+3；（2）如图，直线l为所求对称轴；由（1）得二次函数的解析式为yx22x+3，变换形式得y（x+1）2+4，所以可以得出顶点D的坐标为（1，4），对称轴为x1（3）令y0，则yx22x+30，解得：x0或2，结合图形得2x0时，y3故答案为：2x025（9分）已知二次函数yx22mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）求证：抛物线顶点在函数yx2+x+2的图象上；（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且ab，则m的取值范围是 m7
32、2【分析】（1）由抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系求解（2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解（3）由抛物线开口方向向上可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，进而求解【解答】解：（1）a1，b2m，cm+2，b24ac（2m）241（m+2）4（m2m2）抛物线与x轴只有一个公共点，b24ac4（m2m2）0，解得m12，m21（2）yx22mx+m+2（xm）2m2+m+2，顶点坐标为（m，m2+m+2），令xm时，函数yx2+x+2m2+m+2，抛物线顶点在函数yx2+x+2的图象上（3）抛物线开口向上，对称轴为直线xm，当ab时，|2m|5m|，当2m0时，2
33、m5m，不符合题意，当2m0，5m0时可得m25m，解得m72故答案为：m7226（9分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据x407090y1809030W360045002100（1）该商品进价 20（元/件），y关于x的函数表达式是 y3x+300（不要求写出自变量的取值范围）；（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利
34、润最大，求m值【分析】（1）由x40，y180，w3600可得商品进价为20元，设ykx+b，用待定系数法即得解析式；（2）根据利润（售价进价）数量，得W（3x+300）（x20m），根据对称轴为直线x60+m2以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+m2=63，即可求得m的值【解答】解：（1）由x40，y180，w3600可得商品进价为40360018020（元），设ykx+b，由题意有：40k+b=18070k+b=90，解得k=-3b=300，y关于x的函数解析式为y3x+300；故答案为：20，y3x+300；（2）由题意W（3x+300）（x20m）3x2+（360+3m
35、）x6000300m，对称轴x60+m2，当售价为63元/件时，周销售利润最大，60+m2=63，解得：m6m的值为627（8分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q则DPDQ（填“”“”或“”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD2，CD4，其他条件不变如图2，若PQ5，求AP长如图3，若BD平分PDQ，则DP的长为 2310【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知DADC，DAPDCQADC90，结合PDQ90得ADPCDQ，证ADPCDQ可得答案；（2）证ADPCDQ
36、得APCQ=ADCD=12，设APx，则CQ2x，PB4x，BQ2+2x，在RtPBQ中，由勾股定理得到关于x的方程，解之即可；延长DP到M，使DMDQ，连接BM，设APa，则BP4a，由ADPCDQ得APCQ=ADCD=12，APDCQD，CQ2a，BQ2+2a，再证BDMBDQ得BQDBMD，BMBQ2+2a，结合BQDAPDBPM知BMDBPM，从而得BMBP，据此求出a的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，DADC，DAPDCQADC90，ADP+PDC90，PDQ90，PDC+CDQ90，ADPCDQ，在ADP和CDQ中，A=DCQDA=DC
37、ADP=CDQ，ADPCDQ（ASA），DPDQ，故答案为：；（2）四边形ABCD是矩形，AADCBCD90ADP+PDCCDQ+PDC90，ADPCDQ又ADCQ90ADPCDQ，APCQ=ADCD=24=12，设APx，则CQ2x，PB4x，BQ2+2x由勾股定理得，在RtPBQ中，PB2+BQ2PQ2，代入得（4x）2+（2+2x）252，解得x1，即AP1AP的长为1；如图所示，延长DP到M，使DMDQ，连接BM，设APa，则BP4a，ADPCDQ，APCQ=ADCD=12，APDCQD，CQ2a，则BQBC+CQ2+2a，BD平分PDQ，BDMBDQ，在BDM和BDQ中，BD=BDBDM=BDQDM=DQ，BDMBDQ（SAS），BQDBMD，BMBQ2+2a，又BQDAPDBPM，BMDBPM，BMBP，即2+2a4a，解得a=23，即AP=23，PD=AP2+AD2=(23)2+22=2103，故答案为：2310