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1、 学科网（北京）股份有限公司 雅礼中学雅礼中学 2024 届高三一模届高三一模 数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务将自己的姓名答卷前，考生务将自己的姓名准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上无效无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
2、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题选择题（本题共（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）合题目要求的）1.已知集合1,2,4,6,8U=，集合2320,4,Mx xxNx xa aM=+=，则()UMN=（）A.6 B.4,6,8 C.1,2,4,8 D.1,2,4,6,8 2.设复数z满足1i1zz+=，则z=（）A.i B.22 C.1 D.2 3.已知,m n表示两条不同直线，表示平面，则（）A.若m,n，则mn B.若,mn，则mn C.若,mmn，则n
3、 D.若m,mn，则n 4.已知向量()234log 3,sin,log 8,3abm=，若ab，则m=（）A.2 3 B.3 C.2 3 D.3 2 5.函数()f x的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-1 0 1 2 3 5()f x 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 学科网（北京）股份有限公司 A.()xf xkab=+B.()exf xkxb=+C.()f xk xb=+D.()2(1)f xk xb=+6.甲箱中有 2 个白球和 4 个黑球，乙箱中有 4 个白球和 2 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以12,A A分别表示由甲箱中取出的
4、是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.12,A A互斥 B.()157P B A=C.()217P A B=D.()1321P B=7.已知等差数列 na（公差不为 0）和等差数列 nb的前n项和分别为,nnS T，如果关于x的实系数方程21003100310030 xSxT+=有实数解，那么以下 1003 个方程()201,2,1003iixa xbi+=中，有实数解的方程至少有（）个 A.499 B.500 C.501 D.502 8.双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左右焦点分别是12,F F，离心率为62，点()11,
5、P x y是C的右支上异于顶点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是M，2MO=，若C上一点T满足125FT FT=，则T到C的两条渐近线距离之和为（）A.2 2 B.2 3 C.2 5 D.2 6 二二多选题多选题（本题共（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，部分选对的得部分分，有选错的得分分，有选错的得 0 分）分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉 12 和 45，则剩下
6、的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变 B.平均数不变 C.方差不变 D.第 40 百分位数不变 10.已知函数()sin3cos(0)f xxx=+满足：22,063ff=，则（）A.曲线()yf x=关于直线76x=对称 B.函数3yfx=是奇函数 学科网（北京）股份有限公司 C.函数()yf x=在 7,66单调递减 D.函数()yf x=的值域为2,2 11.如图所示，有一个棱长为 4 的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A.直线AE与PB所成的角为2 B.ABE的周长最小值为434+C.如果在这个容器中放入 1 个小球（全部
7、进入），则小球半径的最大值为63 D.如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为2 625 三三填空题填空题（本题共（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.在二项式()6112xxx+的展开式中，常数项为_.13.已知圆锥的母线长为 2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时_，圆锥的体积最大，最大值为_.14.对于任意两个正实数,a b，定义aabb=，其中常数2,12.若0uv，且uv与vu都是集合,2nx xn=Z的元素，则uv=_.四四解答题解答题（本题共（本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字
8、说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.）15.（13 分）已知函数()3f xxaxa=+.（1）若1x=是函数()f x的极值点，求()f x在()()1,1f处的切线方程.（2）若0a，求()f x在区间0,2上最大值.学科网（北京）股份有限公司 16.（15 分）如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，11,90ABADAADAB=，1121cos,cos,22AA ABAA AD=，点M为BD中点.（1）证明：1B M平面11AC D；（2）求二面角1BAAD的正弦值.17.（15 分）一个袋子中有 10 个大小相同的球，其中红球 7 个，黑球 3 个.每
9、次从袋中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回.（1）求第 2 次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P；第 1 次摸到红球的概率为2P；在第 1 次摸到红球的条件下，第 2次摸到红球的概率为3P；在第 1，2 次都摸到红球的条件下，第 3 次摸到红球的概率为4P.求1234,P P P P；（3）对于事件,A B C，当()0P AB 时，写出()()()(),P AP B AP C ABP ABC的等量关系式，并加以证明.18.（17 分）己知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，且点31,2在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若一条斜率不
10、为 0 的直线过点()1,0与椭圆交于,M N两点，椭圆C的左右顶点分别为,A B，直线BN的斜率为1k，直线AM的斜率为2k，求证：221212kkk k+为定值.学科网（北京）股份有限公司 19.（17 分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数()0m m 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为()12112,kkka aaaaaa.（1）当4k=时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；（2）当4k 时，若21321,kkaa aaaa构成等比数列，求正整数a；（3）记12231kkAa aa aaa=
11、+，求证：2Aa时，由函数()f x的数据可知，函数()f x增长越来越快，可排除 C.故选：A.6.C 【解析】因为每次只取一球，故12,A A是互斥的事件，故 A 正确；由题意得()113P A=，()()()()()211225152413,37373721P AP B AP BP ABP A B=+=+=，故 B，D 均正确；因为()22483721P A B=，故 C 错误.故选 C.7.D 【解析】由题意得：2100310034 10030ST，其中()110031003502100310032aaSa+=，()110031003502100310032bbTb+=，代入上式得：2
12、50250240ab，要方程()201,2,3,1003iixa xbi+=无实数解，则240iiab，显然第 502 个方程有解.设方程2110 xa xb+=与方程2100310030 xaxb+=的判别式分别为11003,，则()()()22221100311100310031100311003444ababaabb+=+=+()()()2211003502250250250250224 28240,22aaabbab+=等号成立的条件是11003aa=，所以110030,0至多一个成立，学科网（北京）股份有限公司 同理可证：210020,0至多一个成立，5015030,0，故22 23
13、uS=，即距离之和为2 2.故选A.9.AD 【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为 12，16，22，24，25，31，33，35，45，其 中位数为 25，平均数是()12 1622242531 333545927+=，方差是2222222221824(15)(11)(5)(3)(2)4681899+=，由40%93.6=，得原数据的第40 百分位数是第 4 个数 24.将原数据去掉 12 和 45，得 16,22,24,25,31,33,35，其中位数为 25，平均数是()1861622242531 333577+=，方差是22222221743218113145591916777777
14、7749+=，由40%72.8=，得新数据的第 40 百分位数是第 3 个数 24，故中位数和第 40 百分位数不变，平均数与方差改变，故,A D正确，,B C错误.故选：AD.10.ABD 【解析】()2sin3f xx=+，所以函数()yf x=的值域为2,2，故D正确；学科网（北京）股份有限公司 因为203f=，所以112,33kkZ+=，所以1131,2kkZ=，因为26f=，所以222,632kkZ+=+，所以22121,kkZ=+，所以12311212kk=+，即1281kk=+，所以1,13,25,37，因为()227732sin1212sin 1426632fkk=+=+=，所
15、以曲线()yf x=关于直线76x=对称，故 A 正确；因为()()()()()22222sin1212sin12142sin121333fxkxkxkkx=+=+=+即33fxfx=，所以函数3yfx=是奇函数，故 B 正确；取13=，则最小正周期2271366T=，故 C 错误.故选：ABD 11.ACD 【解析】A选项，连接AD，由于D为PB的中点，所以,PBCD PBAD，又,CDADD AD CD=平面ACD，所以直线PB 平面ACD，又AE 平面ACD，所以PBAE，故A正确；B选项，把ACD沿着CD展开与平面BDC在同一个平面内，连接AB交CD于点E，则AEBE+的最小值即为AB
16、的长，由于2 3,4ADCDAC=，222222(2 3)(2 3)41cos,232 2 32 3CDADACADCCD AD+=2 2coscossin,23ADBADCADC=+=所以222222 216 62cos2(2 3)2 2 2 31633ABBDADBD ADADB=+=+=+，故16 66164 1,33ABABE=+=+的周长最小值为644 1,3B+错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O，学科网（北京）股份有限公司 取AC的中点M，连接,BM PM，过点P作PF垂直于BM于点F，则F为ABC的中心，点O在PF上，过点O作ONP
17、M于点N，因为2,4AMAB=，所以 222 3BMABAM=，同理2 3PM=，则12 333MFBM=，故224 63PFPMMF=，设OFONR=，故4 63OPPFOFR=，因为PNOPFM，所以ONOPFMPM=，即4 632 32 33RR=，解得6,3RC=正确；D选项，4 个小球分两层（1 个，3 个）放进去，要使小球半径要最大，则 4 个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体QVKG，由C选项可知，其高为2 63r，由C选项可知，PF是正四面体PABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，则2 6,3QSr
18、SFr=，由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的14，如图正四面体PHIJ中，,3QZr QPr=，正四面体PABC高为2 663433rrr+=，解得2 62,D5r=正确.故选：ACD.12.-160 【解析】()6661111222xxxxxxxx+=+，因为612xx+的通项公式为()666 21661C(2)C 206,kkkkkkkTxxkkx+=N，所以在612xxx+中，当621k=时，不满足；在612xx+中，当620k=时，3k=，则常数项为3346C 2160T=，故答案为-160.学科网（北京）股份有限公司 13.63；16 327【解析】设圆锥的底面半径r，母线为l
19、，高为h，设母线与底面所成的角为02，则cos(0cos1)rl=，则2cosr=，则2222 1 coshlr=，则圆锥的体积为22246118 r(2cos)2 1 cos coscos333Vh=，令cos(01)xx=单调递增，当6,13x时，()()0,fxf x，所以01vu，由已知2,12，所以()210,12vnu=，则()20,2n，又2n Z，所以21n=，即12vu=，所以2,122uv=，所以()()222,2,2,4uuvv，则()212111,222uunvv=，即()12,4n，因为1n Z，所以13n=，则11322n=，即32uv=.四四解答题解答题（本题共（
20、本题共 6 小题，共小题，共 70 分）分）15.解：（1）()23fxxa=，又1x=是函数()f x的极值点，()130fa=，即3a=()()3233,33f xxxfxx=+()()15,10ff=()f x在()()1,1f处的切线方程为()501yx=+，即5y=，所以()f x在()()1,1f处的切线方程是5y=（2）()23fxxa=，令()0fx=，得3ax=，()f x在0,3a单调递减，在,3a+单调递增 学科网（北京）股份有限公司 而()()0,28fa fa=当8aa，即4a 时，max()f xa=当08aa，即04a时，max()8f xa=综上，当4a 时，m
21、ax()f xa=；当04a，得()()()()()(),P ABP ABCP B AP C ABP AP AB=，学科网（北京）股份有限公司 所以()()()()()()()()()P ABP ABCP A P B A P C ABP AP ABCP AP AB=.18.（1）解：由椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，且点31,2在椭圆上，可得12ca=，所以22222131124bcaa=，又点31,2在该椭圆上，所以221914ab+=，所以224,3ab=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）证明：设()()1122,M x yN xy，由于该直线斜率不
22、为 0，可设:1MNLxmy=，联立方程1xmy=和22143xy+=，得()2234690mymy+=，0恒成立，根据韦达定理可知，()1212121222693,34342myyyymyyyymm+=+，211221,22yykkxx=+，()()()()1212212111212122233,21yxymykmy yykxymyymy yy=+()()221212121211221122331023,.332yyykkkkkkkkkkyyy+=+=+19.解：（1）当4k=时正整数a的 4 个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8为 8 的所有正约数，即8a=.（2）由题意可知11223
23、1,kkkaaaaa aaaa=，因为4k，依题意可知3212112kkkkaaaaaaaa=，所以3222123aaaaaaaaaaa=，学科网（北京）股份有限公司 化简可得()()2232231aaaa=，所以232321aaaaa=，因为*3Na，所以*3221Naaaa，因此可知3a是完全平方数.由于2a是整数a的最小非 1 因子，3a是a的因子，且32aa，所以232aa=，所以21321,kkaa aaaa为212222221,kkaaaaa，所以()12,4kaak=.（3）证明：由题意知()1211,1kkikia aa a aaa aaik+=，所以22212112kkkkaaaAaaaaa a=+，因为121121212111111111,kkkkkkkkaaaaa aa aaaaaaaaa=，所以22221211212112111kkkkkkkkaaaAaaaaaa aaaaaa a=+=+2212231111111111kkkaaaaaaaaaa+=，因为11,kaaa=，所以1111kaa，所以22111kAaaaa，即2Aa.