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1、章前引言汽车号码牌的序号一般是从汽车号码牌的序号一般是从2626个英文字母、个英文字母、1010个阿拉伯数字中选出若个阿拉伯数字中选出若干个，并按照适当顺序排列而成。随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥干个，并按照适当顺序排列而成。随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号码序号需要扩容，那么，交通管理部门应如何确定有量迅速增长，汽车号码序号需要扩容，那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要“数出数出”某种汽车号某种汽车号码牌序号组成的方案下所有可能的序号数，这就是码牌序号组成的方案下所有可能的序号数，这
2、就是计数计数。章前引言 日常生活、生产中类似的问题大量存在日常生活、生产中类似的问题大量存在 .例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号号 如果问题中数量很少，一个一
3、个地数也如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法不失为一种计数的好方法.但但如果问题中数如果问题中数量很多量很多，我们还一个一个地去数吗？我们还一个一个地去数吗？章前引言 在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法.这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理.这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题.作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理.第六章第六章
4、计数原理计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理问题导入 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？本节课，我们会分析一些简单的问题（实例），并尝试从中得出巧妙的计数方法.问题思考问题1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求给一个座位编号给一个座位编号用一个英文字用一个英文字母母或一个阿拉一个阿拉伯数字伯数字方案方案1 1：方案方案2
5、 2：用英文字母编号用英文字母编号用阿拉伯数字编号用阿拉伯数字编号262626261010101026+10=3626+10=3626+10=3626+10=36分析：分析：因为英文字母共有因为英文字母共有2626个，阿拉伯数字共有个，阿拉伯数字共有1010个，所以总共可以编出个，所以总共可以编出种不同的号码种不同的号码.问题思考探究1 你能说一说这个问题的特征吗？首先首先，这里要完成的事情是这里要完成的事情是“给一个座位编号给一个座位编号”；其次是其次是“或或”字的字的出现出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母因为英文
6、字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到了号码的总数这两类号码数相加就得到了号码的总数.上述上述计数计数过程的基本环节是过程的基本环节是：(1)(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；(2)(2)分别计算各类号码的个数分别计算各类号码的个数;(3)(3)各类号码的个数相加各类号码的个数相加，得出所有号码的个数得出所有号码的个数.新知探究完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案
7、中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法1.1.分类加法计数原理分类加法计数原理注意：注意：两类不同方案中的方法互不相同两类不同方案中的方法互不相同.典例分析lA大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学问题思考问题思考分析：树状图分析：树状图A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9与字母与字母A对应对应的编号有的编号有9种种字母字母 数字数字 得到的号码得到的号码追问1：你能用树状图列出所有可能的号码吗？问题思考问题3 你能说一说这个问题的特征
8、吗？上述问题上述问题要完成的要完成的一件一件事情事情仍然仍然是是“给一个座位编号给一个座位编号”，其中最重要其中最重要的特征的特征是是“和和”字的出现字的出现：一个座位编号一个座位编号由一个由一个英文字母英文字母和和一个阿拉伯数一个阿拉伯数字字构成构成.因因此得到一个座位号要经过先确定一个此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母英文字母，后确定一个阿拉伯，后确定一个阿拉伯数字这数字这两个步骤两个步骤，每一个英文字母，每一个英文字母与不同与不同的数字组成的号码是互不相同的的数字组成的号码是互不相同的.新知探究2.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理 一般地，完成一件事需要一般地，完成一件事需要两
9、个步骤两个步骤，做第，做第1步有步有m种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn种不同的方法种不同的方法.注意：注意：(1)无论第无论第1步采用哪种方法，与之对应的第步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数步都有相同的方法数;(2)各个步骤相互依存各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才算完成这件事才算完成.典例分析解：任选男生和女生各解：任选男生和女生各1 1人，可以分两个步骤完成：人，可以分两个步骤完成：分析：分析：根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为根据分步乘法计数原理
10、，共有不同选法的种数为完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求选两名班级代表选两名班级代表1 1名男生名男生和1 1名名女生女生第第1 1步：步：第第2 2步：步：选男生选男生选女生选女生N N=30=302424=720=720 问题思考典例分析例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？分析：(2)(2)要完成的一件事是要完成的一件事是“从书架第从书架第1 1层、第层、第2 2
11、层、第层、第3 3层中各取层中各取1 1本书本书”，可以分，可以分三个步骤三个步骤完成完成.（分步乘法分步乘法）当堂训练1.填空题填空题 (1)一项工作可以用一项工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人只会用第人只会用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人只会用第人只会用第2种方法完成，从中选出种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种人来完成这项工作，不同选法的种数是数是_；(2)从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村的道路有村的道路有2条，从条，从A村经村经B村村去去C村，不同路线的条数是村，不同路线的条数是_.962.在例在例1中，若数学也是中，
12、若数学也是A大学的强项专业，则大学的强项专业，则A大学有大学有6个专业可以选个专业可以选择，择，B大学有大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题？这种算法有什么问题？当堂训练3.书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书本不同的语文书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法本书，有多少种不同的取法?(2)从书架上任取数学书和语文书各从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法本，有多
13、少种不同的取法?4.现有高一年级的学生现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高三年级的学生名，高三年级的学生4名名.(1)从三个年级的学生中任选从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?(2)从三个年级的学生中各选从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?解：解：(1)11种；种；(2)30种种.解：解：(1)12种；种；(2)60种种.当堂训练3.书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书本不同
14、的语文书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法本书，有多少种不同的取法?(2)从书架上任取数学书和语文书各从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法本，有多少种不同的取法?4.现有高一年级的学生现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高三年级的学生名，高三年级的学生4名名.(1)从三个年级的学生中任选从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?(2)从三个年级的学生中各选从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?解：解
15、：(1)11种；种；(2)30种种.解：解：(1)12种；种；(2)60种种.课堂小结1.解答解答计数问题的一般思路：计数问题的一般思路：完成一件什么事完成一件什么事怎么完成这件事怎么完成这件事英文字母英文字母有什么要求有什么要求方法的方法的分类分类过程的过程的分步分步利用利用加法加法原理进行计数原理进行计数利用利用乘法乘法原理进行计数原理进行计数课堂小结分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理相同点相同点区别区别注意注意2.两个原理的异同点两个原理的异同点都是用来计算都是用来计算“完成一件事完成一件事”的不同方法种数的问题的不同方法种数的问题类类独立，不重不漏类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整步步相依，步骤完整分类完成，类类相加分类完成，类类相加分步完成，步步相乘分步完成，步步相乘任何一类中的任何一种方任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事法都能独立完成这件事只有依次完成每一个步骤，才只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事能完成这件事（每步中的每一每步中的每一种方法不能独立完成这件事种方法不能独立完成这件事）