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1、数学第第六六章章计数原理计数原理 6.1.1分类分类加法与分步乘法加法与分步乘法计数原理计数原理数学文化了解数学传统文化的发展与应用排列组合发展史 虽然数数始于结绳计数的远古时代，由于那时人的智力的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧中国古代的易经中用十个天干和十二个地支以六十为周期来记载月和年，以六十为周期来记载月和年，以及在洛书河图中关于幻方的记载，是人们至今所了解的最早发现的组合问题于11和12世纪间，贾宪就发现了二项式系数，
2、杨辉将它整理记载在他的续古抉奇法一书中，这就是中国通常称的杨辉三角事实上，于12世纪印度的婆什迦罗第二也发现了这种组合数.13世纪波斯的哲学家曾讲授过此类三角而在西方，布莱士帕斯卡发现这个三角形是在17世纪中期树树状状图图 以上问题均为计数问题，计数问题是数学的重要研究对象之一，其相关内容是进一步学习概率的基础 在日常生活中，关于计数的问题大量存在，如果问题中数量很少，可以一个一个的数，但是如果问题中数量很多，还能一个一个去数吗？核糖核酸(RNA)分子由碱基按一定顺序排列而成.已知碱基有4种，由成百上千个碱基组成的RNA分子的种数非常巨大.你知道它是怎样算出来的吗？汉字在计算机的机器语言中是用
3、16位的字符表示（0或1），你如何“数出”16位字符最多可以表示多少个不同的汉字？计数问题计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法数的基本方法.但当问但当问题中的题中的数量很大数量很大时，列举的方法效率不高时，列举的方法效率不高.能否能否设计巧妙的设计巧妙的“数法数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法并尝试从中得出巧妙的计数方法.方案方案1 1用用大写英文字母大写英文字母编号编号2626 例子例子1 用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母或
4、或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码总共能编出多少种不同的号码?完成一件事完成一件事给座位编号给座位编号方案方案2 2用阿拉伯数字用阿拉伯数字编号编号101026+10=3626+10=36 因因为为英英文文字字母母共共有有26个个，阿阿拉拉伯伯数数字字共共有有10个个，所所以以总总共共可可以以编编出出 26+1036 种不同的号码种不同的号码.例子例子2 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表各有一些自己感兴趣的强项专业，
5、如下表.如果这名同学只能只能选一专业，那么他共有多少种选择？如果这名同学只能只能选一专业，那么他共有多少种选择？A大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学方案方案1 1A A大学强项专业大学强项专业 5 5完成一件事完成一件事 挑选专业挑选专业方案方案2 2B B大学强项专业大学强项专业 4 45+4=95+4=9探究探究 你能否发现这两个问题有什么共同特征你能否发现这两个问题有什么共同特征?例子例子1 用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母或或一一个阿拉伯数字给教室里的一个座位个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，
6、总共能编出多少种不同的号编号，总共能编出多少种不同的号码码?例子例子2 在填写高考志愿表时，一在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，名高中毕业生了解到，A，B两所大两所大学学各各有一些自己感兴趣的强项专业，有一些自己感兴趣的强项专业，如下表如下表.1 1、都是要完成一件事。、都是要完成一件事。2 2、用任何一类方法都、用任何一类方法都能直接完成这件事。能直接完成这件事。3 3、都是采用加法运算。、都是采用加法运算。上述计数过程的基本环节是：上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准）确定分类标准（分类）（分类）；（2）分别计算各类的个数）分别计算各类的个数（计数）（计数）；（3）各类的个
7、数相加，得出所有的个数）各类的个数相加，得出所有的个数（相加）（相加）.我们把这种计数方法称为我们把这种计数方法称为分类加法计数原理分类加法计数原理.两类不同方案中两类不同方案中的方法互不相同的方法互不相同上述计数过程的基本环节是：上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准）确定分类标准（分类）（分类）；（2）分别计算各类的个数）分别计算各类的个数（计数）（计数）；（3）各类的个数相加，得出所有的个数）各类的个数相加，得出所有的个数（相加）（相加）.一般地，如果一般地，如果完成一件事有完成一件事有两类两类不同方案，不同方案，在在第第1 1类类方案中有方案中有m种不同的方法，种不同的方法，在在
8、第第2 2类类方案中有方案中有n种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法种不同的方法.利用分类加利用分类加法计数原理法计数原理解题的一般解题的一般思路思路.注意：注意：确定分确定分类标准准时要确保每一要确保每一类都能都能独立地完成独立地完成这件事件事.分类加法计数原理分类加法计数原理推广如果完成一件事有如果完成一件事有n类类不同方案，不同方案，在在第第1 1类类方案中有方案中有m1种不同的方法，种不同的方法，在在第第2 2类类方案中有方案中有m2种不同的方法，种不同的方法，.在在第第n类类方案中有方案中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件
9、事共有那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.各类不同方案中各类不同方案中的方法互不相同的方法互不相同2.在例在例1中，如果数学也是中，如果数学也是A大学的强项专业，那么大学的强项专业，那么A大学共有大学共有6个专业可个专业可以选择，以选择，B大学共有大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题？这种算法有什么问题？A大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学
10、数学数学 解：解：这这种算法有种算法有问题问题，因，因为问题为问题强强调调的是的是这这名同学的名同学的专业选择专业选择，故并不需要考，故并不需要考虑虑学校的差异，所以学校的差异，所以这这名同学可能的名同学可能的专业选择专业选择种数种数应应当当为为课本课本P5 例子例子3 3：用前用前6 6个大写的英文字母和个大写的英文字母和1 19 9个阿拉伯数字，以个阿拉伯数字，以A1，A2，A9，B1，B2，的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？码？步骤步骤1 1用用大写英文字大写英文字母母编号编号 6 6完成一件事完成一件事给座位
11、编号给座位编号步骤步骤2 2用阿拉伯数用阿拉伯数字字编号编号1010A19423数字数字5768字母字母得到的号码得到的号码A1A2A3A4A5A6A7A8A9解决计数问题常解决计数问题常用到用到“树状图树状图”能用树状图列出所能用树状图列出所有可能的号码吗？有可能的号码吗？例子例子3 3：用前用前6 6个大写的英文字母和个大写的英文字母和1 19 9个阿拉伯数字，以个阿拉伯数字，以A1，A2，A9，B1，B2，的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？码？步骤步骤1 1用用大写英文字大写英文字母母编号编号 6 6完成一件事
12、完成一件事给座位编号给座位编号步骤步骤2 2用阿拉伯数用阿拉伯数字字编号编号10106 69=59=54 4 例子例子4 4：设某班有男生设某班有男生3030名，女生名，女生2424名。现要从中选出男、女生各一名代名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？步骤步骤选男生选男生 3030完成一件事完成一件事选代表参赛选代表参赛步骤步骤2 2选女生选女生 2424303024=72024=720探究探究 你能否发现这两个问题有什么共同特征你能否发现这两个问题有什么共同特征?例子例子3 用前用前6 6个大写的英文字母和个大写的英文字母
13、和1 19 9个阿拉伯数字，以个阿拉伯数字，以A1 1，A2，A9，B1 1，B2，的方式给教室里的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？种不同的号码？例子例子4 设某班有男生设某班有男生3030名，女生名，女生2424名。现要从中选出男、女生各一名名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？同的选法？1 1、都是要完成一件事。、都是要完成一件事。2 2、需要分成几个步骤、需要分成几个步骤才能完成完成这件事。才能完成完成这件事。3 3、都是采用乘法运算。、都是采用乘法运算。上述计数过程的基本
14、环节是：上述计数过程的基本环节是：（1）将完成这件事的过程分成若干步将完成这件事的过程分成若干步（分步）（分步）；（2）求出每一步中的方法数求出每一步中的方法数（计数）（计数）；（3）将每一步中的方法数相乘得最终结果将每一步中的方法数相乘得最终结果（相乘）（相乘）我们把这种计数方法称为我们把这种计数方法称为分步乘法计数原理分步乘法计数原理.一般地，如果完成一件事需要一般地，如果完成一件事需要两个步骤两个步骤，做做第第1 1步步有有m种不同的方法，种不同的方法，做做第第2 2步步有有n种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=mn种不同的方法种不同的方法.上述计数过程的
15、基本环节是：上述计数过程的基本环节是：（1）将完成这件事的过程分成若干步将完成这件事的过程分成若干步（分步）（分步）；（2）求出每一步中的方法数求出每一步中的方法数（计数）（计数）；（3）将每一步中的方法数相乘得最终结果将每一步中的方法数相乘得最终结果（相乘）（相乘）注意：注意：无论第无论第1步采步采用哪种方法，与之用哪种方法，与之对应的第对应的第2步都有相步都有相同的方法数同的方法数.注意：注意：应用分步乘法用分步乘法计数原理数原理时，完成，完成这件事情要件事情要分几个步分几个步骤，只有，只有每个步每个步骤都完成了，才算完成都完成了，才算完成这件事情，每个步件事情，每个步骤缺一不可缺一不可.
16、利用分步乘利用分步乘法计数原理法计数原理解题的一般解题的一般思路思路.完成一件事需要完成一件事需要n个个步骤，步骤，做做第第1 1步步有有m1种不同的方法种不同的方法，做做第第2 2步步有有m2种不同的方法，种不同的方法，.做做第第n步步有有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法.分步乘法计数原理分步乘法计数原理推广共同点共同点：分类加法分类加法计数原理计数原理分步乘法分步乘法计数原理计数原理完成一件事要完成一件事要n个不同的个不同的步步骤骤；每一个步骤每一个步骤都不能直接完成都不能直接完成该事件，只有完成每个步骤，该事件，
17、只有完成每个步骤，才能完成这件事。才能完成这件事。各个步骤各个步骤相互联系相互联系；相互联系分步到达都是有关都是有关“完成一件事情完成一件事情”的所有不同方法的种数问题。的所有不同方法的种数问题。主要不同点主要不同点：对比总结注意：注意：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点要仔细分析两点:(1)要完成的要完成的“一件事一件事”是什么是什么;(2)需要分类还是需要分步需要分类还是需要分步.完成一件事有完成一件事有n类类不同的不同的方案方案;。各类方案各类方案相互独立相互独立；每一类方案每一类方案都能直接完成都能
18、直接完成该事该事件。件。相互独立直达目的 例例3 书架的第书架的第 1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，本不同的文艺书，第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同取法本书，有多少种不同取法?(2)从书架的第从书架的第1层、第层、第2层、第层、第3层各取层各取1本书，有多少种不同取法本书，有多少种不同取法?解：解：(1)根据分根据分类类加法加法计计数原理，不同的取法种数数原理，不同的取法种数为为：N4329.(2)根据分步乘法根据分步乘法计计数原理，不同的取法种数数原理，不同的取法种数为
19、为：N432=24.解：解：从从3幅画中幅画中选选出出2幅分幅分别别挂在左、右两挂在左、右两边墙边墙上，可以上，可以分两个步分两个步骤骤完成：完成：第第1步，从步，从3幅画中幅画中选选1幅挂在左幅挂在左边墙边墙上，有上，有3种种选选法；法；第第2步，从剩下的步，从剩下的2幅画中幅画中选选1幅挂在右幅挂在右边墙边墙上，有上，有2种种选选法法.根据分步乘法根据分步乘法计计数原理，不同挂法的种数数原理，不同挂法的种数为为 N32=6.这这6种挂法如右种挂法如右图图所示所示.例例4 要从甲、要从甲、乙、丙乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙幅，分别挂在左、右两边墙上的指定
20、位置，共有多少种不同的挂法上的指定位置，共有多少种不同的挂法?.乙乙乙乙丙丙甲甲右边右边丙丙乙乙甲甲左边左边得到的挂法得到的挂法甲乙甲乙甲丙甲丙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙甲甲丙丙 例例5 给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母个字符，其中首字符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字1 9，最多可以给多少个程序命名？，最多可以给多少个程序命名？解解:由分由分类类加法加法计计数原理，首字符不同数原理，首字符不同选选法的种数法的种数为为:7613.后两个字符从后两个字符从19中中选选，因，因为为数字可以重复数字可以重复，所以不同，所以不同
21、选选法的种数都法的种数都为为9.由分步乘法由分步乘法计计数原理，不同名称的个数是：数原理，不同名称的个数是：13991053，即最多可以即最多可以给给1053个程序模个程序模块块命名命名.既有分类加法计数原理又有分步乘法计数原理，两者要综合应用两个计数原理两个计数原理 分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理相同点相同点不同点不同点注意点注意点用来计算完成一件事的方法种数用来计算完成一件事的方法种数每类每类方案中的每一方案中的每一种方法都能种方法都能_ _ 完成这件事完成这件事每步每步_才才算完成这件事情算完成这件事情（每步中的每一种（每步中的每一种方法方法不能独立不能
22、独立完成完成这件事）这件事）类类类类相加相加步步步步相乘相乘类类独立类类独立步步相依步步相依独立独立依次完成依次完成不重不漏不重不漏步骤完整步骤完整分类分类完成完成分步分步完成完成课堂小结解决计数问题的一般思维过程：要完成的一件事如何完成这件事方法的“分类”过程的“分步”利用分类加法计数原理计数利用分步乘法计数原理计数分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.分类分类（类类独立）（类类独立）分步分步（
23、步步关联）（步步关联）不重不漏不重不漏步骤完整步骤完整课堂小结1.填空题填空题 (1)一项工作可以用一项工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人只会用第人只会用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人只会用第人只会用第2种方法完成，从中选出种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种人来完成这项工作，不同选法的种数是数是_；(2)从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村的道路有村的道路有2条，从条，从A村经村经B村村去去C村，不同路线的条数是村，不同路线的条数是_.96课本课本P53.书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有
24、5本不同的语文书本不同的语文书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法本书，有多少种不同的取法?(2)从书架上任取数学书和语文书各从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法本，有多少种不同的取法?4.现有高一年级的学生现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高三年级的学生名，高三年级的学生4名名.(1)从三个年级的学生中任选从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?(2)从三个年级的学生中各选从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法选法?解：解：(1)11种；种；(2)30种种.解：解：(1)12种；种；(2)60种种.课本课本P6计数原理入门径，何时相加何时乘？分类相加无重漏，分步相乘步骤整。有关诗歌：两大原理妙无穷,茫茫数理此中求;万万千千说不尽,运用解题任驰骋。新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题3会根据实际问题的特征，合理地分类或分步1借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养2通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养.