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1、2024步步高考二轮数学新教材讲义第1讲空间几何体一、单项选择题1(2023唐山模拟)若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比为()A11 B12 C21 D232(2023锦州模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，P，Q是棱DD1的两个三等分点，则三棱锥QPBC的体积为()A. B. C. D.3.(2023泉州模拟)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点O滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的表面积为()A36 B27 C18 D94(2023长沙模拟)最早的测雨器记载见于南宋数学家
2、秦九韶所著的数书九章(1247年)该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸时，平地的降雨量是()(注：一尺10寸，平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积)A9寸 B6寸C4寸 D3寸5(2023日照模拟)红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球
3、面除去上、下两个相同球冠剩下的部分如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积S2Rh.如图1，已知该灯笼的高为58 cm，上、下圆柱的高为5 cm，圆柱的底面圆直径为14 cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为()A1 940 cm2 B2 350 cm2C2 400 cm2 D2 540 cm26(2023淄博模拟)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是()A. B.C. D
4、.7(2023广西联考)已知在一个表面积为24的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在B1D上运动，则当BEA1E取得最小值时，AE等于()A2 B. C. D.8(2023广州模拟)现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥(顶点在下方，底面在上方)，将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为()A. B. C. D.二、多项选择题9有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的体对角线的长度为()A2 B2 C4 D.10(2023新高考全国)已知圆锥的顶点为P，底面
5、圆心为O，AB为底面直径，APB120，PA2，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45，则()A该圆锥的体积为B该圆锥的侧面积为4CAC2DPAC的面积为11(2023德州模拟)如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是()APDEFB三棱锥PDEF的外接球的体积为2C点P到平面DEF的距离为D二面角PEFD的余弦值为12(2023辽阳统考)若正三棱锥PABC的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的()A体积为B表面积为9C外接球的表面积为27D内切球的表面积为三、填空题13.(2
6、023郑州模拟)攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面的等腰三角形的顶角为60，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为_14(2023新高考全国)在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2，A1B11，AA1，则该棱台的体积为_15(2023八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为_16(2023辽阳模拟)将3个6 cm
7、6 cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图(1)所示，将这6个部分接入一个边长为3 cm的正六边形上，如图(2)所示若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为_ cm3.第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、单项选择题1(2023安阳统考)若a，b，c是空间三条直线，ab，a与c相交，则b与c的位置关系是()A平行 B相交C异面 D异面或相交2(2023河南校联考模拟)已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A若，m，mn，则nB若mn，m，n，则C若，m，n，则mnD若m，mn，n，则3(2023泉
8、州联考)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN平面ABC的是()4(2023长沙模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE与B1C1为异面垂直DA1C1平面AB1E5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB4，BC2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则()AA，M，N，B四点共面B平面ADM平面CDD1C1C直线BN与B1M所成的角为30DBN平面ADM6(2023长春吉大附中模拟)
9、如图，在矩形AEFC中，AE2，EF2，B为EF的中点，现分别沿AB，BC将ABE，BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥PABC，则下列结论不正确的是()AACBPB三棱锥PABC的体积为C直线PA与平面ABC所成角的大小为D三棱锥PABC外接球的半径为二、多项选择题 7.(2023深圳模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，则下列命题中的真命题有()A存在点P，使得PQA1C1B存在点P，使得PQA1BC直线PQ始终与直线CC1异面D直线PQ始终与直线BC1异面8.(2023安庆模拟)如图，已知四边形ABCD，BCD是以BD为
10、斜边的等腰直角三角形，ABD为等边三角形，BD2，将ABD沿对角线BD翻折到PBD，在翻折的过程中，下列结论中正确的是()ABDPCBDP与BC可能垂直C四面体PBCD体积的最大值是D直线DP与平面BCD所成角的最大值是三、填空题9平面内两条相交直线l，m都不在平面内命题甲：l和m中至少有一条与平面相交；命题乙：与相交则甲是乙的_条件10.如图，P为ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA平面EBF时，_.11.如图，在正四棱锥PABCD中，PAAB，M是BC的中点，G是PAD的重心，则在平面PAD内经过G点且与直线PM垂直的直线有_条12.(2023北京模拟)如图，在正
11、方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，平面ACE将正方体分成体积分别为V1，V2(V1V2)的两部分，则_.四、解答题13.(2023西安联考)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB4，AD，DC1，点M为AB上一点，且AM1. (1)证明：平面MCC1平面DCC1D1；(2)若点N是B1C1上一点，且MN平面ACC1A1，求四面体MNBB1的体积14(2023成都模拟)如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段
12、EF折起，连接AB，CG就得到了一个空间五面体，如图2.(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO平面GCF；(2)若AEB，求三棱锥ABEF的体积第1讲空间几何体1A2.B3.A4.D5.C6.A7A作出图形，如图所示依题意6AB224，故AB2，将平面A1B1D翻折至与平面BB1D共面，易得A1B1DBB1D，故当A1EB1D时，BEA1E有最小值，此时，过点E作平面ABCD的垂线，垂足为F，则BFBD，EFBB1，由余弦定理得AF2AB2BF22ABBFcos 45422，则AE2.8D作轴截面图如图所示，ABC为圆锥的轴截面，点O为与侧面相切球的球心，点E，F为切点，由已知，可
13、得ABBCAC4，OEOF，ACB60，OEAC，在OEC中，OE，OEC90，OCE30，所以OC，CE，又AC4，所以AE，所以圆台的母线长为，因为CECF，ECF60，所以ECF为等边三角形，所以EF，所以圆台的侧面积S.9BD分两种情况求解：若正四棱柱的高为8，则底面边长为1，此时体对角线的长度为；若正四棱柱的高为4，则底面边长为2，此时体对角线的长度为2.10AC依题意，APB120，PA2，所以OP1，OAOB.A项，圆锥的体积为()21，故A正确；B项，圆锥的侧面积为22，故B错误；C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示，则ACOD，ACPD，所以PDO是二面角PACO的
14、平面角，则PDO45，所以OPOD1，故ADCD，则AC2，故C正确；D项，PD，所以SPAC22，故D错误11AC如图1，取EF的中点H，连接PH，DH，易知PEF和DEF均为等腰三角形，故PHEF，DHEF，又因为PHDHH，所以EF平面PDH，又PD平面PDH，所以PDEF，A正确；图1由PE，PF，PD三线两两互相垂直，可构造如图2所示的长方体，长方体的外接球就是三棱锥PDEF的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R，则(2R)21212226，则R，所以所求外接球的体积为R3，B错误；图2设点P到平面DEF的距离为h，如图1，在EHD中，EHPH，DE，DH，由等体积法可
15、得V三棱锥DPEFV三棱锥PDEF，即112h，解得h，C正确；如图1，因为PHEF，DHEF，所以PHD即为二面角PEFD的平面角，因为PDPF，PDPE，且PFPEP，PE，PF平面PEF，所以PD平面PEF，又PH平面PEF，则PDPH，即DPH90，在RtPHD中，cosPHD，D错误12ABD如图，三棱锥PABC的体积VSABCh，故A正确；取AB的中点D，连接CD，PD，则在正三棱锥PABC中，ABCD，ABPD.作PH平面ABC，垂足为H，则PH.由正三棱锥的性质可知H在CD上，且CH2DH.因为AB3，所以CD，则CH.因为PH，所以PC3，则三棱锥PABC的表面积为49，故B
16、正确；设三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，则O在PH上，连接OC，则R2CH2OH2(PHOH)2，即R23OH2(OH)2，解得OH，所以R23，则三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2，故C错误；设三棱锥PABC的内切球的半径为r，则9r，解得r，从而三棱锥PABC的内切球的表面积为4r2，故D正确13.14.15.解析由题知VBAEFVBACD，所以SAEFSACD11，记EFa，AEb，AFc，则bcsin 60，即bc.则a2b2c22bccos 602bcbcbc，当且仅当bc时等号成立，所以EF的最小值为.16108解析将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，该七面体
17、为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即63108(cm3)第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系1D2.D3.D4.C5.B6B由题意可知由BPAP，BPCP，又APCPP，AP，CP平面PAC，所以BP平面PAC，因为AC平面PAC，所以ACBP，故A正确；在PAC中，PAPC2，AC2，所以PAC为直角三角形，所以VPABCVBPAC22，故B错误；设点P到平面ABC的距离为h，则VPABCSABChh，由于SABC222，所以h1，又PA2，设直线PA与平面ABC所成的角为，则sin ，所以，故C正确；由B选项知，PAC为直角三角形
18、，所以PAC外接圆的半径rAC，设三棱锥PABC外接球的半径为R，又因为BP平面PAC，则R2r22()22，所以R，即三棱锥PABC外接球的半径为，故D正确7.ABD在正方体ABCDA1B1C1D1中，易得A1C1平面BDD1B1，因为点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，当点P和点D1重合时，PQ平面BDD1B1，所以PQA1C1，故A正确；连接A1D，A1B，当点P为线段A1D的中点时，PQ为A1BD的中位线，即PQA1B，故B正确；CC1平面AA1C1C，当点P和点A重合时，PQ平面AA1C1C，所以直线PQ和CC1在同一平面内，故C错误；BC1平面ABC1D1，PQ平面ABC1D1
19、P，PBC1，所以直线PQ始终与直线BC1不相交，且不平行，所以直线PQ与直线BC1是异面直线，故D正确8ABC对于A，如图所示，取BD的中点M，连接PM，CM，BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，BDCM，ABD为等边三角形，BDPM，又PMCMM，PM，CM平面PMC，BD平面PMC，又PC平面PMC，BDPC，故A正确；对于B，假设DPBC，又BCCD，CDDPD，CD，DP平面PCD， BC平面PCD，又PC平面PCD，BCPC，又PB2，BC，易知PC1，1，当PC时，BC2PC2PB2，故DP与BC可能垂直，故B正确；对于D，当平面PBD平面BCD时，平面PBD平面BCDBD，B
20、DPM，PM平面PBD，此时PM平面BCD，PDB即为直线DP与平面BCD所成的角，此时PDB，故D错误；对于C，易知当平面PBD平面BCD时，此时四面体PBCD的体积最大，此时的体积VSBCDPM，故C正确9充要10.11.无数12.解析如图所示，取B1C1的中点H，连接EH，CH，A1C1，因为AC平面A1B1C1D1，故AC平行于平面ACE与平面A1B1C1D1的交线，又E，H分别为A1B1，B1C1的中点，易知EHA1C1AC，即平面ACE平面A1B1C1D1EH，故平面ACE将正方体分为如图所示的两部分，设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，V1(SABC)BB12，故.13(1)
21、证明因为AM1，所以AMCD，AMCD，又ABAD，所以四边形ADCM为矩形，即CDCM.由题可知CC1平面ABCD，CM平面ABCD，所以CC1CM，又CC1CDC，CC1，CD平面DCC1D1，所以CM平面DCC1D1，因为CM平面MCC1，所以平面MCC1平面DCC1D1.(2)解作MPAC，交BC于点P，连接NP，如图所示易知AC2，BC2，则，即BP，MP.因为MP平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以MP平面ACC1A1，因为MN平面ACC1A1，又MNMPM，MN，MP平面MNP，所以平面MNP平面ACC1A1.平面BCC1B1平面MNPNP，平面BCC1B1平面ACC1A
22、1CC1，所以NPCC1.因为BP，所以B1N.又易知AC平面BCC1B1，则MP平面BCC1B1，所以MP即为四面体MNBB1的高，所以四面体MNBB1的体积为2.14(1)证明在题图2中取线段CF的中点H，连接OH，GH，如图所示由题图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB2EB，因为O是线段BF与CE的中点，所以OHBC且OHBC，在题图1中，AGEF且AGEF，而EFBC且EFBC.所以在图2中，AGBC且AGBC，所以AGOH且AGOH，所以四边形AOHG是平行四边形，则AOHG，由于AO平面GCF，HG平面GCF，所以AO平面GCF.(2)解翻折前，EFAE，EFBE，翻折后，EFAE，EFBE，AE，BE平面ABE，AEBEE，所以EF平面ABE，因为SABEAEBEsin22，所以VABEFVFABESABEEF4，即三棱锥ABEF的体积为.