《2024步步高考二轮数学新教材讲义专题四 第3讲 空间向量与空间角含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024步步高考二轮数学新教材讲义专题四 第3讲 空间向量与空间角含答案.docx（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024步步高考二轮数学新教材讲义第3讲空间向量与空间角1(2023锦州模拟)如图一，ABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，D，E分别是CA，CB边上的点，ADBEAC2；如图二，将CDE沿DE翻折，使点C到点P的位置，PO3.(1)求证：OP平面ABED；(2)求平面BPE与平面PEF夹角的正弦值2.(2023西宁统考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，ABBC2，M，N分别为A1B1，AC的中点(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)从条件：ABMN，条件：BMMN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值3.
2、如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，直线AC平面BDEF，点O为AC与BD的交点，AB2，且DABDBF60.(1)求异面直线DE与CF所成角的余弦值；(2)求平面ABF与平面CBF夹角的余弦值4.(2023湖南师范大学附属中学模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，PBBC. (1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值第4讲空间向量与距离、探究性问题1.已知三棱柱ABCA1B1C1，AA1平面ABC，BAC90，AA1ABAC
3、1. (1)求异面直线AC1与A1B所成的角；(2)设M为A1B的中点，在ABC的内部或边上是否存在一点N，使得MN平面ABC1？若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由2.(2023湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为4，A1AB60，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1DAC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离3.(2023齐齐哈尔模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，ABDC，DCADPD1，AB2，E为线段PA上一点，点F
4、在边AB上，且CFBD. (1)若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；(2)在线段PA上是否存在点E，使得EF与平面PFC所成角的余弦值是？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由4(2023广州模拟)如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC平面ABC，PAPCAC2，BC4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. (1)证明：l平面PAC；(2)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由微重点7球的切接问题1.如图，在三棱锥VABC中，VA底面ABC，BAC90，AB
5、ACVA2，则该三棱锥外接球的体积为()A12 B4C. D.2(2023成都模拟)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，AB2，ACAP，BCCA，若三棱锥PABC外接球的表面积为5，则BC等于()A1 B. C. D.3在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，PAB为边长为1的等边三角形，底面ABCD为矩形若四棱锥PABCD存在一个内切球，则内切球的表面积为()A4 B C. D.4(2023湖北多校联考)已知在ABC中，AB4，BC3，AC5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为()A. B. C. D.5(2023张掖模拟)图1为两块大小不同的等腰直角三角
6、形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥MABC，如图2，若二面角MACB的大小为，则所得三棱锥MABC的外接球的表面积为()A.a2 B4a2C.a2 D.a26(多选)(2023阳泉模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，AB1BC1CA14.若点O到三棱柱ABCA1B1C1的所有面的距离都相等，则()ABB1平面ABCBABAA1C平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为4D球O的表面积为247(多选)(2023新
7、高考全国)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A直径为0.99 m的球体B所有棱长均为1.4 m的四面体C底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体D底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体8.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为_9(2023开封模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥PABCD外接球的表面积为_10.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥公路里程、高铁里程双双都是世界
8、第一建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切若AB12，则该模型中最小球的半径为_第3讲空间向量与空间角1(1)证明因为ABC为等边三角形，ADBEAC，DEAB，CO为AB边上的高线，故DEOF，DEPF，又OFPFF，OF，PF平面FOP，所以DE平面FOP.因为OP平面FOP，所以DEOP.在FOP中，OF，OP3，PF2，所以OF2OP2PF2，故OPOF，而DE平面ABED，OF平面ABED，OFDEF，故OP平面ABED
9、.(2)解分别以，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,3)，B(0,3,0)，E(，2,0)，F(，0,0)，则，.设平面BPE的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PEF的法向量为n2，则且取x11，x2，得到平面BPE的一个法向量n1，平面PEF的一个法向量n2，设平面BPE与平面PEF的夹角为，则|cos |，所以sin .所以平面BPE与平面PEF夹角的正弦值为.2(1)证明取AB的中点为K，连接MK，NK，由三棱柱ABCA1B1C1，得四边形ABB1A1为平行四边形，因为M是B1A1的中点，所以MKBB1，又MK平面BCC1B1，BB1平面BCC
10、1B1，故MK平面BCC1B1，同理得NK平面BCC1B1，又NKMKK，NK平面MKN，MK平面MKN，故平面MKN平面BCC1B1，又MN平面MKN，故MN平面BCC1B1.(2)解因为侧面BCC1B1为正方形，故CBBB1，而CB平面BCC1B1，平面BCC1B1平面ABB1A1，平面BCC1B1平面ABB1A1BB1，故CB平面ABB1A1，因为AB平面ABB1A1，所以CBAB，又NKBC，所以NKAB，若选：ABMN，已证NKAB，又NKMNN，NK平面MNK，MN平面MNK，故AB平面MNK，因为MK平面MNK，故ABMK，又MKBB1，所以ABBB1，所以BC，BA，BB1两两
11、垂直故可建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，N(1,1,0)，M(0,1,2)，故(0,2,0)，(1,1,0)，(0,1,2)，设平面BMN的法向量为n(x，y，z)，则从而取z1，则n(2，2,1)，设直线AB与平面BMN所成的角为，则sin .所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.若选：BMMN，已证CB平面ABB1A1，又NKBC，故NK平面ABB1A1，而KM平面ABB1A1，故NKKM，又BMMN，NKBC，BKAB，ABBC2，故MKBMKN，所以MKBMKN90，所以MKAB，又MKBB1，所以ABBB1，所以BC，BA，BB1两两垂直，故可
12、建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，N(1,1,0)，M(0,1,2)，故(0,2,0)，(1,1,0)，(0,1,2)，设平面BMN的法向量为n(x，y，z)，则从而取z1，则n(2，2,1)，设直线AB与平面BMN所成的角为，则sin .所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.3解(1)AC平面BDEF，FO，BD平面BDEF，ACFO，ACBD，四边形BDEF为菱形，且DBF60，DBF为等边三角形，O为BD的中点，FOBD，OA，OB，OF两两垂直以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示AB2，四边形ABC
13、D为菱形，BAD60，BD2，OA，DBF为等边三角形，OF，则A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)，E(0，2，)，F(0,0，)，C(，0,0)，(0，1，)，设异面直线DE与CF所成的角为，则cos ，故异面直线DE与CF所成角的余弦值为.(2)由(1)知，设平面ABF的法向量为m(x1，y1，z1)，则令y1，则x11，z11，得m.设平面CBF的法向量为n(x2，y2，z2)，则令y2，则x21，z21，得n.|cosm，n|，平面ABF与平面CBF夹角的余弦值为.4解(1)取AD的中点O，连接OB，OP.PAD为等边三角形，OPAD，OA1，OP.又平面PAD平面AB
14、CD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，OP平面ABCD.又OB平面ABCD，OPOB.PBBC，BCAD，PBAD.又OPAD，OP，PB平面POB，OPPBP，AD平面POB.又OB平面POB，ADOB.OB，PB，设点A到平面PBC的距离为h，则VAPBCVPABC，即SPBChSABCOP，h.(2)以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则P(0,0，)，C(2，0)，A(1,0,0)，D(1,0,0)，(2,0,0)设(01)，则(2，)，(21，)易得平面ABCD的一个法向量为n1(0,0,1)设AE与平面ABCD所成的角为，则s
15、in ，解得.则.设平面ADE的法向量为n2(x，y，z)，则令y2，则平面ADE的一个法向量为n2(0,2，1)，又平面ABCD的一个法向量为n1(0,0,1)故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.第4讲空间向量与距离、探究性问题1解因为AA1平面ABC，所以AA1平面A1B1C1，即AA1A1B1，AA1A1C1，又BAC90，所以B1A1C190，即A1B1A1C1，所以AA1，A1B1，A1C1两两垂直，如图，以A1为原点，以A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，因为AA1ABAC1，所以A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，A(0,
16、0,1)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，(1)(0,1，1)，(1,0,1)，|cos，|，所以异面直线AC1与A1B所成的角为60.(2)存在假设在平面ABC的边上或内部存在一点N(x，y,1)，因为M为A1B的中点，(1,0,1)，所以M，所以，又(0,1，1)，(1,1，1)，则所以N，且，所以N是BC的中点故存在点N，N为BC的中点，满足条件2解(1)存在点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O，故A1O平面ABC，连接OC，由题意知ABC为正三角形，故OCAB，以O为坐标原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A
17、1，C，B(2,0,0)，B1，C1，设，可得D，假设在棱BB1(含端点)上存在一点D使A1DAC1，则，420，解得，则BDBB1.(2)由(1)知，设平面BCC1B1的法向量为n(x，y，z)，则令x，则z1，y1，则n，又，则点A1到平面BCC1B1的距离d，即点A1到平面BCC1B1的距离为.3解(1)由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E，(1，1,0)，(0，1,1)，.设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则不妨令y1，则x
18、1，z1，则m(1,1,1)设点E到平面PBC的距离为d，则d，又BCPC，PB，PBC的面积为.四面体BCEP的体积为.(2)存在设点F的坐标为，.CFBD，即0，则112(t1)0，解得t，F，.设，0,1，.设平面PFC的法向量为n(a，b，c)，即不妨令a1，则b2，c2，则n(1,2,2)，n1，|cos，n|，EF与平面PFC所成角的余弦值是，正弦值为.，整理得202810，解得或(舍去)存在满足条件的点E，且AE.4(1)证明E，F分别是PC，PB的中点，BCEF，又EF平面AEF，BC平面EFA，BC平面AEF，又BC平面ABC，平面AEF平面ABCl，BCl，又AB是圆O的直
19、径，C在圆上即BCAC，平面PAC平面ABCAC，平面PAC平面ABC，BC平面PAC，即l平面PAC.(2)解以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A(2,0,0)，B(0,4,0)，P(1,0，)，E，F，(0,2,0)，设Q(2，y,0)，平面AEF的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则z，得m(1,0，)，且(1，y，)，|cos，|，|cos，m|，依题意，得|cos，|cos，m|，即y1.直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，此时AQ1.微重点7球的切接问题1B2.C3.D4.B5C
20、如图，取AC的中点E，AB的中点F，连接ME，EF.因为MAMC，所以MEAC.易知EFBC，因为BCAC，所以EFAC，所以MEF.过点E作OE平面MAC，过点F作OF平面ABC，OEOFO，连接OA，易知E，F两点分别是MAC和ABC的外心，所以点O是三棱锥MABC的外接球的球心因为MAMCa，所以ACBCa，AB2a，所以EFa，因为MEF，MEO，所以OEF，所以OFEFtantana，又AFABa，所以OAa，则三棱锥MABC外接球的半径为a，所以外接球的表面积S4R2a2.6AC选项A，三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱ABCA1B1C1为
21、直棱柱，所以BB1平面ABC，因此A正确；选项B，因为AB1BC1CA14，所以ABBCCA.因为点O到三棱柱ABCA1B1C1的所有面的距离都相等，所以三棱柱ABCA1B1C1的内切球与外接球的球心重合设该三棱柱的内切球的半径为r，与底面以及侧面相切于H，M，连接AH并延长，交BC于N，如图，则AA12r，OMOHr，由于M为矩形BCC1B1的对角线交点，所以HNr，而ABC为等边三角形，所以HNANAB，所以AB2r，所以ABAA1，因此B错误；选项C，由AB14，可知BBAB24r212r216r216，解得r1(负值舍去)，则ABBCCA2.易得A1B1C1的外接圆的半径r1ANAB2
22、，所以平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为2r14，因此C正确；选项D，三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径R，所以球O的表面积S4R220，因此D错误7ABD对于A，因为0.99 m1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于C，因为正方体的体对角线长为 m，且1 m，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过AC1的中点O作OEAC1，设OEACE，可知AC，CC11，AC1，OA，那么tanCAC1，即，解得OE，且20.62，即0.6，所以以AC1为轴可能对称放置底面直径为1.2 m的圆柱，若底面直径为1.2 m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心为O1，与正方
23、体下底面的切点为M，可知AC1O1M，O1M0.6，那么tanCAC1，即，解得AO10.6，根据对称性可知圆柱的高为20.61.7321.21.4140.035 20.01，所以能够被整体放入正方体内，所以D正确849.解析设四棱锥PABCD的外接球球心为O，取AD的中点E，连接PE，取PAD、四边形ABCD的外心O1，O2，连接OO1，OO2，EO2，O2C，OC，因为正方体的棱长为1，P为棱A1D1的中点，所以PAPD，PE1，O2C，sinPADsinAPA1，O1P，O1EOO21，所以OC，外接球的表面积S42.10.解析如图所示，设 O为大球的球心，正四面体的底面中心为E，CD的中点为F，棱长为a，高为h大，连接OA，OB，OC，OD，则BEBFa，EFBFa，大球所对应的正四面体的高h大AEa，设正四面体内切球半径为r大，因为V正四面体4VOABC，所以SABCh大4SABCr大，所以r大h大，因为正四面体的棱长为12，所以 h大124，r大h大，设中等球的半径为r中，对应的四面体高为h中，h中h大2r大2，r中h中，设模型中最小球的半径为r小，对应的四面体的高为h小，h小h中2r中，r小h小.