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1、2024步步高考二轮数学新教材讲义第1讲函数的图象与性质考情分析1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题考点一函数的概念与表示核心提炼1复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为m，n，则在f(g(x)中，由mg(x)n解得x的范围即为f(g(x)的定义域(2)若f(g(x)的定义域为m，n，则由mxn得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域2分段函数分段
2、函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集例1(1)(2023南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，)，则函数F(x)f(2x3)的定义域为()A(2,3 B(2,3C2,3 D(0,3(2)(2023重庆模拟)设a0且a1，若函数f(x)的值域是5，)，则a的取值范围是()A，) B(1，)C(1， D(，)规律方法(1)形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解跟踪演练1(1)(2023潍坊模拟)设函数f(x)则f(8)等于()A10 B9 C7 D6(2)(多选)设函数f(x
3、)的定义域为D，如果对任意的xD，存在yD，使得f(x)f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”下列为“M函数”的是()Af(x)sin xcos x Bf(x)ln xexCf(x)2x Df(x)x22x考点二函数的图象核心提炼1作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点例2(1)(2023宁波十校联考)函数f(x)ln |x|cos的图象可能为()(2)(多选)(2023吉安模拟)已知函数f(x)若x1x2x3x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下
4、列结论正确的是()Ax1x24Bx3x41C1x44D0x1x2x3x44规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题跟踪演练2(1)(2022全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间3,3的大致图象，则该函数是()Ay ByCy Dy(2)已知函数f(x)则下列图象错误的是()考点三函数的性质核心提炼1函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数f(x)f(x
5、)f(|x|)；f(x)是奇函数f(x)f(x)(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数奇函数是偶函数)2函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法3函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)，则函数yf(x)的周期为2|a|.4函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(ax)f(ax)2b，则函数yf(x)的图象关于点(a，b)对称(2)若函数f(x)满足关系式f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称考向1单调性与奇偶性例3(2023泰安模拟)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)xf(x)，若ag(log
6、25.1)，bg(3)，cg(20.8)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbca Dbaf(2x)的解集为()A.(6，)B(，1)C.D.(2)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g(x)为g(x)的导函数，g(x)为偶函数且f(x)g(x)2，f(x)g(4x)2，则下列结论正确的是()Ag(x)为奇函数 Bf(2)2Cg(2)2 Df(2 022)2第2讲基本初等函数、函数与方程考情分析1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近
7、几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，其图象关于yx对称，它们的图象和性质分0a1两种情况，着重关注两种函数图象的异同例1(1)已知log2alog2b0(a0且a1，b0且b1)，则函数f(x)x与g(x)logbx的图象可能是()(2)(2023六盘水质检)设a0.70.8，b0.80.7，clog0.80.7，则a，b，c的大小关系为()Abca BacbCcab Dcba规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问
8、题时，首先要看底数a的取值范围(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化跟踪演练1(1)(多选)(2023惠州模拟)若6a2,6b3，则()Aab1 B.1Cab Dba0)是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp210p3Cp3100p0 Dp1100p2易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型(2)构建的函数模型有误(3)忽视函数
9、模型中变量的实际意义跟踪演练3(1)(2023合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N(t)N0e0.46t，其中N0是tt0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln 6.31.84)()A2 B3 C4 D5(2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为hmln(ta)(a0)若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的
10、新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知1.414，结果取一位小数)()A4.0天 B4.3天C4.7天 D5.1天第3讲导数的几何意义及函数的单调性考情分析1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题考点一导数的几何意义与计算核心提炼1导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同(3)切点
11、既在切线上，又在曲线上2复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为y xyuux.例1(1)(2023全国甲卷)曲线y在点处的切线方程为()Ayx ByxCyx Dyx(2)(2022新高考全国)若曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_易错提醒求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点跟踪演练1(1)(2023湖北省七市(州)联考)已知m0，n0，直线yxm1与曲线yln xn2相切，则的最小值是()A16 B12
12、 C8 D4(2)(2022新高考全国)曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_，_.考点二利用导数研究函数的单调性核心提炼利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数yf(x)的定义域(2)求f(x)的导数f(x)(3)求出f(x)的零点，划分单调区间(4)判断f(x)在各个单调区间内的符号例2(2023武汉华中师大一附中模拟)已知函数f(x)(x2)exx2ax，aR.(1)当a0时，求f(x)在x0处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性_规律方法(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大
13、小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论跟踪演练2(2023北京模拟)已知函数f(x).(1)当t2时，求f(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间_考点三单调性的简单应用核心提炼1函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f(x)0(或f(x)0)在xD上恒成立2函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f(x)0(或f(x)bc BacbCcab Dcba规律方法利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，
14、再由单调性比较大小或解不等式跟踪演练3(1)(2023山西统考)若对于x1，x2(，m)，且x11，则m的最大值是()A2e Be C0 D1(2)(2023咸阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)excos x，则不等式f(x1)1e的解集是_第1讲函数的图象与性质例1(1)A(2)C跟踪演练1(1)C(2)AB例2(1)A(2)AB函数f(x)的图象如图所示，设f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)t，则0t4，则直线yt与函数yf(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，对于A，函数yx24x的图象关于直线x2对称，则x1x24，故A正确；对于B，
15、由图象可知|log2x3|log2x4|，且0x31x4，所以log2x3log2x4，即log2(x3x4)0，所以x3x41，故B正确；当x0时，f(x)x24x(x2)244，由图象可知log2x4(0,4)，则1x416，故C错误；由图象可知4x10时，f(x)0时，g(x)f(x)xf(x)，因为f(x)0，f(x)0，所以g(x)log25.1log24220.8，所以g(3)g(log25.1)g(20.8)，即bac.例4BC对于A选项，因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)由f(x)g(2x)1，可得f(x)g(2x)1，可得g(2x)g(2x)，所以函数g(x)的图象关
16、于直线x2对称，A错误；对于B选项，因为g(x)f(x4)3，则g(2x)f(2x)3，又因为f(x)g(2x)1，可得f(x)f(2x)2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，B正确；对于C选项，因为函数f(x)为偶函数，且f(x)f(2x)2，则f(x)f(x2)2，从而f(x2)f(x4)2，则f(x4)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，C正确；对于D选项，因为g(x)f(x4)3，且f(x)f(x4)，所以g(x)f(x)3，又因为f(x)g(2x)1，所以g(x)g(2x)4，又因为g(2x)g(2x)，则g(x)g(x2)4，所以g(x2)g(x4)4，故g
17、(x4)g(x)，因此函数g(x)是周期为4的周期函数，D错误跟踪演练3(1)D(2)ABDg(x)为偶函数，g(x)g(x)，g(x)g(x)，即g(x)为奇函数，故A正确；又f(x)g(x)2，f(x)g(4x)2，令x2，则解得f(2)2，g(2)0，故B正确，C错误；f(x)g(4x)2，f(x4)g(x)2，又g(x)为奇函数，则f(x4)g(x)2，又f(x)g(x)2，f(x4)f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 022)f(2)2，故D正确第2讲基本初等函数、函数与方程例1(1)B(2)D跟踪演练1(1)ABC(2)1，)解析由10x6x3x1，可得xxx1.令
18、f(x)xxx，因为yx，yx，yx均在R上是减函数，则f(x)在R上是减函数，且f(1)1，所以f(x)f(1)，即x1.故不等式10x6x3x1的解集为1，)例2C因为ycos向左平移个单位长度所得函数为ycoscossin 2x，所以f(x)sin 2x，而yx显然过与(1,0)两点，作出yf(x)与yx的大致图象如图所示，考虑2x，2x，2x，即x，x，x处f(x)与yx的大小关系，当x时，fsin1，y1；当x时，fsin1，y1.所以由图可知，f(x)与yx的交点个数为3.例3e解析如图，显然a0. 当x0时，由单调性得方程exax有且仅有一解因此当x0时，方程exax只有一解即y
19、ax与yex相切，yex，令ya得xln a，故当xln a时，exax，得eln aaln a，即aaln a，从而ae，故当ae时，yax与函数yex相切，此时方程exax有一解，若方程exa|x|恰有两个不同的解，则ae.跟踪演练2(1)B(2)6例4(1)D(2)ACD因为Lp20lg随着p的增大而增大，且60,90，50,60，所以，所以p1p2，故A正确；由Lp20lg，得p，因为40，所以p3100p0，故C正确；假设p210p3，则，所以10，所以20，不可能成立，故B不正确；因为1，所以p1100p2，故D正确跟踪演练3(1)C(2)C第3讲导数的几何意义及函数的单调性例1(
20、1)C(2)(，4)(0，)解析因为y(xa)ex，所以y(xa1)ex.设切点为A(x0，(x0a)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA(x0a1)，化简，得xax0a0.因为曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xax0a0有两个不同的根，所以a24a0，解得a0，所以a的取值范围是(，4)(0，)跟踪演练1(1)D(2)yxyx解析先求当x0时，曲线yln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得y01，代入yln x，得x0e，所以切线斜率为，切线方程为yx.根据偶函数图象的对称性知，当x0时的切线方程为yx
21、.综上可知，两条切线方程为yx，yx.例2解(1)当a0时，f(x)(x2)ex，f(x)(x1)ex，f(0)(01)e01，f(0)2，切线方程为y(2)(1)(x0)，即xy20.(2)f(x)(x2)exx2ax，aR.f(x)(x1)exaxa(x1)(exa)当a0时，令f(x)0，得x0，得x1，f(x)在(1，)上单调递增当0ae时，令f(x)0，得ln ax0，得x1.f(x)在(，ln a)和(1，)上单调递增当ae时，f(x)0在R上恒成立，f(x)在R上是增函数当ae时，令f(x)0，得1x0，得xln a或x1.f(x)在(，1)和(ln a，)上单调递增综上所述，当
22、a0时，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当0ae时，f(x)在(1，ln a)上单调递减，在(，1)和(ln a，)上单调递增跟踪演练2解(1)t2，f(x)，f(x)，f(1)ln 21，又f(1)ln 2，切线方程为yln 2(ln 21)(x1)，即y(ln 21)x1.(2)f(x)，f(x)的定义域为(0，t)(t，)，且t0，f(x)，令(x)1ln xln t，x0且xt，(x)，当x(0，t)时，(x)0，当x(t，)时，(x)0，(x)在(0，t)上单调递增，在(t，)上单调递减，(x)(t)0，f(x)0，f(x)在(0，t)，(t，)上单调递减即f(x)的单调递减区间为(0，t)，(t，)，无单调递增区间例3(1)C(2)D因为f(x)e|x|(x)2e|x|x2f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x0时，则f(x)exx2，可得f(x)ex2x，构建(x)f(x)，则(x)ex2，令(x)0，解得xln 2，所以(x)在0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，可得(x)(ln 2)2(1ln 2)0，即f(x)0在0，)上恒成立，故f(x)在0，)上单调递增，又因为bff(2)f(2)，且21.12ln 40，所以f(21.1)f(2)f(ln 4)，即cba.跟踪演练3(1)C(2)(1，1)