专题01 数列大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练(新教材新高考)含解析.docx

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1、专题01 数列大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练(新教材新高考)专题01 数列大题解题秘籍1. 等差数列通项公式: 或 2. 等比数列通项公式:3. 的类型,公式4. 数列求和的常用方法:(1) 对于等差、等比数列,利用公式法可直接求解;等差数列求和,等比数列求和(2) 对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;万能公式:形如的数列求和为,其中,(3)对于结构,利用分组求和法;(4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.或通项公式为形式的数列,利用裂项相消法求和.即常见的裂项技巧:(1) ;(2) ;(

2、3)(4) (5) 指数型;(6) 对数型.(7)(8)(9)(10) 等模拟训练一、解答题1(2223保定二模)设等差数列的前n项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和2(2223潍坊三模)已知数列和满足(1)证明:和都是等比数列;(2)求的前项和3(2223广州三模)已知数列的前项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和,求证:4(2223山东二模)已知两个正项数列,满足,(1)求,的通项公式;(2)若数列满足,其中表示不超过的最大整数,求的前项和5(2223下绍兴二模)设数列的前项和为,数列是首项为1,公差为1的等差数列,(1)求数列的通项公式;(2

3、)设,求数列的前项和.6(2223济宁三模)已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.7(2223下无锡三模)记为数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求除以3的余数.8(2223下苏州三模)已知数列是公差不为0的等差数列,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前2023项和.9(2223下江苏三模)已知正项数列满足,.(1)求的通项公式;(2)记,求数列的前2023项的和.10(2223下镇江三模)已知数列的前项和为,满足.等差数列满足.(1)求的通项公式;(2)将数列满足_(在中任选一个条件)的第项取出,并按原

4、顺序组成一个新的数列,求的前20项和.,其中.11(2223张家口三模)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,证明:.12(2223汕头三模)设数列的前项和为,若,则称是“紧密数列”.(1)若,判断是否是“紧密数列”,并说明理由;(2)若数列前项和为,判断是否是“紧密数列”,并说明理由;(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”,求的取值范围.13(2223衡水一模)已知数列,满足,是等比数列,且的前项和.(1)求数列,的通项公式;(2)设数列,的前项和为,证明:.14(2223东莞三模)已知数列和,.(1)求证数列是等比数列;(2)求数列的前项和.15(

5、2223深圳二模)已知是等差数列,且,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)令,记,求.16(2223梅州三模)已知数列满足,.(1)证明:数列为等比数列.(2)数列满足,求数列的前项和.17(2223下长沙三模)已知等差数列前项和为,.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求和:.18(2223下岳阳三模)已知等比数列的前n项和为,其公比,且(1)求数列的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和19(2223济南三模)已知等差数列的前项和为,且满足.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的前项和.20(2324上永州一模)已知数列是公比的等比数列,前三项和为39,且成等差数列(1)求数列

6、的通项公式;(2)设,求的前项和21(2324上郴州一模)在数列中,为数列的前项和,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若.求数列的前项和.22(2223下湖北模拟预测)已知正项等比数列的前项和为,且成等差数列.(1)证明:数列是等比数列;(2)若,求数列的前项和.23(2223下武汉三模)记为数列的前n项和,已知,(1)求数列的通项公式;(2)设单调递增等差数列满足,且,成等比数列()求数列的通项公式;()设,试确定与的大小关系,并给出证明24(2223下襄阳三模)已知数列满足,且的前100项和(1)求的首项;(2)记,数列的前项和为,求证:.25(2223下武汉三模)已知各项均不为零的数

7、列的前项和为,.(1)求的通项公式;(2)若恒成立,求正整数的最大值.26(2324上湖北一模)已知正项数列的前项和,满足:(1)求数列的通项公式;(2)记,设数列的前项和为,求证27(2223日照三模)已知数列满足:.(1)当时,求数列中的第10项;(2)是否存在正数,使得数列是等比数列,若存在求出值并证明;若不存在,请说明理由.28(2223下烟台三模)已知数列(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和29(2223菏泽三模)已知数列的前项和为,且满足,数列是首项为1,公差为2的等差数列(1)分别求出数列的通项公式;(2)设数列,求出数列的前项和30(2223福州二模)已知数

8、列的前项和为,满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.31(2223唐山二模)已知为等差数列的前项和,且,当时,(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和32(2223宁德二模)已知为等差数列的前项和,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前15项和33(2223三明三模)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设,的前项和为,证明:.34(2223厦门三模)记为数列的前项和.已知.(1)证明:是等差数列;(2)若,成等比数列,求的最小值.35(2223龙岩二模)已知等差数列的首项为1,公差,前项和为,且为常数(1)求数列的通项公式;(2)令,证明:36(222

9、3下浙江二模)设数列的前n项和为,已知(1)求的通项公式;(2)设且,求数列的前n项和为37(2223下浙江二模)记为正数列的前项和,已知是等差数列.(1)求;(2)求最小的正整数,使得存在数列,.38(2223下江苏二模)已知等差数列的各项均为正数,.(1)求的前项和;(2)若数列满足,求的通项公式.39(2223下温州二模)已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数,求使的最大正整数的值.40(2223沧州三模)设公比为正数的等比数列的前项和为,满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列在区间中的项的个数,求数列前100项的和.专题

10、01 数列大题解题秘籍5. 等差数列通项公式: 或 6. 等比数列通项公式:7. 的类型,公式8. 数列求和的常用方法:(3) 对于等差、等比数列,利用公式法可直接求解;等差数列求和,等比数列求和(4) 对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;万能公式:形如的数列求和为,其中,(3)对于结构,利用分组求和法;(4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.或通项公式为形式的数列,利用裂项相消法求和.即常见的裂项技巧:(11) ;(12) ;(13)(14) (15) 指数型;(16) 对数型.(17)(18)(19)(20) 等模拟训练一、解答题1(2223保定

11、二模)设等差数列的前n项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意,列出关于与的方程,代入计算,即可得到结果;(2)根据题意,由裂项相消法代入计算,即可得到结果.【详解】(1)设数列的公差为d,由题意可得,解得,.(2)由(1)可知,2(2223潍坊三模)已知数列和满足(1)证明:和都是等比数列;(2)求的前项和【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由,两式相加、相减,结合等比数列的定义即可证明;(2)由(1)可得,即可求出和的通项公式,从而得到,再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】(1)因为,所以,又由,得,所

12、以数列是首项为,公比为的等比数列,数列是首项为,公比为的等比数列(2)由(1)得,所以,所以,所以3(2223广州三模)已知数列的前项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和,求证:【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)利用和的递推式,得出,进而求得的通项公式;(2)利用裂项相消法求得,即可得出结论.【详解】(1)因为,所以,因为,所以,即,所以即,又,所以数列是首项为,公比为的等比数列所以.(2),故数列的前项和,因为,所以,所以4(2223山东二模)已知两个正项数列,满足,(1)求,的通项公式;(2)若数列满足,其中表示不超过的最大整数,求的前项和【答案】(1),(2

13、)【分析】(1)依题意可得,即可求出、;(2)根据高斯函数先推出的解析式,再运用等差数列求和公式计算可得.【详解】(1)由,得,由,得,因为是正项数列,;(2)因为,所以,所以当时,当时满足,所以.5(2223下绍兴二模)设数列的前项和为,数列是首项为1,公差为1的等差数列,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据等差数列求得,即,再根据与的关系采用相减法即可求得数列的通项公式;(2)由题意得,利用等比数列求和公式即可得数列的前项和.【详解】(1)是首项为1,公差为1的等差数列,.时,也符合(2)显然于是6(2223济宁三模)已知数列的前项和为,

14、且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用与的关系得到为等比数列求解即可;(2)利用裂项相消法求和即可.【详解】(1)因为,当时,当时,所以,即,又因为,满足上式,所以是以为首项,为公比的等比数列,则.(2)因为,所以.7(2223下无锡三模)记为数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求除以3的余数.【答案】(1)(2)2【分析】(1)根据等差数列的定义和增位相减以及累乘法即可求解;(2)根据等比数列求和和二项式定理即可求解.【详解】(1)因为,所以是首项为1,公差为的等差数列,所以,即,所以,由可得,即,所以.(

15、2)由(1)可得,则,所以,所以所以除以3的余数为2.8(2223下苏州三模)已知数列是公差不为0的等差数列,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前2023项和.【答案】(1)(2)1012【分析】(1)根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和;(2)根据数列的周期性求解.【详解】(1)设等差数列的公差为,由题意可知,即解得,所以;(2)由(1)可知,对于任意,有,所以,故数列的前2023项和为.9(2223下江苏三模)已知正项数列满足,.(1)求的通项公式;(2)记,求数列的前2023项的和.【答案】(1)(2)2023【分析】(1)由递推关系式,结合累加法求得的

16、通项公式,分析可得的通项公式;(2)根据的关系式,结合并项求和即可得的前2023项的和.【详解】(1)对任意的,因为,当时,因为,故.当时,符合,所以,.(2),所以当时,故.10(2223下镇江三模)已知数列的前项和为,满足.等差数列满足.(1)求的通项公式;(2)将数列满足_(在中任选一个条件)的第项取出,并按原顺序组成一个新的数列,求的前20项和.,其中.【答案】(1),(2)【分析】(1)根据利用可得,利用等差数列定义可求得;(2)选择都可以得到新组成的数列是原来数列的偶数项,利用等比数列前项和公式即可得.【详解】(1)因为数列满足,当时,解得;当时,-得,即因,所以,从而,所以数列是

17、以为首项,为公比的等比数列.所以.因为等差数列满足.所以.设公差为,则,解得.所以.所以数列的通项公式为,数列的通项公式为;(2)若选,则有.所以取出的项就是原数列的偶数项,所以是以4为首项,4为公比的等比数列,所以;若选,则有,因为所以当时,对应的,由二项展开式可知能被3 整除,此时为整数,满足题意;当时,对应的,由二项展开式可知所以除以3 的余数是1,不能整除,即此时不是整数,不满足题意;所以取出的项就是原数列的偶数项,所以是以4为首项,4为公比的等比数列,所以.11(2223张家口三模)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【

18、分析】(1)根据题意,求得;当时,可得,两式相减得,得到,进而求得数列的通项公式;(2)令,得到,结合裂项法求和,求得,即可得证.【详解】(1)解:由题意,数列满足,当时,可得,解得;当时,可得,两式相减得,所以,当时,适合上式,所以数列的通项公式为.(2)解:令,由,可得,所以,因为,可得,所以.12(2223汕头三模)设数列的前项和为,若,则称是“紧密数列”.(1)若,判断是否是“紧密数列”,并说明理由;(2)若数列前项和为,判断是否是“紧密数列”,并说明理由;(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”,求的取值范围.【答案】(1)不是“紧密数列”,理由见解析(2)数列是“紧

19、密数列”,理由见解析(3)【分析】(1)利用“紧密数列”的定义判断即可;(2)利用求得数列的通项公式,再证得,由此证得是“紧密数列”;(3)先根据是“紧密数列”,求得的一个取值范围,对于对分成、和三种情况,利用列不等式组,由此求得的取值范围.【详解】(1),所以不是“紧密数列”;(2)数列为“紧密数列;理由如下:数列的前项和,当时,;当时,又,即满足,因此,所以对任意,所以,因此数列为“紧密”数列;(3)因为数列是公比为的等比数列,前项和为,当时,有,所以,满足题意;当时.,因为为“紧密数列,所以.即或,当时,所以,满足为“紧密”数列;当时,不满足为“紧密数列;综上,实数的取值范围是.13(2

20、223衡水一模)已知数列,满足,是等比数列,且的前项和.(1)求数列,的通项公式;(2)设数列,的前项和为,证明:.【答案】(1),(2)证明见解析【分析】(1)由前项和与通项之间关系可求得,进而由已知等式得到,推导可得;(2)由(1)可得,采用裂项相消法可整理得到,结合和可证得结论.【详解】(1)当时,;当且时,;经检验:满足,;当时,;当且时,;经检验:满足,.(2)由(1)知:,;,在上单调递减,在上单调递增,;又,.14(2223东莞三模)已知数列和,.(1)求证数列是等比数列;(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)通过题中关系,可得,进而可得数列是以为首项

21、,公比为的等比数列.(2)由(1)可得,则,可利用分组求和与错位相减求和解题.【详解】(1)由,得,整理得,而,所以数列是以为首项,公比为的等比数列(2)由(1)知,设,则,两式相减得,从而.15(2223深圳二模)已知是等差数列,且,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)令,记,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程,求出,即可求出通项;(2)由(1)可得,在分为偶数、奇数两种情况讨论,利用并项求和法计算可得.【详解】(1)因为是等差数列,且,成等比数列,所以,即,解得或(舍去),所以(2)由题意知,所以当为偶数时,当为奇数时,综上16(222

22、3梅州三模)已知数列满足,.(1)证明:数列为等比数列.(2)数列满足,求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由已知递推式可得,结合,可得,即可证明数列为以2为首项,以2为公比的等比数列;(2)由已知,得,两式作差可得,再由错位相减法求数列的前项和【详解】(1),已知,得,可得,数列为以2为首项,以2为公比的等比数列;(2)由(1)知,由,取,得,可得;当时,得:,即也满足上式,两式作差得:,17(2223下长沙三模)已知等差数列前项和为,.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求和:.【答案】(1)(2)【分析】(1)先利用等差数列前项和公式与性质得到,从而结合条件求得

23、公差,从而得解;(2)先利用推递作差法求得,从而求得,再利用错位相减法即可得解.【详解】(1)因为等差数列前项和为,所以,又,所以,又,所以是首项为1,公差为2的等差数列,所以的通项公式为.(2)因为,所以,两式相减得:,又满足上式,所以,又,所以.所以,两式相减得:.18(2223下岳阳三模)已知等比数列的前n项和为,其公比,且(1)求数列的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知条件求出公比,直接写出等比数列的通项公式即可;(2)由(1)得,分组求和即可,注意分类讨论的思想.【详解】(1)因为是等比数列,公比为,则 ,所以,解得,由,可得,解得,所以数

24、列的通项公式为(2)由(1)得,当n为偶数时,;当n为奇数时;综上所述:.19(2223济南三模)已知等差数列的前项和为,且满足.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)设等差数列的公差为,利用等差数列的通项公式和前项和公式计算可得答案;(2)由题意可知,利用错位相减求和可得答案.【详解】(1)设等差数列的公差为,因为.所以,所以,所以;(2)由题意可知,所以,得,.20(2324上永州一模)已知数列是公比的等比数列,前三项和为39,且成等差数列(1)求数列的通项公式;(2)设,求的前项和【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意列出方程组,求出首项

25、和公比,即可得答案;(2)利用(1)的结论化简,利用裂项求和法即可求得答案.【详解】(1)由题意可得,即得,则,即,可得,由于,故得,则,故;(2)由(1)结论可得,故的前项和.21(2324上郴州一模)在数列中,为数列的前项和,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若.求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由前n项和求递推关系,应用等比数列定义证明等比求通项公式;(2)应用裂项相消法计算即可.【详解】(1)当时,解得.当时,即,易知,所以.所以是以为首项,以2为公比的等比数列.故.(2),22(2223下湖北模拟预测)已知正项等比数列的前项和为,且成等差数列.(1)证明:数列是等

26、比数列;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)通过基本量计算可得,然后由等比数列前n项和公式可得,利用定义可证;(2)由错位相减法可得.【详解】(1)设等比数列的公比为,因为成等差数列,所以1,所以,即,又正项等比数列,所以,解得,因为,所以,得,所以所以,所以,又,所以数列是首项为,公比为的等比数列;(2)由(1)得,所以,所以-得,整理得:.23(2223下武汉三模)记为数列的前n项和,已知,(1)求数列的通项公式;(2)设单调递增等差数列满足,且,成等比数列()求数列的通项公式;()设,试确定与的大小关系,并给出证明【答案】(1),(2)(),;(),证明

27、见解析【分析】(1)根据与的关系计算即可,同时注意讨论的情况;(2) 对于()结合上问结果及等比中项的性质建立方程计算公差即可;对于(i)由,可放缩,裂项求和即可证明结论.【详解】(1)因为,所以,所以,整理得又因为,所以当时,所以,当时,不满足所以,.(2)()设数列的公差为因为,成等比数列,且,所以,即又因为,所以所以数列的通项公式为,(i)证明如下:由()知,易知所以,24(2223下襄阳三模)已知数列满足,且的前100项和(1)求的首项;(2)记,数列的前项和为,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)分为奇数和为偶数两种情况进而讨论即可求解;(2)结合(1)的结论,利用裂

28、项相消法即可求解.【详解】(1)当为奇数时,;则偶数项构成以为公差的等差数列,所以当为偶数时,;当为偶数时,则奇数项构成以1为公差的等差数列,所以当为奇数时,则,又,所以,解得,.(2)由(1)得,当时,综上,知.25(2223下武汉三模)已知各项均不为零的数列的前项和为,.(1)求的通项公式;(2)若恒成立,求正整数的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意,当时,求得,当时,得到,两式相减化简求得,得到数列中奇数项和偶数项分别构成等差数列,进而求得数列的通项公式;(2)由(1)求得,结合当时,和当时,即可求解.【详解】(1)解:由题意,各项均不为零的数列的前项和为,满足且,当时,

29、解得,当时,两式相减得,因为数列中各项均不为零,即.所以数列中奇数项是以为首项,2为公差的等差数列;偶数项是以为首项,2为公差的等差数列,当时,即;当时,即,综上,数列的通项公式为.(2)解:由(1)知数列是以1为首项,1为公差的等差数列,可得,因为,所以,当时,即不等式恒成立;当时,.故正整数的最大值为.26(2324上湖北一模)已知正项数列的前项和,满足:(1)求数列的通项公式;(2)记,设数列的前项和为,求证【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)由,把用1代入算出首项,再用退位相减法发现其为等差数列,则数列通项可求;(2)由(1)可先算出,代入求得通项并裂项,再求和即可证明.【详解

30、】(1)当时,解得当时,由,可得,得:,即,是以1为首项,以2为公差的等差数列,数列的通项公式(2)由(1)可得,.27(2223日照三模)已知数列满足:.(1)当时,求数列中的第10项;(2)是否存在正数,使得数列是等比数列,若存在求出值并证明;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,证明见解析【分析】(1)根据隔项等比数列的定义和通项公式即可求解;(2)根据是等比数列的必要条件解出,再根据证明充分性即可.【详解】(1)由已知,所以,相除得;又,所以,所以.(2)假设存在正数,使得数列是等比数列,由得,由,得,因为是等比数列,即,下面证明时数列是等比数列,由(1)知数列和都是公比是的

31、等比数列,所以,;所以为奇数时,为偶数时,所以对一切正整数,都有,所以,所以存在正数使得数列是等比数列.28(2223下烟台三模)已知数列(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】(1)先把题干条件等价变成,然后用累加法进行求解;(2)结合特殊的三角函数值,利用分组求和进行求解.【详解】(1)由得,所以时,故,又,则,当时,成立,所以,(2)由(1)知,所以,因为,于是,所以,故数列的前项和为29(2223菏泽三模)已知数列的前项和为,且满足,数列是首项为1,公差为2的等差数列(1)分别求出数列的通项公式;(2)设数列,求出数列的前项和【答案】(1),

32、(2)【分析】(1)当时,根据,利用两式相减得,由等比数列的通项公式可求出;根据等差数列的通项公式可求出;(2)根据错位相减法可求出结果.【详解】(1)当时,得,当时,所以,所以,即,因为,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,所以.因为数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以,则,(2)由(1)知,所以,所以,所以,所以,化简得.30(2223福州二模)已知数列的前项和为,满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由与的关系可求出通项公式;(2)利用裂项相消法求数列的和即可.【详解】(1)当时,得,当时,得,所以数列是以2为首项,公比为3的等比

33、数列,所以.(2)由(1)可得,所以,所以31(2223唐山二模)已知为等差数列的前项和,且,当时,(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】(1)设等差数列的公差为,根据已知条件求出可得答案;(2)利用裂项相消求和可得答案【详解】(1)设等差数列的公差为,由题意得,即,所以,数列的首项为3,公差为1,则,即;(2)由,得,所以32(2223宁德二模)已知为等差数列的前项和,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前15项和【答案】(1)(2)【分析】(1)根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解,(2)根据分组求和,结合等比数列的求和公式即可求解.

34、【详解】(1)设等差数列的公差为,且,(2)由(1)可知其中故的前15项和为33(2223三明三模)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设,的前项和为,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)取倒数结合等差数列的通项计算即可;(2)利用裂项法求得,结合,即可证明结论.【详解】(1)因为,所以,所以.所以,所以为等差数列,首项为,公差,所以,所以(2)证明:因为,所以.所以,因为,所以,即.34(2223厦门三模)记为数列的前项和.已知.(1)证明:是等差数列;(2)若,成等比数列,求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)应用等差数列定义证明等差数列;(2)

35、应用等比数列列式求参,再应用等差数列求和公式计算求解.【详解】(1)证明:由,把换成,-可得:,整理得:,由等差数列定义可得为等差数列;(2)由已知有,设等差数列的首项为,由(1)可得其公差为1,故,解得,故,所以,故可得:,故在或者时取最小值,故的最小值为.35(2223龙岩二模)已知等差数列的首项为1,公差,前项和为,且为常数(1)求数列的通项公式;(2)令,证明:【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)由为常数,则为常数,即,然后结合等差数列的通项公式求解即可;(2)由(1)可得,然后累加求和即可得证【详解】(1)依题意,得:,即所以,化简得:因为,所以所以经检验:成立(2)解法一:

36、因为所以,所以解法二:所以36(2223下浙江二模)设数列的前n项和为,已知(1)求的通项公式;(2)设且,求数列的前n项和为【答案】(1)(2),【分析】(1)利用及等比数列的定义求的通项公式;(2)讨论的奇偶性,应用分组求和及等比数列前n项和公式求.【详解】(1)当时,当时,所以是首项为1,公比为2的等比数列,则.(2)由题设知:,当为偶数时,;当为奇数时,;综上,.37(2223下浙江二模)记为正数列的前项和,已知是等差数列.(1)求;(2)求最小的正整数,使得存在数列,.【答案】(1)1(2)3【分析】(1)根据题意可推得,即得,即可得答案;(2)利用(1)中结论可得,结合基本不等式求

37、得,验证后即得答案.【详解】(1)由题意是等差数列,设其公差为d,则,则,故.(2)由(1)可知,一方面,故,当且仅当时,取等号,由于m为正整数,故,另一方面,时,满足条件,综上所述,正整数m的最小值是338(2223下江苏二模)已知等差数列的各项均为正数,.(1)求的前项和;(2)若数列满足,求的通项公式.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等差数列的性质得到,根据等差数列的通项公式求出公差,代入等差数列的前项和公式进而求解;(2)结合(1)的结论得到,进而得到,利用累乘法求出.【详解】(1)等差数列中,因为,所以,又因为等差数列的各项均为正数.所以,又因为,所以.所以.(2)由(1)得,

38、因为,且,所以,所以.所以.所以.当时也符合.所以的通项公式为.39(2223下温州二模)已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数,求使的最大正整数的值.【答案】(1)(2)64【分析】(1)根据题意列式求解,进而可得结果;(2)由(1)可得,根据题意可得,根据等差数列的求和公式分析运算即可.【详解】(1)设等差数列的公差为d,由题意可得,解得,所以数列的通项公式.(2)由(1)可得,则,所以,因为,则,所以,则,即数列是以首项为0,公差为1的等差数列,则,即,又因为在上单调递增,且,所以使的最大正整数的值为64.40(2223沧州三模)设公比为正数的等比数列的前项和为,满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列在区间中的项的个数,求数列前100项的和.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等比数列的基本量运算即得;(2)根据条件确定的取值,进而利用分组求和法即得.【详解】(1)设公比为,由,得,即,得,解得或(舍去),得,又,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,故数列的通项公式为.(2)由为数列在区间中的项的个数,可知,.当时,;当时,;当时,;当时,.数列前100项的和为.

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