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1、专题03 立体几何大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）专题03 立体几何大题解题秘籍1. 空间中的平行关系（1） 线线平行（2） 线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3） 线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4） 面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5） 面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平
2、行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2. 空间中的垂直关系（1） 线线垂直（2） 线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3） 线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4） 面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）（5） 面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3. 异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示
3、异面直线的方向向量）4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量).5. 二面角的平面角（，为平面，的法向量）.6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.模拟训练一、解答题1（2223下湖南二模）如图，在直三棱柱中，点为棱的中点，(1)求的长度；(2)求平面与平面夹角的余弦值2（2223下绍兴二模）如图，在多面体中，平面为正三角形，为等腰Rt.(1)求证：；(2)若平面，求直线与平面所成的线面角的正弦值.3（2223张家口三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.4（2223湛江二模）如图1，在五边形中，四边形为正方形，如图2
4、，将沿折起，使得A至处，且(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值5（2223下长沙三模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，点在上.(1)若平面，求；(2)若是的中点，求二面角的正弦值.6（2223下湖北二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.7（2223深圳二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，且，求直线与平面所成角的正弦值.8（2223下温州二模）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为(1)求证：；(2
5、)求二面角的平面角的正弦值9（2223下浙江二模）如图，四面体，为上的点，且与平面所成角为，(1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值.10（2223下襄阳三模）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，在底面的射影为的中点，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.11（2223唐山二模）如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，M是的中点(1)证明：(2)求二面角的正弦值12（2223下盐城三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，四点共面.(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.13（
6、2223下江苏三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.(1)当时，证明：平面；(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.14（2223下镇江三模）如图，四边形是边长为2的菱形，四边形为矩形，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.与平面所成角相等；三棱锥体积为；(1)平面平面；(2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离.15（2223下江苏一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，是的中点.(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.16（22
7、23下河北三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点(1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标17（2223汕头三模）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.18（1920下临沂二模）如图，在中，B为直角，ABBC6，EFBC，AE2，沿EF将折起，使，得到如图的几何体，点D在线段AC上(1)求证：平面平面ABC；(
8、2)若平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值19（2223下广州三模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.20（2223下长沙一模）斜三棱柱的各棱长都为2，点在下底面ABC的投影为AB的中点O(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点到平面的距离21（2223下长沙三模）如图，三棱台，平面平面， ，与相交于点，且平面.(1)求三棱锥的体积；(2)平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.22（2223衡水一
9、模）如图所示，四点共面，其中，点在平面的同侧，且平面，平面.(1)若直线平面，求证：平面；(2)若，平面平面，求锐二面角的余弦值.23（2223下湖北三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值24（2223下武汉三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.(1)求证：平面平面PBC；(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.25（2223下黄冈三模）如图1，在四边形中，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体(1)若为的中点，证明：平面；(2)若为上一
10、动点，且二面角的余弦值为，求的值26（2223德州三模）图1是直角梯形，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2(1)求证：平面平面；(2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值27（2223山东二模）如图，在四棱锥中，平面，(1)证明：；(2)若为线段的靠近点的四等分点，判断直线与平面是否相交？如果相交，求出到交点的距离，如果不相交，说明理由28（2223黄山三模）如图，在直角梯形ABCD中，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面平面，G是线段上一动点（不含端点）(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的
11、正弦值29（2223菏泽三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由30（2223福州三模）如图，在三棱锥中，底面，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点.(1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.31（2223福州二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.(1)当时，证明：平面平面；(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使
12、得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.32（2223三明三模）如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，将沿折起，使点到达点的位置，且.(1)当时，证明并求四棱锥的体积；(2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值.33（2223宁德一模）如图在平行四边形中，将沿折起，使平面平面，得到图所示几何体(1)若为的中点，求四棱锥的体积；(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由34（2223龙岩二模）三棱柱中，侧面为矩形，三棱锥的体积为(1)求侧棱的长；(2)侧棱上是否存
13、在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由35（2223下浙江二模）如图，在多面体中，平面，为等边三角形，点是的中点(1)若点是的重心，证明；点在平面内；(2)求二面角的正弦值36（2223下浙江三模）如图，三棱台中，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.37（2223下苏州三模）如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.(1)求二面角的余弦值；(2)在平面内找一点，使
14、得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.38（2223沧州三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.39（2324上永州一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且(1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值40（2223潍坊三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，(1)求证：平面；(2)求证：平面平面(3)若点为线段上的动点当直线与平面所成角的正弦值
15、最大时，求此时点到平面的距离专题03 立体几何大题解题秘籍7. 空间中的平行关系（6） 线线平行（7） 线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（8） 线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（9） 面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（10） 面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行8. 空间中的垂直关
16、系（6） 线线垂直（7） 线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（8） 线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（9） 面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）（10） 面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面9. 异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）10. 直线与平面所成角，(为平面的法向量).11. 二面角的平面角（，为
17、平面，的法向量）.12. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.模拟训练一、解答题1（2223下湖南二模）如图，在直三棱柱中，点为棱的中点，(1)求的长度；(2)求平面与平面夹角的余弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，用余弦定理可得到，在中，用余弦定理可得，即可求得；（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解【详解】（1）因为在直三棱柱中，在中，由余弦定理得，解得，则，在中，由余弦定理得，解得，又，所以，因为平面，平面，所以，在直角三角形中，；（2）因为，所以，则，则两两互相垂直，以为原点，分别以所在的直线为轴建立如下图
18、所示的空间直角坐标系：则点，则，设平面的法向量为，由，得，令，得平面的一个法向量为；平面的一个法向量为设平面与平面夹角的大小为，则，故平面与平面夹角的余弦值为2（2223下绍兴二模）如图，在多面体中，平面为正三角形，为等腰Rt.(1)求证：；(2)若平面，求直线与平面所成的线面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（2）法一：由分析可知，就是直线与平面所成的线面角，设，当时，与重合，可得两点重合，不符合题意，当时，求出，即可得出答案；法二：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】
19、（1）设为中点，连接，则由为正三角形，得；平面，且为等腰直角三角形，计算可得：.面，于是面，面，从而.（2）法一：由（1）可知，过点作，垂足为，则就是直线与平面所成的线面角.当平面时，可得到平面的距离为.设，所以，可得，当时，不妨设在底面射影为，则，此时与重合，可得两点重合，不符合题意，舍去；当时，此时在的延长线上，作，由于为矩形，可得，可得，可得.于是.法二：建立如图坐标系，可得，由，解得，又平面，令，可得，解得.当时重合，所以，此时.不妨设平面的法向量为，则代入得，令，则，所以.由于，不妨设所成角为，则.3（2223张家口三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.(1)证明：平面平面；(2)求
20、平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】（1）如图，连接，交于，连接. 因为侧面为菱形，所以，且为的中点.又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因为平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，两两互相垂直，因此以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.故，.设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.因为平面平面，所以也是平面的一个法向量.所以.所以平面与平面夹角的余弦值.4（22
21、23湛江二模）如图1，在五边形中，四边形为正方形，如图2，将沿折起，使得A至处，且(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知易得，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可【详解】（1）由题意得，因为，则，又，面，所以面，又面，则，又，平面，平面，所以平面（2）取的中点，可知，由，且可得，所以四边形是平行四边形，所以，则平面，设，以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，由图可知，二面角为锐角，所以面角的余弦值为 5（222
22、3下长沙三模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，点在上.(1)若平面，求；(2)若是的中点，求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）记中点为，连接、，依题意可得，根据面面垂直的性质得到平面，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，依题意可得求出的值，即可得解；（2）依题意点与点重合，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）记中点为，连接、，为正三角形，则，且.因为平面平面 ，平面平面，平面，所以平面，又为正三角形，所以，所以，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，则，设，则，因为平面，所以，解得，所以为的中点，此时.（2）若是的中点，则
23、点与点重合，则平面的一个法向量可以为，设二面角为，显然二面角为锐角，则，所以，所以二面角的正弦值为.6（2223下湖北二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出辅助线，找到符合要求的，并利用垂径定理得到最小值；（2）在第一问基础上，得到当取得最小值时，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）过点作交于点，过点H作，此时满足平面，由平面几何知识易知，当弦心距最大时，弦长最短，即取得最小值，因为，所以，因为，由勾股定理得，故，连接，则，由勾股定理得，所以；
24、（2）连接，则平面ACB，因为平面ACB，故，而，所以平面，即有.以O为坐标原点，过点且平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线与平面所成角的大小为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.7（2223深圳二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论；（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向
25、量求解即可.【详解】（1）证明：因为，点是的中点，所以.因为平面平面，所以平面平面，因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面，所以平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由题意可得两两垂直，设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，因为点是的中点，所以， 所以，设平面的法向量为，则，令可得，所以平面的一个法向量.，设，即，所以.又，所以，化简得，解得或（舍去）.所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.8（2223下温州二模）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正弦值【答案】(1
26、)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，即可得证；（2）取正三角形的中心，连接，从而可得平面，则即为与平面所成角的平面角，进而可得，取中点为，连接，则，故即为二面角的平面角，解即可得解.【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以，因为是边长为3的正三角形，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取正三角形的中心，连接，则点在上，且，由，是正三角形，得三棱锥为正三棱锥，则平面，故即为与平面所成角的平面角，又与平面所成角的余弦值为，所以，即，即三棱锥是正四面体，取中点为，连接，则，故即为二面角的平面角，在中，则，所以，所以二面角的平面角的正弦值9（2223下浙江二模）如图，四
27、面体，为上的点，且与平面所成角为，(1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析【分析】（1）取中点，可证明平面，得平面平面，在平面内的射影就是直线，是与平面所成的角，即，由正弦定理求得，有两个解，在时可证平面，在时，取中点证明平面，然后由棱锥体积公式计算体积；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【详解】（1）取中点，连接，因为，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，由已知，所以，由平面，平面得平面平面，因此在平面内的射影就是直线，所以是与平面所成的角，即，因此，在中，由正弦定理得，为内角，所以或，若，则，即，平面，所以平面，；若
28、，则，取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，而平面，所以平面，所以；（2）若，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以点坐标为，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，所以二面角的余弦值是；若，以为轴，为轴，过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以点坐标为，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，所以二面角的余弦值是10（2223下襄阳三模）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，在底面的射影为的中点，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1
29、)利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.【详解】（1）如图，面，连，则，又，又，面，面，于是面，又面，所以面面.（2）由(1)可得，以为轴，建系如图，则因为,所以,则,因为,所以,设平面的一个法向量为，因为,所以，令，则，所以，设平面的一个法向量为，因为,所以，令，则，所以，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.11（2223唐山二模）如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，M是的中点(1)证明：(2)求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质、结合面面垂直的性质，线面垂直的判定定理进行证明即
30、可；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式进行求解即sk.【详解】（1）取的中点，连接，在三棱柱中，由，得四边形为菱形，所以，易知，则由是等边三角形，知，又平面平面，平面平面，平面，知平面，则，又平面，得平面，又平面，故.（2）连接，因为侧面为菱形，则，则为等边三角形，所以，又由（1）易知，两两垂直，故以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系不妨设，则，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，所以，即二面角的正弦值为12（2223下盐城三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，四点共面.(1)证明：平面平面
31、；(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离.【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，所以，又为弧的中点，则是弧的中点，所以，而由题设知：，则，所以，即，由底面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由
32、题意，构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，则，所以，若是面的一个法向量，则，令，则，若是面的一个法向量，则，令，则，所以，整理可得，则，又，由题设可知，此时点，则，所以点到直线的距离.13（2223下江苏三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.(1)当时，证明：平面；(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.【答案】(1)证明见解析；(2)点在距离点处【分析】（1）利用勾股定理证明出和，再用线面垂直的判定定理证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为，所以是正三角形，则，又底面圆，底面
33、圆，所以，在中，所以，因为是正三角形，所以，所以，同理可证，又，平面，所以平面.（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系.设，（），所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线和平面所成的角为，则，当且仅当，即时，直线和平面所成角的正弦值最大，故点在距离点处.14（2223下镇江三模）如图，四边形是边长为2的菱形，四边形为矩形，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.与平面所成角相等；三棱锥体积为；(1)平面平面；(2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）若选，则作面，证明和
34、重合从而得到面，从而得到面面垂直；若选，计算得到到面的距离，得到面，从而得到面面垂直；若选，通过余弦定理计算得到，再通过面，从而得到面面垂直；（2）通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合二面角计算公式计算即可；（3）通过点面距离的计算公式直接计算即可.【详解】（1）选，连接，作面，垂足为.与平面所成角相等，在的中垂线上，在平面内，,和重合，面，又面，面面若选，设到面的距离为，得，即为到面的距离，即面，又面，面面.若选，由余弦定理得，又面面，又面面面（2）因为面，面，所以，取中点，则，所以，又因为，所以建立如下图所示空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，设平面的一个法
35、向量为，则，即，令，则，由图可知二面角是钝角，所以二面角的大小为.（3），平面的一个法向量为，点到平面的距离.15（2223下江苏一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，是的中点.(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作交于点，由面面垂直的性质可得平面，可得，再由线面垂直的判定定理得平面，从而得到，再由线面垂直的判定定理可得答案；（2）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，可得，求出平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为侧面为菱形，所以为边长为的等边三角形，作交于点，则点为的
36、中点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，平面，可得平面，因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，平面，所以平面；（2）由（1）知，平面，取做的中点，连接，则，所以平面，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.16（2223下河北三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点(1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标【
37、答案】(1)是的中点(2)，【分析】（1）根据面面平行的性质证明，即可得解；（2）先根据球的体积求出，然后根据空间中两点间的距离公式即可得解.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，因为是的中点，所以是的中点；（2）由题意，解得，设，由题意，则，则，则，解得或，当时，则，当时，设，则，所以，解得，则，综上所述点的坐标为，.17（2223汕头三模）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.【答案】(1)作图见解析，理由见解析(2)【分析】(1)根据线面平行的判定和中位线定理
38、即可求解;(2)根据几何关系或空间向量方法即可求解.【详解】（1）取中点，作直线即为所求，取中点，连接，则有，如图，在等腰梯形中，有，则四边形为平行四边形，即有，又平面平面，所以平面.（2）法一：延长交于点，故平面平面故平面平面即在中，均为圆锥母线.过点作于.在等腰梯形中，此梯形的高等腰梯形的面积为，所以四棱锥的体积，解得，故点与重合，由，得，且，故.中，到距离.则面积,得：的最小值为：.法二：同法一求出的位置.以为原点，方向为轴正向建立空间直角坐标系，设面的法向量为，取，有；同理可得面的法向量为,由面面，可知，设的方向向量为，故取,下面分2个方法求求方法1：，当时，取最小值为.求方法2：在上
39、的投影向量的模为故的最小值即到的距离为.法三:在三角形中，,所以.18（1920下临沂二模）如图，在中，B为直角，ABBC6，EFBC，AE2，沿EF将折起，使，得到如图的几何体，点D在线段AC上(1)求证：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由余弦定理计算证明，再利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理作答.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦作答.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，则，有，于是，即有，又平面，因此平面，而平面，则，又因为平面，从而平面，而平面，所以平面平面.（
40、2）以为原点，以分别为轴，过点垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，由（1）知，平面，而，则有平面，则，连接与交于点，连接，因为平面，平面，平面平面，则，有，在四边形中，由，得，即，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，于是，所以直线与平面所成角的正弦值为.19（2223下广州三模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论；（2
41、）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）连接，分别是线段的中点，底面四边形为正方形，平面，平面，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，；设直线与平面所成角为，解得：或（舍），平面，平面，；，平面，平面，到平面的距离为，.20（2223下长沙一模）斜三棱柱的各棱长都为2，点在下底面ABC的投影为AB的中点O(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点到平面的距离【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）连接，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，设，根据，求出即可；（2）利用向量法求解即可.【详解】（1）连接，因为，为的中点，所以，由题意知平面ABC，又，所以，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，则，由得，同理得，设，得，又，由，得，得，又，存在点D且满足条件；（2）设平面的法向量为，则有，可取，又，点到平面的距离为，