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1、专题05 导数大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）专题05 导数大题解题秘籍1. 导函数与原函数的关系单调递增，单调递减2. 极值（1） 极值的定义在处先后，在处取得极大值在处先后，在处取得极小值3. 两招破解不等式的恒成立问题(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函
2、数的极值；第三步：构建不等式求解4. 常用函数不等式：，其加强不等式；，其加强不等式.，放缩，5. 利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.6. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（2）证明（或）（、都为正数）：首先构造函数，
3、求导，确定函数和函数的单调性；确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：由题中等式中产生对数；将所得含对数的等式进行变形得到；利用对数平均不等式来证明相应的问题.模拟训练一、解答题1（2324上郴州一模）已知函数.(1)若曲线在处切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.2（2223下烟台三模）已知函数，其中(1)讨论方程实数解的个数；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围3（2223广州三模）已知函数，(1)求函数的单调区间；(2)讨论函数的零点个数4（2324上宁
4、波一模）已知函数（e为自然对数的底数，）.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，5（2223下镇江三模）已知函数.(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.(2)在（1）的条件下，求证：.6（2223下无锡三模）已知函数.(1)求的极值；(2)求证：.7（2223下浙江二模）设，已知函数有个不同零点.(1)当时，求函数的最小值：(2)求实数的取值范围；(3)设函数的三个零点分别为、，且，证明：存在唯一的实数，使得、成等差数列.8（2223下苏州三模）设函数.(1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；当时，；在上单调递增.(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.9（2223
5、下江苏三模）已知函数，.(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.（i）求实数a的取值范围；（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）10（2223下河北三模）已知函数(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若为函数的导函数，有两个零点（）求实数的取值范围；（）证明：11（2223深圳二模）已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.12（2223下长沙三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有三个零点，且在处的切线经过点，求证：.13（2223下湖南二模
6、）已知函数(1)求的最小值；(2)证明：方程有三个不等实根14（2223下长沙二模）已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.若时，函数是“恒切函数”，求证：.15（2223下湖北三模）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若，在内存在不等实数，使得，证明：16（2223下武汉三模）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（）求实数a的取值范围；（）求证：17（2223保定二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数(1)若，求的最小值；(2)若函数恰有一个零点，求a的值18（2223下
7、武汉三模）已知，其中.(1)若，讨论的单调性；(2)已知是的两个零点，且，证明：.19（2223下黄冈二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，设两实数，其中，且.证明：.20（2223德州三模）已知函数，其中(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围21（2223日照三模）已知函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.22（2223菏泽三模）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(3)若，且在上恒成立，证明：23（2223沧州三模）已知函数，.
8、(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)证明：对任意的，为自然对数的底数.24（2223三明三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.25（2223厦门三模）已知函数.(1)若，设，讨论函数的单调性；(2)令，若存在，使得，求的取值范围.26（2223龙岩二模）已知函数，(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；(2)若，且，证明：27（2223下温州三模）已知函数.(1)证明：函数在上有且只有一个零点；(2)当时，求函数的最小值；(3)设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值.28（2223下浙江二模）已知函数，(1)求证：；(2)若函数有三个不同的零
9、点，（）求a的取值范围；（）求证：29（2223下绍兴二模）设函数，其中.(1)当时，求函数的值域；(2)设，当时，证明：函数恰有两个零点；若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.30（2223下浙江三模）已知函数.(1)令，讨论的单调性；(2)证明：；(3)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.31（2223下江苏三模）已知函数，(1)若，证明：当时；(2)当时，求a的取值范围32（2223保定二模）已知函数(1)当时，求在点处的切线方程(2)若的图象恒在轴上方，求实数的取值范围33（2223深圳二模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，试证明函数恰有三个零点；记中
10、的三个零点分别为，且，试证明.34（2223衡水一模）已知函数，其中.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.35（2223下广州三模）已知函数，.(1)讨论零点的个数；(2)当时，若存在，使得，求证：.36（2324上永州一模）已知函数(1)当时，求证：；(2)若时，求实数的取值范围37（2223下襄阳三模）已知：函数，且，.(1)求证：；(2)设，试比较，的大小.38（2223潍坊三模）已知函数有两个极值点(1)求实数的取值范围；(2)证明：39（2223山东二模）已知函数在点处的切线方程为(1)求，；(2)若函数有两个零点，且，证明：40（2223宁德二模）已
11、知函数 (1)当且时，求函数的单调区间；(2)当时，若函数的两个极值点分别为，证明：专题05 导数大题解题秘籍7. 导函数与原函数的关系单调递增，单调递减8. 极值（2） 极值的定义在处先后，在处取得极大值在处先后，在处取得极小值9. 两招破解不等式的恒成立问题(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解10.
12、 常用函数不等式：，其加强不等式；，其加强不等式.，放缩，11. 利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.12. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（2）证明（或）（、都为正数）：首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；确
13、定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：由题中等式中产生对数；将所得含对数的等式进行变形得到；利用对数平均不等式来证明相应的问题.模拟训练一、解答题1（2324上郴州一模）已知函数.(1)若曲线在处切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）分类讨论的取值情况，利用导数分析的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.【详解】（1）因为，所以，因为曲线在处切线与轴平行，所以，解得，又，所以.（2
14、）的定义域为，当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值，满足题意；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值，满足题意；当时，（i）当时，所以在上单调递增，无极值，不满足题意；（ii）当时，令，得，令，得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极小值，不满足题意；（iii）当时，令，得，令，得或.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.在处取得极大值，满足题意；综上所述，的取值范围为.2（2223下烟台三模）已知函数，其中(1)讨论方程实数解的个数；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由
15、即方程有没有解的问题，转化为函数与轴有没有交点问题，分类讨论即可得出结果.（2）不等式可化为：，就、分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）由可得，令，令，可得，当，函数单调递减，当，函数单调递增，所以函数在时取得最小值，所以当时，方程无实数解，当时，方程有一个实数解，当时，故，而，设，则，故在上为增函数，故，故有两个零点即方程有两个实数解.（2）由题意可知，不等式可化为，即当时，恒成立，所以，即，令，则在上单调递增，而，当即时，在上单调递增，故，由题设可得，设，则该函数在上为减函数，而，故.当即时，因为，故在上有且只有一个零点，当时，而时，故在上为减函数，在上为增函数，故，而，故，故因为
16、，故，故符合，综上所述，实数的取值范围为【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.3（2223广州三模）已知函数，(1)求函数的单调区间；(2)讨论函数的零点个数【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是(2)答案见解析【分析】（1）求得，令，解得，结合导数的符号，即可求解；（2）根据题意转化为函数与的图象的交点个数，根据二次函数的性质，得到的单调性和最值，由（1）知取最小值，分别得到、和的零点个数，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，令，解得，当时，则，可得，在单调递减；当时，则，可得，在单调递增； 故
17、函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）解：由，得，因此函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，因为，所以的递增区间是，递减区间是，所以当时，取最大值，由（1）可知，当时，取最小值，当 ，即时，函数与的图象没有交点，即函数没有零点；当，即时，函数与的图象只有一个交点，即函数有一个零点； 当，即时，函数有两个零点，理由如下：因为，所以，由函数零点存在定理，知在内有零点.又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以在上只有一个零点. 又因为，所以的图象关于直线对称，因为的图象关于直线对称，所以与的图象都关于直线对称，所以在上只有一个零点. 所以，当时，有两个零点.【点睛】方法技巧：对
18、于利用导数研究函数的零点与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据零点与有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别4（2324上宁波一模）已知函数（e为自然对数的底数，）.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论，分别判断的符号，得出函数的单调区间
19、；（2）利用函数最值转化为求证，构造函数利用导数求最值即可得解.【详解】（1），当时，在上单调递减；当时，由可得，故时，时，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，只需证，即证，设，则，故时，时，所以在上递减，在上递增，所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.5（2223下镇江三模）已知函数.(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.(2)在（1）的条件下，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）二次求导,根据单调性结合最值确定极值点个数求参即可;（2）构造函数应用单调性求最值，把分解为分别证明不等式可得.【详解】（1）因为，所以.令，则.因为有两个极值点，所以有两个不等正
20、实根.当时，所以在上单调递增，则在上至多有一个零点，舍去.当时，令得当时，则在上为增函数；当时，则在上为减函数；所以时，取极大值，即为最大值为.所以有两个不等正实根的必要条件是，解得.当时，因为，所以，由零点存在性定理知：存在唯一的，使得成立.因为，令，则，取，则且，所以，由零点存在性定理知：存在唯一的，使得成立.所以时，有两个不等正实根.综上，实数的取值范围是.（2）由（1）知，且.所以因为在上为增函数，及，所以，又因为，所以.因为，所以.所以，所以，所以.所以.其中（其中）构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立.所以.【点睛】关键点点睛:证明不等式把分解为,构造函数
21、求出导函数应用单调性证明不等式.6（2223下无锡三模）已知函数.(1)求的极值；(2)求证：.【答案】(1)的极大值为，没有极小值(2)证明见解析【分析】（1）求导数得，设，求导数确定函数的单调性即可确定的正负，从而得的取值情况即可确定的极值；（2）由（1）可知，结合数列累加求和即可证明结论.【详解】（1）因为函数，所以，设，所以在上单调递增.又，所以当时，；当时，.又因为对恒成立，所以当时，；当时，.即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，没有极小值.（2）由（1）可知，所以当且仅当，取“”.由（1）得，累加得；由得，累加得.综上所述，.7（2223下浙江二模）设，已知函数有个不同零点.
22、(1)当时，求函数的最小值：(2)求实数的取值范围；(3)设函数的三个零点分别为、，且，证明：存在唯一的实数，使得、成等差数列.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；（3）分析出，对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，可得，结合零点存在定理以及已知条件可得出结论.【详解】（1）解：当时，则，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以，.（2）解：因为，则，当时，恒成立，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调
23、递增，此时函数至多两个零点，不合乎题意；当时，由可得或，列表如下：增极大值减极小值增由题意可知，有个不同的零点，则，又因为，令，记，则，其中，则，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，即，当且仅当时，等号成立，故不等式组的解集为.因为，故当时，函数有个不同的零点，综上所述，实数的取值范围是.（3）解：因为，结合（2）中的结论可知，当时，若存在符合题意的实数，则由于，因此，因此，、成等差数列可得出，考虑，即，这等价于，令，所以，令，则，当时，则函数单调递增，所以，故函数单调递增，因为，所以，在上存在唯一零点，记为，当时，即函数在上单调递减，当时，即函数在上单调递增，由于，因此，在
24、上无零点，在上存在唯一的零点，所以，存在唯一的实数，使得、成等差数列;当时，不合乎题意.综上所述，存在唯一的实数使得、成等差数列.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.8（2223下苏州三模）设函数.(1)从下面两个条件中选择一个，求实数
25、的取值范围；当时，；在上单调递增.(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.【答案】(1)选；选(2)证明见解析【分析】（1）若选，可得在上单调递增，然后讨论当时，不符合要求，即可得到结果；若选，将问题转化为在上恒成立，然后分与讨论，即可得到结果；（2）根据题意，利用导数研究函数的极值，先证得函数有两个极值点，然后构造函数，通过函数的单调性即可得到证明.【详解】（1）令，则，所以，则，令，则，选：当时，因为时，所以在上单调递增，又，所以当时，说明在上单调递增，所以，符合题意；当时，当时，所以在上单调递减，又，所以当时，说明在上单调递减，所以当时，此时不符合题意；综上，实数的取值范
26、围.选：在上单调递增，所以在上恒成立，当时，所以在上递增，又，所以当时，所以在上单调递减，不符合题意；当时，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，从而，由在上恒成立，得，令，说明在单调递增，在单调递减，所以，当且仅当时取得等号，故.综上，实数的取值范围.（2）当时，当时，在上单调递减，又，当时，说明在上单调递增，当时，说明在上单调递减，所以为极大值点.由（1）有，则，所以当时，有，所以当时，所以使得.当时，当时，所以为极小值点，综上，函数有两个极值点；其中满足，所以，设，则，由（1）知，所以单调递增，所以随着的增大而增大，又，所以，故随着的增大而增大.【点睛】方法点睛：导函数中常用的
27、两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.9（2223下江苏三模）已知函数，.(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.（i）求实数a的取值范围；（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）【答案】(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）求导得到导函数，设出切点，根据切线方程的公式得到方程组，解得答案.（2）求导得到导函数，构造函数，求导得到单调区间，计算极值确定，再排除的情况，得到取值范围，确定，设，转化得
28、到，设出函数，求导计算单调区间，计算最值得到答案.【详解】（1），设与的图象的切点为，则，解得，.（2）（i），定义域为，.有两个不等实根，考察函数，所以，当时，所以在区间上单调递增；当时，所以在区间上单调递减.故的极大值也是最大值为.因为有两个不同的零点，所以，即，即；当时，当时，恒成立，故至多一个零点，不符合题意，综上所述：.下证：当时，有两个不同的零点.，所以在区间内有唯一零点；，令，考察函数，可得，所以，所以在区间内有唯一零点.综上所述：a的取值范围为 （ii）由题设条件和（i）可知：，所以：，若不等式恒成立，两边取对数得，所以，令，则，恒成立，所以在时恒成立.令，则.若，即，则当时，
29、故在上单调递增，所以恒成立，满足题意；若，则当时有，故在上单调递减，所以当时，不满足题意.综上所述，正数的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查了利用切线求参数，根据极值点求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中变换得到，再利用换元法构造函数求最值是解题的关键.10（2223下河北三模）已知函数(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若为函数的导函数，有两个零点（）求实数的取值范围；（）证明：【答案】(1)当时，在上单调递减(2)（）；（）证明见解析【分析】（1）根据函数的定义求出的解析式，再通过其导函数的正负来判断函数的单调性；（2）求出，把零点问题转化成方
30、程的根，再转化成函数图象的交点，根据图象即可求出的范围；把代入，通过两个等式构造，结合的范围即可证明.【详解】（1）因为，令，则，所以（），故（）.当时，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，故在上恒成立.所以当时，在上单调递减.（2）（）有两个零点等价于有两个不同的根.而 （），所以有两个不同的根，等价于有两个不同的根，等价于与有两个不同的交点.因为，（），当时，单调递增，当时，单调递减，所以，而当趋向正无穷时，趋向0，趋向0时，趋向负无穷，为使与有两个不同的交点，所以.（）有两个零点，则，.即，.所以，即，得，所以.因为，所以.【点睛】方法点睛：判断函数单调性时主要考虑其导函数的正
31、负；零点问题常常可转化为方程的根；关于双变量问题通常需要通过等式构造，找出其等式关系.11（2223深圳二模）已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1)；函数的单调增区间为，无单调减区间.(2)【分析】（1）通过代值计算和求导解出切线方程，继而求；构造函数运用导数判断函数单调性，解单调区间.（2）将不等号两边变形成形如函数的同构式，依据函数单调性将函数值的不等关系转化为自变量的不等关系，然后分离参数把恒成立问题转化为最值问题，最后构造函数，运用导数判断单调性解最值.【详解】（1）函数的定义域是，.所以
32、在点处的切线方程为，切线经过点，则.，设，是的极小值点，且，因此在恒成立，所以函数的单调增区间为，无单调减区间.（2）在区间上恒成立，即，令，则，即.由（1），只需要，也就是在区间上恒成立.设，.，故是的最大值，所求的取值范围是.【点睛】第二问，通过换元令是构造同构式的关键，也是此题的突破口 ，有了这个突破，即可将函数值的关系转化为自变量的关系，将问题降低一层难度，也打开了后续的解思路.12（2223下长沙三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有三个零点，且在处的切线经过点，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，分为，两种情况讨论导数的正负，得出函数的单
33、调性；（2）有三个零点，当且仅当，由此得出范围由题意，由在处的切线经过点求得，联立化简整理即可得出结论.【详解】（1），令，(i)当时，时，；时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；(ii)当时，时，；时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.（2）有三个零点，当且仅当或，由题意，在处的切线方程为：，该切线经过点，则，即，联立得：，因为，所以，所以，即.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的13（2223下湖南二
34、模）已知函数(1)求的最小值；(2)证明：方程有三个不等实根【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）设，利用导数研究其单调性可得的最小值，再结合在定义域内单调递增，即可求出答案；（2）令，构造函数，利用导数判断单调性和值域，从而判断方程的根的个数即可【详解】（1）设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故的最小值为，因为在定义域内单调递增，所以的最小值为；（2）由可得，整理可得，设，令，则，由得因此，当时，单调递减；当时，单调递增由于，故，又由，由零点存在定理，存在，使得，有两个零点1和，方程有两个根和，则如图，时，因为，故方程有一个根，下面考虑解的个数，其中，设，结合的单调性可得：在上
35、为减函数，在上为增函数，而，故在上有且只有一个零点，设，故，故即，而，故在上有且只有一个零点，故有两个不同的根且，综上所述，方程共有三个不等实根【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是令，将问题转化为关于m的方程有两根，数形结合判断关于m的方程的根的情况14（2223下长沙二模）已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.若时，函数是“恒切函数”，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据零点的个数先估计零点的取值范围，然后可将问题转化成方程的解的个数问题；（2）根据新定义先找出“恒切函数”所满足的条件，然后利
36、用该条件，找到所满足的条件后进行研究.【详解】（1）依题意，令，则，当时，方程无解，无零点；所以，所以，设，则讨论零点可以转化为讨论的零点.，设，由于，时， 为上的减函数，有，有为上的减函数，此时存在唯一零点，不合题意；当时，即，在上单调递增，使得，即在上递减，在上递增，又，所以，由于时，故在内存在唯一零点；在内存在唯一零点，此时符合要求；时，在上单调递减，上单调递增，此时的极小值为唯一零点，不符合要求；当时，即，在上单调递增，使得，即在上递减，在上递增，且由单调性知，又由于时，故在内存在唯一零点；在内存在唯一零点，此时符合要求.综上，a的取值范围：；（2）根据题意，若函数为“恒切函数”，切点
37、为，则即，函数是“恒切函数”，设切点为，即，可得，则有即考查方程的解，设，因为，令，得.当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.所以. （i）当时，因为，所以，函数在区间上存在唯一零点.又因为；（ii）当时，因为，所以函数在区间上有唯一零点，由，则，综上所述，.【点睛】第二问的处理，先需要读懂新定义，然后根据新定义找到所满足的关系式，利用导数的工具，零点存在定理，进一步确定的取值范围.15（2223下湖北三模）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若，在内存在不等实数，使得，证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论求解函数单调性；（2）构造函数，
38、应用函数单调性证明可得.【详解】（1）函数定义域为，二次函数的对称轴是若时，在上，从而，函数的单调递增区间是； 若时，函数的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）由对称性不妨设，若，由（1）得在上单调递增，有，与已知条件矛盾；时，同理可推出矛盾，要证明：，只需证明：，在上单调递增，只需证明：又，只需证明：构造函数，其中当时，在单调递减，时，成立由在定义域内单调递增得，即成立16（2223下武汉三模）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（）求实数a的取值范围；（）求证：【答案】(1)答案见解析(2)（）；（）证明见解析【分析】（1）求出，分、两种情况讨论，
39、分析导出的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；（2）（i）将方程变形为，令，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围；（ii）将所证不等式等价变形为，由变形可得出，推导出，即证令，只需证，构造函数，其中，利用导数法即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，所以，其中.当时，所以函数的减区间为，无增区间；当时，由得，由可得.所以函数的增区间为，减区间为综上：当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为（2）解：（i）方程可化为，即令，因为函数在上单调递增，易知函数的值域为，结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根又因
40、为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为令，其中，则由可得或，由可得，所以，函数在和上单调递减，在上单调递增所以，函数的极小值为，且当时，；当时，则.作出函数和的图象如下图所示：由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，所以，实数的取值范围是.（ii）要证，只需证，即证因为，所以只需证由（）知，不妨设因为，所以，即，作差可得所以只需证，即只需证令，只需证令，其中，则，所以在上单调递增，故，即在上恒成立所以原不等式得证【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是
41、利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.17（2223保定二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数(1)若，求的最小值；(2)若函数恰有一个零点，求a的值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求导得，令，然后分与讨论，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得0是函数的一个零点，构造，分，以及讨论，再结合（1）中的结论，即可得到结果.【详解】（1）当时，则，记，则，当时，可得，可知函数在区间上单调递减；当时，可知函数单调递增，又由，可知当时，；当时，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，由知函数的减区间为，增区间为，故
42、有；（2）因为函数恰有一个零点，且，0是函数的一个零点，又，不妨设，函数定义域为，则，当时，又，所以在恒成立，则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，又，当时，可得，且时，则存在，使得，此时在上，有，在上，故在上为减函数，在上为增函数，故当时，而时，故在上存在一个零点，则此时函数至少存在两个零点，又因为0是函数的唯一零点，故不符合题意；当时，可得，又，所以在区间上存在一点，使得，故当在上，有，在上，有，故在上为增函数，在上为减函数，故当时，而当时，故此时函数在上至少存在一个零点，又因为0是函数的唯一零点，故不符合题意；当时，即时，由（1）知，当时，函数取得最小值，最小值，当时，因为，符合题意.综上，满足条件的值为.【点睛】思路点睛：知道函数零点的个数，要求参数的取值范