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1、2024试吧大考卷二轮专题闯关导练数学【新高考】热点(十三)数学文化热点(十三)数学文化12020石家庄模拟(古典概率中的数学文化)古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为()A. B. C. D. 22020山东六地市部分学校线上考试九章算术是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以
2、径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是()A. B. C. D1203(函数图象中的数学文化)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数f(x)的图象大致是()4(概率中的数学文化)我国古代有着辉煌的数学研究成果周髀算经九章算术海岛算经孙子算经缉古算经等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学
3、文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()A. B.C. D.5(数列中的数学文化)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为()A23岁 B32岁C35岁 D38岁62020新高考卷(立体几何中的数学文化)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的
4、影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为()A20 B40C50 D907(解析几何中的数学文化)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2y21，若将军从点A(2,0)出发，河岸线所在直线方程
5、xy40，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A. B21C2 D.18(圆中的数学文化)阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0，k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则|PA|2|PB|2的最小值为()A3624 B4824C36 D249如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面，现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上
6、，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p(n)，则p(4)()A33 B31C17 D1510(解三角形中的文化)数书九章中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”把以上这段文字用数学公式表示，即S(S
7、，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)现有周长为42的ABC满足sin Asin Bsin C(1) (1)，试用以上给出的数学公式计算ABC的面积为()A. B2C. D211(立体几何中的数学文化)我国古代九章算术里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形ABCD中，AB10，BCCDDA8，在等腰梯形ABEF中，EF6，AFBE6.将等腰梯形ABCD沿AB折起，使DFCE2，则五面体ABCDFE中异面直线AC与DE所成角的余弦值为()A0 B.C D.12(多选题)(生活中的数学文化)九章算术衰分中有如下问
8、题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中正确的是()A甲付的税钱最多B乙、丙两人付的税钱超过甲C乙应出的税钱约为32D丙付的税钱最少13(三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m2sin 18.若m2n4，则_.14(数列中的数学文化)“斐波那契”数列由十三世纪意大利
9、数学家斐波那契发现数列中的一系数数字常被人们称之为神奇数具体数列为1,1,2,3,5,8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列an为“斐波那契”数列，Sn为数列an的前n项和，若a2 020M，则S2 018_.(用M表示)152020山东烟台、菏泽联考(二项式定理中的数学文化)杨辉三角，又称贾宪三角、帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到(ab)n展开式的二项式系数根据相关知识可求得(12x)5展开式中的x3的系数为_16202
10、0山东肥城一中模拟(立体几何中的数学文化)在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知三棱柱ABC A1B1C1是一个“堑堵”，其中ABBCBB12，点M是A1C1的中点，则四棱锥M B1C1CB的外接球的表面积为_热点(十四)新定义，新背景，新情境1定义集合A，B的一种运算：A*Bx|xx1x2，其中x1A，x2B，若A1,2,3，B1,2，则A*B()A1,2,3,4,5 B2,3,4,5C2,3,4 D1,3,4,52规定记号“”表示一种运算，定义abab(a，b为正实数)，若1k20)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为()A. B.C.
11、 D.9(多选题)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的xD，存在yD，使得f(x)f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”下列为“H函数”的是()Aysin xcos x Byln xexCy2x Dyx22x10(多选题)若函数yf(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数yf(x)为“t函数”下列函数中可以称为“2函数”的是()Ayxx3 ByxexCyxln x Dyxcos x11(多选题)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为，若空间向量ax iy jz k(x，y，zR)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系O x
12、yz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a(x，y，z)，则下列命题正确的是()A已知a(1,3，2)，b(4,0,2)，则ab0B已知a，b，其中x，y，z均为正数，则当且仅当xy时，向量a，b的夹角取得最小值C已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab(x1x2，y1y2，z1z2)D已知(1,0,0)，(0,1,0) ，(0,0,1)，则三棱锥O ABC的表面积S12(多选题)2020新高考卷信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1,2，n，且P(Xi)pi0(i1,2，n)，i1，定义X的信息熵H(X)ilog2pi.()A若n1，则H(X)0B若
13、n2，则H(X)随着p1的增大而增大C若pi(i1,2，n)，则H(X)随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)，则H(X)H(Y)13甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5，若|ab|1，就称甲、乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_14已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0)处的切线为l：yg(x)，若函数f(x)满足xI(其中I为函数f(x)的定义域)，当xx0时，f(x)g(x)(xx0)0恒成立
14、，则称x0为函数f(x)的“转折点”已知函数f(x)exax22x在区间0,1上存在一个“转折点”，则a的取值范围是_15高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数例如：2.13，3.13，已知函数f(x)，则函数yf(x)的值域为_16在实数集R中定义一种运算“*”，具有如下性质：(1)对任意a，bR，a*bb*a；(2)对任意aR，a*0a；(3)对任意a，bR，(a*b)*cc*(ab)(a*c)(b*c)5c；则对于函数f(x)x*(x0)，f_，函数f(x)的最小值为_热点(
15、十三)数学文化1答案：B解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为C10.又6和28恰好在第一组有1种情况，6,28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为，故选B.2答案：C解析：由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角(弧度)，故选C.3答案：D解析：因为f(x)f(x)f(x)，且f(x)f(x)，所以f(x)没有奇偶性，而A，B选项中的图象关于y轴对称，排除A，B；当x时，f(x)，排除C，选D.4答案：A解析：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著
16、为事件A，所以P()，因此P(A)1P()1，故选A.5答案：C解析：设这位公公的第n个儿子的年龄为an，由题可知an是等差数列，设公差为d，则d3，又由S9207，即S99a1(3)207，解得a135，即这位公公的长儿的年龄为35岁故选C.6答案：B解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GFCD，CDOB，AOB40，OAE OAF90，所以GFACAOAOB40.故选B.7答案：B解析：设点A关于直线xy4的对称点A(a，b)，kAA，AA的中点为，故解得a4，b2，要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离，即
17、为点A和圆上的点连线的最小值，即为点A和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为121，故选B.8答案：A解析：以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)、B(1,0)，设P(x，y)，两边平方并整理得x2y26x10(x3)2y28，所以P点的轨迹是以(3,0)为圆心，2为半径的圆，则有|PA|2|PB|22(x2y2)22|OP|22，如图所示：当点P为圆与x轴的交点(靠近原点)时，此时，OP取最小值，且OP32，因此，|PA|2|PB|22(32)223624，故选A.9答案：D解析：由题意，把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次
18、数记为p(n)，则把起始柱上的(除最底下的)圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数为p(n1)，则有p(n)2p(n1)1，所以p(n)12p(n1)1，又p(1)1，即p(n)1是以p(1)12为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，p(n)12n，所以p(n)2n1，故p(4)24115，故选D.10答案：A解析：因为sin Asin Bsin C(1)(1)，则由正弦定理得abc(1)(1)设a(1)x，bx，c(1)x，又周长为42，所以42(1)xx(1)x，解得x2.所以S.故选A.11答案：B解析：如图，过点C作AB的垂线，H为垂足，易知BH1，CH3，AC12.
19、同理，在等腰梯形CDFE中，对角线DE6.过点C作CGDE交FE的延长线于点G，易知四边形CDEG是平行四边形，DE綉CG，连接AG，则异面直线AC与DE所成的角即直线AC与CG所成的角过点A作ATEF，交EF的延长线于点T，则易知AT4，TG16，所以AG12.在ACG中，AG12，AC12，CGDE6，由余弦定理得cosACG.因为异面直线所成的角在范围内，所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为，故选B.12答案：ACD解析：甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知A、D正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的不超过甲。可知B错误；乙应出的税钱为10032.可知C正确故选ACD.13答案：解析：由m
20、2n4得n4m244sin2 184cos2 18，代入所求表达式，可得.14答案：M1解析：由“斐波那契”数列可知an2anan1anan1ananan1an2an1anan1an2a11.所以Snanan1a1an21，所以S2 018a2 0201M1.15答案：80解析：结合杨辉三角并观察下列各式及其展开式：(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4 a44a3b6a2b24ab3b4，(ab)5a55a4b10a3b210a2b35ab4b5，由上可知，(12x)5展开式中含x3的项为10(2x)380x3，故x3的系数为80.16答案：8解析：如图，取
21、AC的中点N，连接MN，则四棱锥M B1C1CB的外接球即为三棱柱NBC M1B1C1的外接球由“堑堵”的定义可知，A1B1B1C1，又A1B1B1C1，所以B1MMC1，故B1MC1的外心为B1C1的中点E，同理可知BNC的外心为BC的中点F.而球心则为EF的中点O，OB，故球的表面积为4R28.热点(十四)新定义，新背景，新情境1答案：B解析：当x11时，x2可以取1或2，则x1x22或3；当x12时，x2可以取1或2，则x1x23或4；当x13时，x2可以取1或2，则x1x24或5.A*B2,3,4,5故选B.2答案：A解析：因为定义abab(a，b为正实数)，1k23，所以1k23，化
22、为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1，所以1k1.故选A.3答案：B解析：设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.故选B.4答案：A解析：根据题意，若甲选择仰泳，乙可以选择蝶泳或自由泳，剩余两人任意选择剩下的两种泳姿，有CA224种选法，若甲选择自由泳，则乙只能选择蝶泳，剩余两人任意选择剩下两种泳姿，有A2种选法，因此一共有426种选法，故选A.5答案：A解析
23、：由题设知，f(x)sin xcoscos xsinsin，所以为了得到函数ysin x的图象，只需要把函数f(x)sin的图象上所有的点向左平移个单位长度故选A.6答案：D解析：通解易知v(1，)，uv(3，)，设向量u与uv的夹角为，则cos ，所以sin ，又|uv|2，|u|2，所以|u(uv)|222.优解设向量u与uv的夹角为，因为uv(3，)，|uv|2，|u|2，所以|u(uv)|u|uv|sin |u|uv|2.故选D.7答案：B解析：由题意得数列an的前n项和Sn3n2n，易知an6n2.于是，故数列的前2 019项和为1.故选B.8答案：C解析：由新运算可知f(x)cos
24、 2xsin 2x2cos，所以将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y2cos的图象，即y2cos 2x的图象，显然该函数为偶函数经检验知选项A，B，D错误，选C.9答案：AB解析：由题意，得“H函数”的值域关于原点对称A中，ysin xcos xsin 2x，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数yln xex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y2x0，故C不是“H函数”；D中，yx22x(x1)211，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”综上所述，A，B是“H函数”，故选AB.10答案：CD解析：设切点的横坐标分别为x1，x2，对于A，y13x2，所以两条
25、切线的斜率之和为23(xx)，由于x1，x2不能同时为零，所以23(xx)2，不符合题意；对于B，y1ex，所以两条切线的斜率之和为22，不符合题意；对于C，yln x1，所以两条切线的斜率之和为2ln x1ln x22ln (x1x2)，当x1，x2互为倒数时，两切线的斜率之和为2，符合题意；对于D，y1sin x，所以两条切线的斜率之和为2sin x1sin x2，当sin x1sin x20，即x12kx2或x12x2(kZ)时，两条切线的斜率之和为2，符合题意综上所述，故选CD.11答案：BC解析：对于A，由题可知ab(i3j2k)(4i2k)4i212ij8ik2ik6jk4k241
26、2cos 6cos 6cos 412cos .由于，所以ab0，故该命题不正确；对于B，由题可知ax iyj，bz k，cos a，b ，由基本不等式可知当且仅当xy时，cos a，b取最大值，即两向量夹角取得最小值，故该命题正确；对于C，由题可知ab(x1x2)i(y1y2)j(z1z2)k(x1x2，y1y2，z1z2)，故该命题正确；对于D，由题可知三棱锥O ABC是棱长为1的正四面体，其表面积S41，故该命题不正确综上，故选BC.12答案：AC解析：对于选项A，若n1，则p11，log210，H(X)p1log2p1log210，A正确；对于选项B，当p1时，H(X)ilog2pi(p
27、1log2p1p2log2p2)，当p1时，H(X)ilog2pi(p1log2p1p2log2p2)，由此可得，当p1与p1时，信息熵相等，B错误；对于选项C，若pi，则H(X)ilog2pinlog2n，H(X)随着n的增大而增大，C正确；对于选项D，若n2m，随机变量Y的可能取值为1,2，m，由P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)知，P(Y1)p1p2m；P(Y2)p2p2m1；P(Y3)p3p2m2；P(Ym)pmpm1.H(X)(p1log2p1p2mlog2p2m)(p2log2p2p2m1log2p2m1)(pmlog2pmpm1log2pm1)，H(Y)(p1p2m)log
28、2(p1p2m)(p2p2m1)log2(p2p2m1)(pmpm1)log2(pmpm1)，H(Y)H(X)(p1p2m)log2(p1p2m)(pmpm1)log2(pmpm1)p1log2p1p2mlog2p2mpmlog2pmpm1log2pm1p1log2p2mlog2.易知01，01，log20，log20，H(Y)H(X)，故D错误13答案：解析：任意两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件有5525种，“心有灵犀”的情况包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(
29、5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”的概率为.14答案：1ae解析：根据定义，函数f(x)满足xI(其中I为函数f(x)的定义域)，当xx0时，f(x)g(x)(xx0)0恒成立，f(x)exax2.令h(x)exax2，则h(x)exa，令h(x)exa0，则其解就是“转折点”，故exa，xln a，x0,1，则0ln a1，解得1ae.15答案：0,1,2解析：因为f(x)，2x10，所以01，所以3，即f(x)3，所以yf(x)的值域为0,1,216答案：3解析：令c0，得(a*b)*00*（ab）+（a*0）+(b*0),由a*b=b*a可得（a*b）*0=（ab）* 0 +(a * 0)+(b * 0),再由a * 0 =a 得(a * b )* 0=a * b =ab + a + b. f(x)x * = 1x，所以f，由基本不等式知x2，则f(x)3，当且仅当x1时等号成立，故f(x)min3.