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1、试卷第 1 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（尖子生题库）专题 数与形的解题技巧 2024六年级数学思维拓展（尖子生题库）专题 数与形的解题技巧 2024六年级数学思维拓展 通过不同事物的某些相似性逆向类推出其他的相似性的方法，叫做逆向类推法。解答数形结合问题时,先仔细观察算式的特点,找出其中隐含的规律,再解答。数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题
2、几何化，几何问题代数化。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。1数与形结合是一种重要的数学思想，认真观察下面的图形，“2020”这个数在_个三角形的_顶点处。应选（）。A673，左下 B674，上 C673，右下 D674，左下 试卷第 2 页，共 12 页 2用白色和灰色小正方形按下面规律排成大正方形。第一幅 第二幅 第三幅 第五幅图一共用了（）个灰色小正方形。A19 B21 C25 D36 3下图是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护
3、话题的电话最多，共70个。则本周“百姓热线”共接到热线电话有（）。A350个 B200个 C180个 D150个 4 观察数列的排列规律，然后从四个选项中选出你认为最合理的一项，来填补空缺项：1 2 4 8 16（）A32 B24 C64 D20 5仔细分析，后面的第 10 个方框里有（）个点。A36 B37 C38 D40 6与 13579531 得数相同的算式是（）。A42 B5232 C5232 7如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出 m 的值是（）。A86 B74 C52 试卷第 3 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
4、 8照这样排下去，第六个图形里会有()个小三角形.A25 B30 C36 D47 9根据下图中的规律，第 4 幅图中有（）个点。A9 B13 C14 D16 102.22，2.30，2.38，2.46，（）括号里应填（）A2.22 B2.50 C2.54 11中。和相比（）。A比多 B比多 C和同样多 12照下图这样画下去，第 10 个图形有（）个。A54 B55 C56 13与 13579531 表示相同结果的算式是（）。A53 B42 C5232 D5232 14一列数 3、3、5、7、3、3、5、7，第 2011 个数是（）。A3 B1 C5 D7 15用同样长的小棒摆出如下的图形。照这
5、样继续摆，第 6 个图形用了（）根小棒 A20 B24 C25 16像下面这样摆 15 个正方形，需要（）根小棒。试卷第 4 页，共 12 页 A60 B50 C46 D45 17观察下列图形：第 1 个图形有 6 根小棒，第 2 个图形有 11 根小棒，第 3 个图形有 16 根小棒，第10 个图形有（）根小棒。A45 B60 C51 D59 18在一个平面上有 68 个点，一共可以连（）条线段。A68 B2278 C2346 D1190 19如图所示，用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个蝴蝶图案，则第 7 个蝴蝶图案中白色地砖有（）。A35 块 B27 块 C22 块
6、D7 块 20如图：照这样画，第 12 幅图有（）个三角形。A18 B20 C22 D24 21观察并填空。1.图形 正方形的个数()()()2.第 4 个“F”图形需用_个正方形拼成。3.第 n 个“F”图形需用_个正方形拼成。22 第 4 幅图有()个，第 10 幅图有()个。试卷第 5 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23观察图形，完成填空。按这样的规律，第 5 幅图有()个这样的“”，第()幅图有 55 个这样的“”。24有一个正六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边 2 个点，第三层每边 3 个点，这个六边形点阵第 28
7、层上面共有_个点，第 100 层_个点。25用 6 根火柴棒摆出图，接下来摆放方式如：，那么，第 10个图形需要()根火柴棒，第 n 个图形需要()根火柴棒。26要反映某种股票的涨跌情况最好制成()统计图。27像这样用小棒摆六边形。照这样的规律摆下去，摆 8 个六边形需要()根小棒，摆n个六边形需要()根小棒。28按照下面的样子拼摆图案。第一个图案用 1 朵小花拼摆，第二个图案用 5 朵小花拼摆第五个图案用()朵小花拼摆，第 n 个图案用()朵小花拼摆。29如图所示，4 个同样的杯子摞起来高是 30 厘米，7 个摞起来高是 39 厘米如果 12 个这样的杯子摞在一起，高是()厘米 试卷第 6
8、页，共 12 页 30数学课上，笑笑在用小棒摆连续的三角形时（如下图），发现了 n 个三角形需要的小棒根数可以这样列式：12n。12n 中的“2”表示()。31找规律填一填，画一画（1）_、_（2）3、6、9、12、_、_（3）80、40、_、10、_（4）1、3、9、_、81、_ 32根据下面图形的变化规律完成填空。(1)第()幅图中有 28 个；(2)第 n 幅图中有()个。33下面是“宝塔”图，它们的层数不同，但都是由相同的小三角形组成的，那么 5 层“宝塔”的最下层含()个三角形，整个 5 层“宝塔”有()个三角形。34如图，把完全一样的梯形桌拼起来。1 张梯形桌可以坐 5 人，2 张
9、梯形桌拼成的长桌可以坐 8 人，6 张梯形桌拼成的长桌可以坐()人。按这样拼下去，坐 74 人需要拼()张梯形桌。35小明想要用棱长为 1cm 的小正方体搭建台阶(如图)，他已搭建的台阶分别有 2cm，3cm 和 4cm 高如果小明一直这样搭下去，当用了 105 个方块时，他搭的台阶有_cm 高 试卷第 7 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 36找规律填数。37下图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个组成，第 2 个图案由 7 个组成照这样接着画下去，第 10 个图案由()个组成，第 n 个图案由()个组成。38填一填，想一想 39，按这样的规律
10、画下去，第 35 个图形是()，第61 个图形是()40用同样长的小棒按下面的规律摆出图形。摆第 5 个图形需要()根小棒，摆第 n 个图形需要()根小棒。41用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第 5 个图形中有多少颗黑色棋子？第几个图形中有 2013 颗黑色棋子？42 用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。试卷第 8 页，共 12 页 （1）填写下列表格。大正方形每边的瓷砖块数 3 4 5 6 7 花瓷砖块数 8 （2）如果所拼的图形中，用了 20 块花瓷砖，那么白瓷砖用了多少块？（3）如果所拼的图形中，用了 n2块白瓷砖，那么花
11、瓷砖用了多少块？43小明、小强、小丽、小芳、和小琼进行象棋比赛，每两人之间都要下一盘小明、小强都已经下了 4盘，小丽、小芳都已经下了 3 盘，小琼下的盘数最少请问：小琼下了几盘？分别和谁下的？44（1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需要黑色棋子（）枚。（用含 n 的代数式表示）（2）用第（1）题中的式子计算第 22 个图形中有多少枚黑色棋子。45在式子8=9中，可以出现多少种不同的形式，你能把它们都写出来吗?46在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想
12、方法，请画图解释1324的算理。（2）玲玲在解决“121222325282132212342”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。序号 1 2 3 4 图形 算式 1212 121222 12122232 试卷第 9 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 你根据前面的规律，把序号 4 的图形与算式补充完整。观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？121212 12122223 1212223235 1212223252（）（）121222325282132（）（
13、）若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是 1870，它表示的算式是（）。47绕湖一周是 20 千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时 4 千米的速度每走 1 小时后休息 5 分钟，乙以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟后休息 10 分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？48一张桌子摆 4 把椅子，两张桌子并起来摆 6 把椅子照这样摆下去。（1）6 张桌子可以摆多少把椅子？（2）n 张桌子可以摆多少把椅子？用式子表示出来是（）把。（3）如果有 34 人，需要并起来多少张桌子才能坐下？49观察下面按规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，
14、32，41，15，24，33，42，51，16，(1)若将左起第 m 个数记为 f（m），当 f(m)=2 2001时，求 m 的值和这 m 个数的积 (2)在数列中，未经约分且分母为 2 的数记为 a，它后面的一个数记为 b，若存在这样的 a 和 b，使 ab=20100，求 a 和 b 50六年级同学去春游，租了 2 只同样的大船和 5 只同样的小船，正好坐满 100 人每只大船比小船多坐 8人，每只小船可以坐多少人？51张林带着他心爱的小狗去外婆家他步行的速度是每分钟 80 米，小狗以每分钟 200 米的速度奔向了外婆家小狗过了 8 分钟到达外婆家后又立刻返回，路上遇见张林后它又返回奔向
15、外婆家 就这样它不停试卷第 10 页，共 12 页 来回跑当张林到达外婆家时，小狗总共跑了多少米？52如下图，1 个杯子的高度是 15cm，把 5 个完全一样的杯子叠起来的高度是 25cm，那么 10 个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？53把 1 至 7 这七个数分别填入图中各圆圈内，使得每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。已知中间圆圈填的数为 1，那么每条直线的和是多少？541+2+3+99=？说一说你的计算方法 55如图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的仔细观察后，请回答：（1）五层的“宝塔”最下层包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n 层呢？（2）整个五层“
16、宝塔”一共包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n 层呢？56六(1)班有八名同学进行乒乓球比赛,如果每两名同学之间都要进行一场比赛,一共要比赛多少场?怎样推算呢?从简单的情况开始研究,运用画图法解答:1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 57已知规律如下图，试卷第 11 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 问：2013 正下方是多少？58仔细观察表 3，完成下列问题。（1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图 1 所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这 6 个数的和。列式并写出计算过程。（2）如果小爱用
17、这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母a与b的等式表示这两个数之间的关系（a与b的位置如图 2）。（3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的 5 个数之和是其中一个数（a）的 5 倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上a。至少设计出 6 种圈数工具。（与图例重复不得分。）试卷第 12 页，共 12 页 59某地区 8 支代表队参加篮球比赛，比赛分为两个阶段(1)第一阶段：8 个队分为两组，每组进行单循环比赛，决出前两名参加第二阶段的比赛每个小组第一阶段有多少场比赛？(2)第二阶段：四个队进行单淘汰赛制，决
18、出冠亚军请你算一算，决出冠亚军第一阶段和第二阶段共需多少场比赛？60“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。（1）第 5 行第一个数“15”是怎么得到的？（2）填出第 5 行两个括号中的数。答案第 1 页，共 19 页 参考答案：参考答案：1B【分析】从上图中发现：每一个三角形有 3 个顶点，用 20203673（个）1（个）也就是在第 673 个三角形后还余 1 个顶点，1 个顶点正好在第 674 个三角形的上顶点处。【详解】由分析可得，20203673（个）1（个）所以，“2020”这个数在 674 个三
19、角形的上顶点处。故选：B【点睛】此题考查的是数与形结合找规律，找出规律是解题关键。2B【详解】通过已知条件图形的排列规律可知：每个大正方形 n 是由白色和灰色两种小正方形组合而成的 白色小正方形用 a 表示，灰色小正方形用 b 表示；第一幅：n11a3b；第二幅：n2（15）a3b；第三幅：n3（15）a（37）b；第四幅：n4（159）a（37）b；第五幅：n5（159）a（3711）b以此类推即可。第五幅灰色小正方形的个数：b5371121（个）故答案为：B 3B【分析】热线电话总数35%环境保护话题的电话数，根据此关系式求出电话总数即可。【详解】7035%200（个）故答案为：B。【点睛
20、】用已知量除以已知量占单位“1”的百分之几，即可求出单位“1”。4A【详解】略 5B【分析】根据图得出第 n 个图中共有 14（n1）个点，则第 10 个图中有 14（101）37 个点。【详解】14（101）149 136 37 故选 B。答案第 2 页，共 19 页【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。6B【分析】先求出 13579531 的结果，然后观察算式的规律，1、3、5、7、9 构成了等差数列，135795，5313，依此即可求解。【详解】13579531（19）52（51）32 259 5232 34 故答案为：B【点睛】在数学算式中探索规律
21、，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。7A【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数。因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是 8，右上是 10；然后求出 m 的值即可。【详解】第四图左下角的数是：628；右上角的数是：8210；那么右下角的数 m 就是：108686 故答案为：A。【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。8C【详解】第一个图形：11=1(个)，第二个图形：22=4(个)，规律：小三角形的个数=图形个数图形个数，根据这个规律计算小
22、三角形的个数即可.9D【分析】观察已知图形，得出一般性规律，写出即可。【详解】如图，第 1 个图形中有 1 个点，即 11；第 2 个图形中有 134 个点，即 22；第 3 个图形中有 1359 个点，即 33；第 4 个图形中有 135716 个点，即 44；答案第 3 页，共 19 页 第 n 个图形中有 nn 个点；故答案选：D。【点睛】此题考查了图形的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键。10C【详解】2.46+0.082.54 故选 C 11C【解析】观察外面图形的特征，图形是两个两个为一组，根据图形的规律确定两种图形的个数即可。【详解】图形按 2 个，2 个排列，最前面是 2
23、个，最后面是 2 个。所以和同样多。故答案为：C。【点睛】解这类题时，先找到图形的排列规律，后根据规律解题即可。12B【解析】第 1 个图形有 1 个；第 2 个图形有 12 个；第 3 个图形有 123 个；第 4 个图形有 1234 个；第 n 个图形有 1234n 个；据此解答。【详解】12345678910（110）5 115 55（个）第 10 个图形有 55 个。故选：B。【点睛】根据前四个图形找出规律，再根据规律来解答问题。13C【分析】把算式 13579531 看作两部分：13579 和 531，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1357952，53132，据此解答。
24、【详解】13579531（13579）（531）答案第 4 页，共 19 页 5232 259 34 所以，与 13579531 表示相同结果的是 5232。故答案为：C【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。14C【解析】3、3、5、7，4 个数是一个循环，要求第 2011 个数是几，用 2011 除以 4，余数是几，就在 3、3、5、7 中选第几个数，因此得解据此进行判断即可解答。【详解】201145023 所以第 2011 个数是 5。故选：C【点睛】此题考查了数列中的规律，看出规律，灵活应用有余数的除法运算而得解。15C【分析】图 1 用 5 根小棒摆成，图
25、2 用 9 根小棒摆成，图 3 用 13 根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加 4 根，所以可得第 n 个图形需要小棒 54（n1）4n1 根，据此即可解答问题。【详解】由图可知：图形 1 的小棍根数为 5；图形 2 的小棍根数为 9；图形 3 的小棍根数为 13；由该搭建方式可得出规律：图形每增加 1，小棍的个数增加 4，所以可以得出规律：搭第 6 个图形需要小棍根数为：54（61）545 520 25（根）故答案为：C【点睛】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普 答案第 5 页，共 19 页 遍规律求解即可。16C【分析
26、】摆一个正方形需要 13 根小棒，摆两个正方形需要 132 根小棒，摆 3 个正方形需要 133 根小棒，依次类推，摆 15 个正方形，需要 1315 根小棒。【详解】1315 145 46（根）故答案为：C【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到摆放的规律。17C【分析】根据 5n1小棒数量，带入数据计算即可。【详解】5101 501 51（根）故答案为：C【点睛】本题考查了数与形，数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。18B【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数（点数1）2线段数量，据此分析。【详解】68（681）2 6
27、8672 45562 2278（条）故答案为：B【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。19C【分析】观察图形，第 1 个图形白色砖的数量是：431；第 2 个图形白色砖的数量是：7321；第 3 个图形白色砖的数量是：10331；答案第 6 页，共 19 页 可以得出规律：第 n 个蝴蝶图案中白色地砖有()31n+块；据此解答。【详解】由分析可知，第 n 个蝴蝶图案中白色地砖有()31n+块，当7n=时，白色地砖数量为 37122（块）。【点睛】此题考查了数与形的规律问题，关键是结合图形数量之间的运算关系，找出规律即可。20D【详解】根据题干分
28、析可得，第一幅图有 2 个三角形，第二幅图有 4 个三角形，第三幅图有 6 个三角形，可推出第 n 幅图有 2n 个三角形，当 n12 时，21224（个）第 12 幅图有 24 个三角形 故答案为：D 21 6 10 14 18 4n2【分析】（1）根据已知图形数出正方形个数即可；（2）题，根据第一题可得：相邻两个图形中正方形个数依次增加 4 个，第 4 个图形中正方形个数通过第 3 个图形中正方形个数加 4 即可解答；（3）第 n 个图形中正方形个数为 6（n1）4，由此即可解答。【详解】1.6；10；14.2.第四个图形中正方形个数为：14418（个）；3.第 n 个图形中正方形个数是（
29、4n2）个。22 16 100【分析】看图，第 1 幅图有 111（个），第 2 幅图有 224（个），第 3 幅图有 339（个），那么可以推测，第 4 幅图有 4416（个），第 10 幅图有 1010100（个）。【详解】4416（个）1010100（个）所以，第 4 幅图有 16 个，第 10 幅图有 100 个。【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。23 15 10【分析】第 1 幅图有 1 个这样的“”；第 2 幅图有 3 个这样的“”，312=+；第 3 幅图有 6 个这样的“”，6123=+；第 4 幅图有 10 个这样的“”，101234=+；答案第 7
30、页，共 19 页 第 5 幅图中“”的个数为：（12345+）个。计算出 55 个“”比第 5 幅图中“”多的个数，再按规律接着加，一直加到 55 个点为止，据此解答。【详解】第 5 幅图有：12345 3345 645 105 15（个）还差：551540=（个）6789 10+1389 10=+21 9 10=+30 10=+40=（个）即第 10 幅图有 55 个这样的“”。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现图与点的个数之间的关系是解本题的关键。24 162 594【详解】（281）6162 个（1001）6594 个 25 33 3n3【分析】观察图可知，第一个图形需要 6 根
31、火柴棒，第二个图形需要（63）根火柴棒，第三个图形需要（632）根火柴棒，依次类推，如果把图形的序数设为 n，火柴棒的根数与图形的序数间的关系为：火柴棒的根数63（n1），当 n10 时，代入即可求出第 10 个图形需要的火柴棒数量。【详解】根据分析得，63（n1）63n31（3n3）根 即第 n 个图形需要（3n3）根火柴棒。当 n10 时，3103 303 答案第 8 页，共 19 页 33（根）即第 10 个图形需要 33 根火柴棒。【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数，多多练习，培养数感。26折线【分析】首先要清楚每一种统计图的特点：条形统
32、计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此解答即可。【详解】由统计图的特点可知，要反映某种股票的涨跌情况最好制成折线统计图。【点睛】解答此题要熟练掌握折线统计图的特点。27 41 5n1【分析】由图可知，每增加一个六边形就需要 5 根小棒，六边形的个数与小棒的关系为：65（n1）5n1，由此解答即可。【详解】摆 8 个六边形时：581 401 41（根）摆n个六边形时需要（5n1）根小棒。【点睛】解答本题的关键是读懂图形，明确每增加一个六边形就需要 5 根小棒，进而总结出规律。28 17 4n3【分析】观察
33、图形可知，后一个图形比前一个图形多 4 朵小花，据此解答即可。【详解】第 1 个图案：1 朵小花 第 2 个图案：14 朵小花 第 3 个图案：144 朵小花 第 4 个图案：1444 朵小花 由此可得，小花的数量是（图案序数1）个 4 的和再加 1，所以：第 5 个图案有小花：1（51）417（朵）第 n 个图案有小花：1（n1）44n3（朵）【点睛】本题考查用字母表示数、找规律，解答本题的关键是找到图案序数与小花朵数之间的关系。2954 答案第 9 页，共 19 页【详解】四个杯子摞起来的高差是（39-30）3=3（）杯子的高度=30-33=21（cm）12 个杯子摞起来后高度=21+3（
34、12-1）=54（cm）故正确答案填 54.30每增加一个三角形增加小棒的根数【分析】由图可知，摆 1 个三角形需要 3 根小棒，摆 2 个三角形需要（32）根小棒，摆 3 个三角形需要（322）根小棒，摆 4 个三角形需要（323）根小棒以此类推，每增加一个三角形就增加 2 根小棒，摆 n 个三角形需要32（n1）根小棒，据此解答。【详解】分析可知，摆 n 个三角形需要小棒的根数为：32（n1）32n2 322n（12n）根 所以，摆 n 个三角形需要（12n）根小棒，12n 中的“2”表示每增加一个三角形增加小棒的根数。【点睛】分析图形找出三角形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。3
35、1 15 18 20 5 27 243【详解】略 32(1)9(2)3n1 【分析】观察图形可知，第一幅图有 4 个小黑点，第二幅图有 7 个小黑点，第三幅图有 10 个小黑点，由此可知，第 n 幅图有 3n1 个黑点。【详解】（1）3n128 解：3n27 n9 第 9 幅图中有 28 个。（2）第 n 幅图中有 3n1 个。【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。答案第 10 页，共 19 页 33 9 25【分析】通过观察发现：第 1 个图形，最下层有 1 个三角形，整个图形有 1 个三角形；第 2 个图形，最下层有 3 个三角形，整个图形有 134 个三角形；第
36、 3 个图形，最下层有 5 个三角形，整个图形有 1359 个三角形；。1，3，5，都是奇数，1，4，9，都是完全平方数。由此发现规律：第 n 个图形，最下层有（2n1）个三角形，整个图形有2n个三角形。【详解】当 n5 时，2n12511019（个），2n5525（个）。所以 5 层“宝塔”的最下层含 9个三角形，整个 5 层“宝塔”有 25 个三角形。【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。34 20 24【分析】观察图形可知，1 张梯形桌可以坐 5 人，2 张梯形桌拼成的长桌可以坐 538 人，3 张梯形桌拼成的长桌可以坐 53311 人，则 n 张梯形桌拼
37、成的长桌可以坐 53（n1）3n2 人，据此填空即可。【详解】6 张梯形桌拼成的长桌可以坐：3n2362 182 20 3n274 解：3n72 n723 n24 则 6 张梯形桌拼成的长桌可以坐 20 人。按这样拼下去，坐 74 人需要拼 24 张梯形桌。【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。356【解析】略 36【解析】略 37 31 3n1【详解】略 答案第 11 页，共 19 页 38【解析】略 39 【详解】略 40 16 3n1【分析】观察图形，摆第 1 个图形需要 4 根小棒，摆第 2 个图形需要（43）根小棒，摆第 3 个图形需要（432）根小棒，每搭
38、一个正方形，小棒数量比前一个多 3 根，依次类推，算出摆第 5 个这样的小正方形需要的小棒数量。继而求出摆第 n 个图形需要43（n1）根小棒。【详解】43（51）434 412 16（根）即摆第 5 个图形需要 16 根小棒。43（n1）43n31 433n（3n1）根 即摆第 n 个图形需要（3n1）根小棒。【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。4118颗 第 670 个图形【分析】观察图形可知，后一个图形中黑色棋子数比前一个多 3，由此可得出第 n 个图形有 3（n1）个棋子，据此解答。【详解】3（51）答案第 12 页
39、，共 19 页 36 18（颗）答：第 5 个图形中有 18 颗黑色棋子。解：设第 x 个图形中有 2013 颗黑色棋子。3x32013 x670 答：第 670 个图形中有 2013 个棋子。【点睛】此题主要考查了数与形，找出图形的变化规律是解题关键。42（1）12；16；20；24 （2）16 块 （3）（4n4）块【详解】（2）（2041）（2041）16（块）答：白瓷砖用了 16 块。（3）n2nn，（n1）44n4（块）。答：花瓷砖用了（4n4）块。432 盘，与小明、小强各下一盘【详解】小明与小强、小丽、小芳、小琼各下一盘 小强与小明、小丽、小芳、小琼各下一盘 小丽与小明、小强、小
40、丽各下一盘 小丽与小明、小强、小丽各下一盘 小琼与小明、小强各下一盘 答：小琼下了 2 盘，小琼与小明、小强各下一盘 44（1）3n1（2）67 枚【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要 4 枚黑色棋子，第二幅图需要 7 枚黑色棋子，第三幅图需要 10枚黑色棋子，则第 n 个图形需要黑色棋子（3n1）枚；（2）把 22 代入到式子 3n1 中进行计算即可。【详解】（1）第 n 个图形需要黑色棋子（3n1）枚。（2）当 n22 时，代入到式子中得：3n13221 661 67 答案第 13 页，共 19 页 答：第 22 个图形中有 67 枚黑色棋子。【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，
41、利用规律是解题的关键。45七种 738=91；748=92；758=93；768=94；778=95；788=96；798=97【解析】略 46见详解【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的 3 份，据此表示1324的积；（2）看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，235，所以应多加一个边长为 5 的正方形，算式上多加一个 52；每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；根据和的规律，下个算式为：2134，再下个算式是 3455，检验发现，34551870，据此填空。【详解】（1）1324可表示为：；（2）序号 1 2 3
42、 4 图形 算式 1212 121222 12122232 1212223252 将算式补充完整：121212 12122223 1212223235 121222325258 1212223252821321321 答案第 14 页，共 19 页 有一个长方形的面积是 1870，它表示的算式是 3455。【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。47136 分钟【详解】解：两人相遇时间要超过 2 小时，出发 130 分钟后，甲乙都休息完 2 次，甲已经行了（千米），乙已经行了（千米）相遇还需要（小时），即 6 分钟 所以两人从出发到第一次相遇用（分钟）48（1）14 把
43、；（2）2n2；（3）16 张【分析】由图可知，1 张桌子时，可以摆 4 把椅子；2 张桌子时，可以摆（42）把椅子；3 张桌子时，可以摆（422）把椅子每增加一张桌子就增加 2 把椅子，那么 n 张桌子时，可以摆 42（n1）把椅子；最后计算出椅子数量为 34 时，n 的值即可。【详解】（1）1 张桌子可以摆椅子的数量：4 把 2 张桌子可以摆椅子的数量：426（把）3 张桌子可以摆椅子的数量：422448（把）4 张桌子可以摆椅子的数量：4324610（把）5 张桌子可以摆椅子的数量：4424812（把）6 张桌子可以摆椅子的数量：45241014（把）答：6 张桌子可以摆 14 把椅子。
44、（2）分析可知，n 张桌子可以摆椅子的数量：42（n1）42n2（2n2）把（3）如果有 34 人，那么需要 34 把椅子。2n234 解：2n342 2n32 n322 n16 答：如果有 34 人，需要并起来 16 张桌子才能坐下。【点睛】分析题意找出椅子数量变化的规律是解答题目的关键。49(1)2003003，12003001；(2)20002，2001 答案第 15 页，共 19 页【详解】解：（1）因为从左起分别以 1 个数，2 个数，3 个数为一组，每组的乘积为 1，组内分子以 1 为公差递增，分母以 1 为公差递减 所以 f(m)=22001为 2002 组内第二项，12002是
45、第 1+2+3+2001+1=2003002 个数，m=2003003，积为 11111200222001=12003001；答：m 的值是 2003003，这 m 个数的积是12003001.（2）设 a 为2x，b=x+1 即（x+1）x=20010002，解得 x1=2002（舍），x2=2000，b=x+1=2000+1=2001，a=2x=20002；答：a 是20002，b 是 2001.5012 人【详解】试题分析：设每只大船坐 x 人，那么每只小船就坐 x8 人，大船可坐 2x 人，小船可坐 5（x8）人，再根据两船可坐总人数是 100 人可列方程：2x+5（x8）=100，依
46、据等式的性质即可求解 解：设每只大船坐 x 人，则每只小船就坐 x8 人，根据题意得：2x+5（x8）=100 2x+5x40=100 7x40+40=100+40 7x7=1407 x=20 208=12（人）答：每只小船可坐 12 人【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为 x，另一个未知数用含 x 的式子来表示，进而列并解方程即可 512008802004000（米）【解析】略 5237.5cm 答案第 16 页，共 19 页【分析】先求出上边 1 层高度，杯子叠起来的高度1 个杯子高度1 层高度（杯子数量1），据此分析
47、。【详解】（2515）（51）104 2.5（厘米）152.5（101）152.59 1522.5 37.5（厘米）答：10 个这样的杯子叠起来的高度是 37.5 厘米。【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。5310【分析】辐射型数阵图，中间数重复了 2 次，根据线和、数和、中间数的关系进行求解。【详解】1 至 7 的总和为，123456728+=，28 1 2310+=，所以每条直线上的三个数的和是10，再根据“1+2+7=10”，“1+3+6=10”，“1+4+5=10”进行合理构造，完成数阵图。【点睛】辐射型数阵图中线和、数和及重复数的关
48、系：“线和直线数=数和+重复数重复次数”。544950 49100+50=4950【详解】1 和 99 相加，2 和 98 相加49 和 51 相加，最剩 50，所以结果是 49100+50=4950 55（1）五层的“宝塔”最下层包含 9 个小三角形，六层有 11 个，七层有 13 个，n 层有 2n1 个（2）整个五层“宝塔”一共包含 25 个小三角形，六层有 36 个，七层有 49 个，n 层有 n2个【分析】（1）第一个图形的最下面一层是 1 个三角形，第二个图形最下面的一层是（12）个三角形，第三个图形最下面的一层是（122）个三角形，则第 n 个图形的最下面的一层就是 122（n1
49、）2 个三角形，据此即可解答问题（2）第一个图形有 1 层，有 112个三角形，第二个图形有 2 层，有 1322个三角形，第三个图形有 3层，有 13532个三角形，第三个图形有 4 层，有 135742个三角形，据此推测第 n 个图形有 n层，有 1357（2n1）n2个三角形【详解】（1）五层的“宝塔”最下层个数：122229 六层的“宝塔”最下层个数：12222211 七层的“宝塔”最下层个数：122222213 第 n 个图形的最下面的一层就是 122（n1）22n1 个（2）第五个图形：135792552 答案第 17 页，共 19 页 第六个图形：13579113662 第六个图
50、形：1357911134972 第 n 个图形有 n 层，有 1357（2n1）n2个三角形【点睛】解答本题的关键是：根据图形及其数列的变化规律求解即可 56因为 3 人比 2 人增加 2 场;4 人比 3 人增加 3 场;5 人比 4 人增加 4 场所以 8 人比赛的场数是1+2+3+7=28(场)【详解】略 572076【分析】由题意可知：第几行就有几个数字，第n行就有n个数字，那么前n行共有1+2+3+n=n（n+1）2个数字，而63642=2016，所以 2013 在第 63 行，那么前 62 行共有 62（62+1）2=1955，所以第 63 行第一个数字是 1996，2013 在第