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1、 试卷第 1 页,共 5 页 学科网(北京)股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 广东广雅中学广东广雅中学 2023-2024 年高三第二次调研年高三第二次调研 数数 学学(新课标(新课标I卷)卷)试卷类型:试卷类型:A 本试卷共本试卷共 5 页,页,22 小题,满分小题,满分 150分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项:注意事项:1答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上)
2、填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右将条形码横贴在答题卡右上角上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2作答选择题时,选出每小题答案后,用作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新
3、的答案;不准使用铅笔和涂改液位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1(本题 5 分)设集合52Axx=,33Bx x=+,202120221aa,20212022101aa B2021
4、202210SS C2022T是数列 nT中的最大值 D数列 nT无最大值 6(本题 5 分)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系ekx by+=(y为保鲜时间,x为储存温度),若该食品在冰箱中0 C的保鲜时间是 144 小时,在常温20 C的保鲜时间是 48 小时,则该食品在高温40 C的保鲜时间是()A16 小时 B18 小时 C20 小时 D24 小时 7(本题 5 分)在菱形ABCD中,2,2 3ABAC=,将ABD沿对角线BD折起,使点 A 到达A的位置,且二面角ABDC为直二面角,则三棱锥ABCD的外接球的表面积为()A53 B163 C203 D1009 8(本题 5
5、 分)函数()()12cos2023 1f xxx=+在区间 3,5上所有零点的和等于()A2 B4 C6 D8 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4小题,每小题小题,每小题 5分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0分分.9(本题 5 分)2023 年入冬以来,流感高发,某医院统计了一周中连续 5 天的流感就诊人数 y与第()1,2,3,4,5x x=天的数据如表所示 x 1 2 3 4 5 y 21 10a 15a 90 1
6、09 根据表中数据可知 x,y具有较强的线性相关关系,其经验回归方程为2010yx=+,则()A样本相关系数在(0,1内 B当2x=时,残差为-2 C点()3,15a一定在经验回归直线上 D第 6 天到该医院就诊人数的预测值为 130 10(本题 5 分)已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+的左右焦点分别为1F、2F,点()2,1P在椭圆内部,点Q在椭圆上,椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是()A离心率e的取值范围为2(0,)2 B当24e=时,1QFQP+的最大值为642+C存在点Q,使得210QFQF=D1211QFQF+的最小值为1 12(本题 5 分)已知函数()f x
7、,()g x的定义域均为 R,它们的导函数分别为()fx,()gx,且()()25f xgx+=,()()43g xf x=,若()2g x+是偶函数,则下列正确的是()A()20g=B()f x的最小正周期为 4 C()1f x+是奇函数 D()25g=,则()202412024kf k=三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13(本题 5 分)若1(10,)5XB,且31YX=+,则()D Y=.14(本题 5 分)记数列na的前n项和为ns,若32123naaaann+=,且2133kkSaS+,是等比数列 nb的前三项,则5b=
8、试卷第 4 页,共 5 页 15(本题 5 分)在ABC中,3BAC=,D为边 BC 上一点,满足3AD=且0AB DCBD AC=,则ABC面积的最小值为 16(本题 5 分)已知对()0,x+,不等式ln1nxmx+恒成立,则mn的最大值是 .四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6小题,共小题,共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本题 10 分)记ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,分别以 a,b,c为边长的正三角形的面积依次为1S,2S,3S,且12334SSSbc=(1)求角 A;(2)若7b=,D为线段 B
9、C延长线上一点,且6CAD=,4BDCD=,求ABC的 BC边上的高 18(本题 12 分)已知数列 na的前n项和为nS,12a=,等比数列 nb的公比为2,22nnnS bn=(1)求数列 ,nnab的通项公式;(2)令,nnna ncb n=为奇数为偶数,求数列 nc的前 10 项和 19(本题 12 分)如图,在四棱锥EABCD中,/ABCD,BCAB,CDCE,45ADCEDC=,12ABCD=,2AD=,3BE=(1)求证:平面BCE 平面ABCD;(2)若M为AE上一点,且()12DMDADE=+,求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值 20(本题 12 分)杭州亚运会的三个吉祥
10、物是琮琮、宸宸和莲莲,他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖,分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神,海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物,方式一:以盲盒方式购买,每个盲盒 19 元,盲盒外观完全相同,内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个,只有打开才会知道买到吉祥物的款式,买到每款吉 试卷第 5 页,共 5 页 学科网(北京)股份有限公司 祥物是等可能的;方式二:直接购买吉祥物,每个 30 元(1)甲若以方式一购买吉祥物,每次购买一个盲盒并打开当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时,用 X 表示甲购买的次数,求 X 的分布列;(2)为了集齐三款
11、吉祥物,甲计划先一次性购买盲盒,且数量不超过 3 个,若未集齐再直接购买吉祥物,以所需费用的期望值为决策依据,甲应一次性购买多少个盲盒?21(本题 12 分)已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的短轴长为 2,离心率为32(1)求椭圆 C 的方程;(2)椭圆 C的左、右顶点分别为 A,B,直线 l经过点()1,0,且与椭圆 C交于 M,N 两点(均异于 A,B 两点),直线 AM,BN 的倾斜角分别记为,,试问是否存在最大值?若存在,求当取最大值时,直线AM,BN 的方程;若不存在,说明理由 22(本题 12 分)已知函数()1ln1f xxx=+.(1)求函数()f x的最小值;(
12、2)若()()21g xxf xaxa=+,求函数()g x的零点个数.试卷第 1 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 广东广雅中学广东广雅中学 2023-2024 年高三第二次调研年高三第二次调研 数数 学学(新课标(新课标I卷)卷)答案详解答案详解 试卷类型:试卷类型:A 本试卷共本试卷共 5 页,页,22 小题,满分小题,满分 150分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项:注意事项:1答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题
13、卡上。用在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右将条形码横贴在答题卡右上角上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2作答选择题时,选出每小题答案后,用作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作
14、答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1(本题 5 分)设集合52
15、Axx=,33Bx x=+,则AB=()A()5,0 B()6,2 C()6,0 D()5,2【答案】B【分析】先解不等式求得集合 B,再根据并集的概念计算即可.【详解】由33x+可得()3336,0 xx+,()2 cossinsincos=+,即cos3sin=,1tan3=.试卷第 3 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司 故选:A 5(本题 5 分)设公比为q的等比数列 na的前n项和为nS,前n项积为nT,且11a,202120221aa,20212022101aa B2021202210SS C2022T是数列 nT中的最大值 D数列 nT无最大值【答案】B【分析】由题分析
16、出01q,可得出数列 na为正项递减数列,结合题意分析出正项数列 na前2021项都大于1,而从第2022项起都小于1,进而可判断出各选项的正误.【详解】当0q 时,则22021202220210aaaq=,且有11nnaqa+=,可得1nnaa+,可得2022202111aaa,此时20212022101aa,与题干不符,不合乎题意;故01q,且有11nnaqa+=,可得1nnaa+,结合20212022101aa可得2022202101aa,结合数列的单调性可得()()12021,012022nnanan 故20212021202120211Sa,20222021202220211SSa=
17、+,2022202120222021110SSSS ,故 B 正确;2021 T是数列 nT 中的最大值,故 CD 错误 故选:B.6(本题 5 分)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系ekx by+=(y为保鲜时间,x为储存温度),若该食品在冰箱中0 C的保鲜时间是 144 小时,在常温20 C的保鲜时间是 48 小时,则该食品在高试卷第 4 页,共 23 页 温40 C的保鲜时间是()A16 小时 B18 小时 C20 小时 D24 小时【答案】A【分析】根据已知条件列出方程组,整体求得20144e1e3bk=,然后整体代入计算即可.【详解】由题意,得20144e48ebk b
18、+=,即20144e1e3bk=,于是当40(C)x=时,()2240201eee144163k bkby+=(小时).故选:A 7(本题 5 分)在菱形ABCD中,2,2 3ABAC=,将ABD沿对角线BD折起,使点 A 到达A的位置,且二面角ABDC为直二面角,则三棱锥ABCD的外接球的表面积为()A53 B163 C203 D1009【答案】C【分析】根据给定条件,确定三棱锥ABCD的外接球的球心位置,再求出球半径即可计算作答.【详解】如图所示:由题意在菱形ABCD中,,AC BD互相垂直且平分,点E为垂足,12,32ABBCCDDAECEAAC=,由勾股定理得22431BEDEBCCE
19、=,所以22BDBECDBC=,即BCD是等边三角形,3BCD=,试卷第 5 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司 设点1O为BCD外接圆的圆心,则BCD外接圆的半径为122 32sin3322BDrOCBCD=,112 33333O ECEOC=,如图所示:设三棱锥ABCD的外接球的球心、半径分别为点,O R,而,CE A E均垂直平分BD,过点O,所以点O在面BDC,面BDA内的射影分别在直线,CE A E上,不妨设点O在面BDC,面BDA内的射影分别为1,O F,即1,OOCE OFA E,由题意,BDCE BDA E,且二面角ABDC为直二面角,即面BDC 面BDA,CEA E
20、E=,所以A EEC,即1FEEO,结合1,OOCE OFA E可知四边形1OOFE为矩形,不妨设1OOFEx=,则由以上分析可知1132 3,33OFO EOC=,3A FA EFEx=,由勾股定理以及222OCA OR=,即222211OOOCOFA F+=+,可得()22222 33333xx+=+,解得33x=,所以222222 332 353333Rx=+=+=,所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为25204433SR=.故选:C.【点睛】关键点睛:画出图形,通过数学结合分析已知量与未知量的关系,建立适当的桥梁关系即可得到试卷第 6 页,共 23 页 球心的位置以及球的半径,关键是首
21、先去找,底面外接圆的圆心,综合性较强.8(本题 5 分)函数()()12cos2023 1f xxx=+在区间 3,5上所有零点的和等于()A2 B4 C6 D8【答案】D【分析】根据()yf x=在3,5的零点,转化为11yx=的图象和函数2cosyx=的图象在3,5交点的横坐标,画出函数图象,可得到两图象关于直线1x=对称,且()yf x=在3,5上有 8 个交点,即可求出.【详解】因为()()112cos2023 2cos11f xxxxx=+=,令()0f x=,则12cos1xx=,则函数的零点就是函数11yx=的图象和函数2cosyx=的图象在3,5交点的横坐标,可得11yx=和2
22、cosyx=的函数图象都关于直线1x=对称,则交点也关于直线1x=对称,画出两个函数的图象,如图所示.观察图象可知,函数11yx=的图象和函数2cosyx=的图象在3,5上有 8 个交点,即()f x有 8 个零点,且关于直线1x=对称,故所有零点的和为4 28=.故选:D 二、多选题(共二、多选题(共 2020 分)分)9(本题 5 分)2023 年入冬以来,流感高发,某医院统计了一周中连续 5 天的流感就诊人数 y与第()1,2,3,4,5x x=天的数据如表所示 x 1 2 3 4 5 试卷第 7 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司 y 21 10a 15a 90 109 根据
23、表中数据可知 x,y具有较强的线性相关关系,其经验回归方程为2010yx=+,则()A样本相关系数在(0,1内 B当2x=时,残差为-2 C点()3,15a一定在经验回归直线上 D第 6 天到该医院就诊人数的预测值为 130【答案】AD【分析】x,y具有较强的正相关关系,可判断相关系数的范围,判断 A;计算 x,y 的平均值,代入回归直线方程求出 a的值,即可求出2x=时的预测值,求得残差,判断 B;看()3,15a是否适合回归直线方程,判断 C;将6x=代入回归直线方程,求出预测值,判断 D.【详解】由题意可知 x,y具有较强的正相关关系,故样本相关系数在(0,1内,A 正确;根据题意得12
24、34521 101590 109344555aax,ya+=+,故44520 3 10a+=+,解得5.2a=,故当2x=时,20 2 1050y=+=,残差为10502a=,B 错误;点()3,15a即点()3,78,当3x=时,20 3 1070y=+=,即点()3,15a不在经验回归直线上,C 错误;当6x=时,20 6 10130y=+=,即第 6 天到该医院就诊人数的预测值为 130,D 正确,故选:AD 10(本题 5 分)已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+的部分图象如图所示,下列说法正确的是()A函数()yf x=的最小正周期为2 B函数()yf x=的图象关于直线
25、512x=对称 试卷第 8 页,共 23 页 C函数()yf x=在2,36单调递减 D该图象向右平移6个单位可得2sin2yx=的图象【答案】BD【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可.【详解】由图象得2A=,3124T=,解得T=,所以()f x的最小正周期为,故 A 错;2T=,则2=,将,212代入()()2sin 2f xx=+中得22sin6=+,则2 62k+=+,Zk,解得2 3k=+,Zk,因为2的左右焦点分别为1F、2F,点()2,1P在椭圆内部,点Q在椭圆上,椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是()A离心率e的取值范围为2(0,)2 B当24e=时,1QFQP+的
26、最大值为642+C存在点Q,使得210QFQF=D1211QFQF+的最小值为1【答案】ABD【分析】A 项中需先解出b的范围,然后利用离心率的定义进行判断;B 项中根据椭圆定义转化为求24QFQP+的最大值,从而进而判断;C 项中先求出点Q的轨迹方程,再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点,从而进行判断;D 项中根据椭圆定义得1224QFQFa+=,并结合基本不等式判断.【详解】对于 A 项:因为点()2,1P在椭圆内部,所以22114b+,得224b,222222110,42ccbbeaaa=,故 A 项正确;试卷第 9 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司 对于 B 项:124QFQP
27、QFQP+=+,当Q在x轴下方时,且P,Q,2F三点共线时,1QFQP+有最大值24PF+,由242ce=,得22c=,22,02F,所以得22262122PF=+=,所以1QFQP+最大值642+,故 B 项正确;对于 C 项:设(),Q x y,若210QFQF=,即:()(),0cxycxy=,则得222xyc+=,即点Q在以原点为圆心,半径为c的圆上,又由 A 项知20,2cea=,得()0,2cea=,又因为224b,得()2,2b,所以得cb,ab(1)若()()f xaf xa+=,则函数()f x的周期为 2a;(2)若()()f xaf x+=,则函数()f x的周期为 2a
28、;(3)若()()1f xaf x+=,则函数()f x的周期为 2a;(4)若()()1f xaf x+=,则函数()f x的周期为 2a;(5)若()()f xaf xb+=+,则函数()f x的周期为ab;(6)若函数()f x的图象关于直线xa=与xb=对称,则函数()f x的周期为2 ba;(7)若函数()f x的图象既关于点(),0a对称,又关于点(),0b对称,则函数()f x的周期为2 ba;(8)若函数()f x的图象既关于直线xa=对称,又关于点(),0b对称,则函数()f x的周期为4 ba;(9)若函数()f x是偶函数,且其图象关于直线xa=对称,则()f x的周期为
29、 2a;(10)若函数()f x是奇函数,且其图象关于直线xa=对称,则()f x的周期为 4a 三、填空题(共三、填空题(共 2020 分)分)13(本题 5 分)若1(10,)5XB,且31YX=+,则()D Y=.【答案】725【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算即得.【详解】由1(10,)5XB,得118()10(1)555D X=,而31YX=+,所以72()9()5D YD X=.试卷第 12 页,共 23 页 故答案为:725 14(本题 5 分)记数列na的前n项和为ns,若32123naaaann+=,且2133kkSaS+,是等比数列 nb的前三项,则5b=【答案
30、】1296【分析】首先由递推关系算出nan=,求出(1)2nn nS+=,再由等比中项得到22k 133ksas+=,解出5k=,最后由基本量法求出1116nnnbbq=,求出最后结果即可.【详解】依题意,312123naaaann+=,故当1n=时,11a=,当2n 时,311211231naaaann+=,依题意,两式相减可得,1nan=,则nan=,因为当1n=时,也满足nan=,所以,(1)nan n=,故(1)2nn nS+=;因为23S,1ka+,3kS+是等比数列 nb的前三项,所以22k 133ksas+=,则()()()23412kkk+=,化简得,23100kk=,解得5k
31、=或2k=(舍去)所以2113Sb=,266ba=,所以等比数列 nb的公比216bqb=,通项公式1116nnnbbq=,故4561296b=.故答案为:1296 15(本题 5 分)在ABC中,3BAC=,D为边 BC 上一点,满足3AD=且0AB DCBD AC=,则ABC面积的最小值为 【答案】3 3 试卷第 13 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司【分析】先根据0AB DCBD AC=,结合正弦定理得到 AD 是BAC的平分线,根据ABCABDADCSSS=+和面积公式得到311ADbc=+,由基本不等式得到()114bcbc+,从而求出3 3ABCS.【详解】因为0AB
32、DCBD AC=,所以ABACBDDC=,在ABD中,由正弦定理得sinsinABBDADBBAD=,在ACD中,由正弦定理得sinsinACCDADCCAD=,因为ADBADC+=,所以sinsinADBADC=,故sinsinBADCAD=,又()0,BAC,故BADCAD=,所以 AD 是BAC的平分线 记ACb=,ABc=,BAD=,则6=,又因为ABCABDADCSSS=+,由面积公式可得111sinsinsin232626bcb ADc AD=+,化简得311ADbc=+,因为()112224cbc bbcbcbcb c+=+=,当且仅当bc=时取等号,所以()2114sin3 3
33、112643ABCADSAD bcADbc=+=+故答案为:3 3【点睛】解三角形中最值或范围问题,通常涉及与边长,周长有关的范围问题,与面积有关的范围问题,或与角度有关的范围问题,常用处理思路:余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案;采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围,如果三角形为锐角三角形,或其他的限制,通常采用这种方法;巧妙利用三角换元,实现边化角,进而转化为正弦或余弦函数求出最值.试卷第 14 页,共 23 页 16(本题 5 分)已知对()0,x+,不等式ln1nxmx+恒成立,则mn的最大值是 .【答案】e【分析】由不等式ln1nxmx+恒成立,求得2lnmn
34、+,故2lnmnnn+,只需求()2lnnG nn+=的最大值即可.【详解】下面证明当0n 时不成立:当0n,若10m,则10nmx,而当()0,1x时ln0 x,原不等式不成立;若10m ,取01min,2 1nxm=,则0ln0 x,010nmx,原不等式不成立,故当0n.不等式ln1nxmx+可化为ln10nxmx+,令()ln1nF xxmx=+,则()221nxnFxxxx=,当()0,xn时()0Fx,()F x单调递增,所以当xn=时,()minln2Fxnm=+,即()ln202ln0nmmn n+,所以2lnmnnn+,令()2lnnG nn+=,则令()21 ln0nG n
35、n=可得1en=,当10,en时()0G n,()G n单调递增,当1en+,时()0G n,()G n单调递减,故()max2 1e1eGn=,即2lnemnnn+,故答案为:e【点睛】关键点点睛:解答本题的思路是将不等式ln1nxmx+可化为ln10nxmx+,然后再构造函数()ln1nF xxmx=+,并对其进行求导,求出函数()ln1nF xxmx=+的最小值为ln2nm+,即ln20nm+,然后求出目标函数()2lnnG nn+=的最大值为e,即2lnemnnn+,所以求出mn的最大值是 试卷第 15 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司 e 四、解答题(共四、解答题(共 7
36、070 分)分)17(本题 10 分)记ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,分别以 a,b,c为边长的正三角形的面积依次为1S,2S,3S,且12334SSSbc=(1)求角 A;(2)若7b=,D为线段 BC延长线上一点,且6CAD=,4BDCD=,求ABC的 BC边上的高【答案】(1)23A=(2)2 【分析】(1)根据等边三角形面积公式,结合余弦定理进行求解即可;(2)根据正弦定理,结合锐角三角形的定义进行求解即可.【详解】(1)由题意得2134Sa=,2234Sb=,2334Sc=,则22212333334444SSSabcbc=,所以222abcbc=,由余弦定理可得
37、2221cos22bcaAbc+=,又0A的短轴长为 2,离心率为32 试卷第 20 页,共 23 页(1)求椭圆 C 的方程;(2)椭圆 C的左、右顶点分别为 A,B,直线 l经过点()1,0,且与椭圆 C交于 M,N 两点(均异于 A,B 两点),直线 AM,BN 的倾斜角分别记为,,试问是否存在最大值?若存在,求当取最大值时,直线AM,BN 的方程;若不存在,说明理由【答案】(1)2214xy+=(2)存在,直线 AM 的方程为320 xy+=,直线 BN 的方程为32 30 xy+=【分析】(1)分析题意直接求方程即可.(2)先分析直线斜率不为0,后翻译条件,利用基本不等式求最值即可.
38、【详解】(1)由分析题意得22222,3,2,bcaabc=+解得2,1,ab=所以椭圆 C的方程为2214xy+=(2)存在最大值,当取最大值时,直线 AM的方程为320 xy+=,BN的方程为32 30 xy=,理由如下:由(1)可得()2,0A,()2,0B,由题意可知直线 l的斜率不为 0,设直线 l的方程为1xmy=+,1122(,),(,)M xyN xy,联立22114xmyxy=+=,得()224230mymy+=,所以()222412416480mmm=+=+,12224myym+=+,12234y ym=+,所以12123()2my yyy=+又()()()()()()11
39、21122121112121212122122122313212tan1222339tan233332222yyyyyyxymyyxmy yyyxymyymy yyyyyyyx+=+所以tan3tan=,可知02或2 若取最大值,则2,此时tan0,tan0时,求出函数单调性,最值()min1()2ln 22xaaa=+,换元后,求导得到函数单调性,分21a=,021a,三种情况,结合函数单调性和零点存在性定理求出零点个数.【详解】(1)由题意得()f x的定义域为()0,+,且()22111xfxxxx=,当01x时,()0fx时,0fx,故()f x在()0,1上单调递减,()f x在()
40、1,+上单调递增,所以()f x在1x=处取得极小值,也时最小值,所以()min()10f xf=.试卷第 22 页,共 23 页(2)()()2221lnag xxf xaxaxxax=+=+,令()2lnaxxax=+,则()()2g xxx=.因为()()2g xxx=的定义域为()0,+,故()yg x=的零点与()yx=的零点相同,所以下面研究函数()yx=在()0,+上的零点个数.由()2lnaxxax=+,得()233122axaxxxx=.当0a 时,()0 x在()0,x+上恒成立,所以()x在()0,x+上单调递增.又()10=,故此时()x有唯一零点,当0a 时,()()
41、()233222(0)xaxaxaxxxx+=,令()0(0)xx,得02xa,得2xa.所以()x在()0,2a上单调递减,在()2,a+上单调递增,所以()min1()2ln 22xaaa=+.令20at=,则212at=,令()211ln22m ttt=+,则()()()111(0)ttm ttttt+=,易得()m t在()0,1上单调递增,在()1,+上单调递减,又()10m=,所以当()()0,11,t+时,()0m t,当21a=,即12a=时,()min()10 x=,此时()x有唯一零点21xa=;当021a,即102a时,则()20a.因为()10=,所以()x在()2,a
42、+上有唯一的零点1x=.22(1)1ln1ln2111aaaaaaaaaa=+=+,试卷第 23 页,共 23 页 学科网(北京)股份有限公司 令(1)1ak ka=,又()20a,即12a 时,且()()()12220,10,ee1,e0eaaaaa=,由函数零点存在定理可得()yx=在()2,eaa上有唯一零点,故()x在()()0,2,2,aa+上各有一个唯一零点.综上,当0a 或12a=时,函数()g x有唯一零点;当0a 且12a 时,函数()g x有两个零点.【点睛】导函数处理零点个数问题,由于涉及多类问题特征(包括单调性,特殊位置的函数值符号,隐零点的探索、参数的分类讨论等),需要学生对多种基本方法,基本思想,基本既能进行整合,注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势,从而判断零点个数,较为复杂和综合的函数零点个数问题,分类讨论是必不可少的步骤,在哪种情况下进行分类讨论,分类的标准,及分类是否全面,都是需要思考的地方