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1、 学科网（北京）股份有限公司 颍上一中颍上一中 蒙城一中蒙城一中 淮南一中淮南一中 怀远一中怀远一中 涡阳一中涡阳一中 2024 届高三第二次五校联考数学试题届高三第二次五校联考数学试题 命题学校：蒙城一中命题学校：蒙城一中 考试时间：考试时间：2024 年年 5 月月 10 日日 考生注意：考生注意：1.本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答題前答題前考生务必用直径考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答題卡上考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题
2、选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效.一一单选题单选题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的.1.设全集,10UAx x=+R，集合2
3、log1Bxx=有解，则实数a的取值范围为（）A.21,e+B.1,e+C.21,e D.1,e 8.已知实数,x y满足13y yx x+=，则31xy+的取值范围是（）A.)46,2 B.)46,4 C.62,22 D.62,42 二二多选多选题题：本题共：本题共 3 小题，共小题，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.一组数据1210,x xx是公差为-2 的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大 B.中位数没变 C.方差变小 D.极差没变 10.已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，下列说法中正确
4、的是（）A.若coscosaAbB=，则ABC一定是等腰三角形 B.若()()coscos1ABBC=，则ABC一定是等边三角形 C.若coscosaCcAc+=，则ABC一定是等腰三角形 D.若()cos 2cos0BCC+，则ABC一定是钝角三角形 11.已知正四面体OABC的棱长为 3，下列说法正确的是（）A.平面OAB与平面ABC夹角的余弦值为13 B.若点P满足()1OPxOAyOBxy OC=+，则OP 的最小值为6 C.在正四面体OABC内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为212 D.点Q在ABC内，且2OQQA=，则点Q轨迹的长度为2 303 三三填空题填空题：本题
5、共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.若n为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第六十百分位数，则二项式312nxx+的展开式的常数项是_.13.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为F，抛物线C的准线l与x轴交于点A，过点A的直线与抛物线C相切于点P，连接PF，在APF中，设sinsinPAFAFP=，则的值为_.学科网（北京）股份有限公司 14.对于函数()()cos0f xxkx x=，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为求()()2221sin21cos21+=_.四四解答
6、题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13 分）已知函数()325f xxaxbx=+.曲线()yf x=在点()()1.1Pf处的切线方程为31yx=+.（1）求,a b的值；（2）求()yf x=在2.2上的最大值和最小值.16.（15 分）如图.在平行四边形ABCD中，1,2,60ABBCABC=，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD 平面ACEF.（1）证明：ABCF；（2）求点C到平面BEF的距离；（3）求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值.17.（15 分）现需要抽取甲
7、乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有 9 个正品和 1 个次品；乙箱中有 8 个正品和 2 个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验.将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验.首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为12.（1）求首次检验抽到合格产品的概率；（2）在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；（3）将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.1
8、8.（17 分）设圆222150 xyx+=的圆心为A，直线l过点()1,0B且与x轴不重合.l交圆A于,C D两点，过B作 学科网（北京）股份有限公司 AC的平行线交AD于点E.（1）设动点E的轨迹为曲线C，求曲线C的方程.（2）曲线C与x轴交于12,A A.点2A在点1A的右侧.直线m交曲线C于点,M N两点(m不过点)2A，直线2MA与直线2NA的斜率分别是12,k k且1294k k=，直线1AM和直线2A N交于点()00,P xy.探究直线m是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；证明：0 x为定值，并求出该定值.19.（17 分）在数学中，把只能被自己和 1 整除
9、的大于 1 自然数叫做素数（质数）.历史上研究索数在自然数中分布规律的公式有“费马数”()221Nnn+；还有“欧拉质数多项式”：()241Nnnn+.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用索数的数据加密技术DZB 数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数23的分子分母分别乘以同一个素数 19，就会得到加密数据3857.这个过程叫加密，逆过程叫解密.（1）数列 na中123,a a a经 DZB 数据加密协议加密后依次变为51 1285458759,34 1542786444.求经解密还原的数据123,a a a的数值.（2）依据123,a a a的数值写出
10、数列 na的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列 na前n项的和nS.（3）为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数()21,f xxx=+是方程()0f x=的两个根()(),fx是()f x的导数.设()()()111,1,2,nnnnf aaaanfa+=.证明：对任意的正整数n，都有na.（本小题数列 na不同于第（1）（2）小题）学科网（北京）股份有限公司 颍上一中颍上一中 蒙城一中蒙城一中 淮南一中淮南一中 怀远一中怀远一中 涡阳一中涡阳一中 2024 届高三第二次五校联考届高三第二次五校联考数学数学 参考答案参考答案提示及评分细则提示及评分细则 一一单选题单选题：本题共
11、：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A D B C A B BC BCD ABC 1.B 根据集合的运算性质.选 B.2.C 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z.即可得到其共轭复数.从而得到其虚部【诡利】因为()1 i1 3iz=+.所以()()()()21 3i 1 i1 3i1 i3i3i12i1 i1 i 1 i2z+=+.所以12iz=.则共轭复数z的虚部为-2.故选 C.3.A 【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程.化简求得正确答案.【诈解】依题意，na是等差数列.且
12、137a aa成等比数列.所以()()22222231711111111,26,4462aa aadaadaa ddaa dda d=+=+=+=.由于0d.所以1122aadd=.故选 A.4.D 当2a=时.两直线重合，故选 D.5.B 【详解】3sin60cos32AAAB ACcbA=.所以2b=，则2222cos7abcbcA=+=.即7a=.由正弦定理172 21sinsinsinsin603caBCA+=+.故选 B.6.C 根据排列.组合公式本题答案选 C.7.A 【分析】分离参数转化为1lnexxxax，构造函数()1lnexxxf xx=.利用导数法求出minmin(),(
13、)f xaf x即为所求.【详解】不等式e1 lnaxxx+有解，即1ln,0exxaxx，只需要min1lncxxax，令 学科网（北京）股份有限公司()()()()212ln1ln0eexxxxxxf xfxxxx+=.令()2ln0g xxx x=+.()110gxx=+.所以函数()g x在()0,+上并调递增，又()()110,2ln20gg=，所以存在.()01.2x.使得()00g x=.即()()0002ln.0,0.0 xxxxg x+=.印()()()00;fxxxg x0.即()0fx.所以函数()f x价()00,x上单调递堿.在()0.x+上单调递增，()00001l
14、nexxf xx=，又由002ln0 xx+=.可得()022000000222001ln1211ee.eeeexxxxxf xax+=.故选 A.8.B 【解析】将实数,x y满足13y yx x+=通过讨论,x y得到其图像足椭圆双曲线的一部分组成的图形.借助图像分析可得34xy+的取值就是图像上一点到直线340 xy+=距离范围的 2 倍.求出切 线方程根据平行直线距离公式算出最小值，利最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数x y满足13y yx x+=.所以当0,0 xy时.2213yx+=其图像位于焦点在：y轴上的作圆第一象限.当0,0 xy时.2213yx=其图像位于焦点在x
15、轴上们双曲线第四象限.当0,0 xy时.2213yx=其图像位于焦点在y轴上的双曲线第二象限，当0.0 xy时.2213yx=其图像不存在.作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中13y yx x+=图像如下：学科网（北京）股份有限公司 任意一点(),x y到直线3.40 xy+=的距离342xyd+=所以342xyd+=结合图像可得34xy+的范围就是图像上一点到直线340 xy+=距离范围的 2 倍.双曲线22221,133yyxx=其中一条渐近线30 xy+=与直线340 xy+=平行 通过图形可得当曲线上一点位于P时.2d取得最小值 当直线上一点靠近双曲线的渐近线30 xy+=时2d取得最
16、大值.不能取等号 设30(0)xycc+=所以，选择方案一，住二次检验抽到合格品的概率更大.18.（17 分）解：因为|,ADACEBAC=故EBDACDADC=.所以EBED=，敌EAEBEAEDAD+=+=.又圆A的标准方程为22(1)16xy+=.从而4AD=.所以4EAEB+=.由题设得()()1,0,1,0,2ABAB=.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：()221043xyy+=.（2）设点()()1122,M x yN xy.直线m xmyt=+联立方程得22,143xmytxy=+=整理得()2223463120mymtyt+=.212122263123434mttyyy ymm
17、+=+，学科网（北京）股份有限公司()()()()()()1212121222121212129422222(2)y yy yy yk kxxmytmytm y ym tyyt=+，所以()2222222312934312642(2)3434tmtmlmm ttmm+=+，即()2222222729312921(2)0434344m t ttmtmm+=+，因为2t，所以()()()()2224921832340mtm ttm+=.化简整理可得16160t=.即1t=，所以直线l过定点()21,0F；解：设直线1AM和直线2A N的斜率为12MANAkk.由椭圆第三定义得12MAMAkk34=
18、.又由得2294NAMAkk=，所以12000000221232AMANykxxykxx+=+.所以04x=；19.（17 分）（1）解：根据费马数()221nF n=+求得()()()217,3257,465537FFF=135117 3.34172.2a=251285257 5.1512257 6.6u=3745875965537 7.78644465537 12.12a=（2）解：根据上：面的数据得数列 na的这项公式为()21(1)1nnnan n+=+经检.验：123a aa的数符合该公式.（如改卷时发现其他通项检检符合也给分，不检险不给分）()2111(1)(1)11nnnnan nnn+=+数列 na前n项的和 学科网（北京）股份有限公司 1111111(1)1(1)22311nnnSnnn=+=+2,.1,.1nnnnnn+=+当 为奇数当 为偶数（3）证明：5151,22=()()21,21nnfxxaa=+=+()2151111515142122142124422nnnnnnnaaaaaaa+=+=+由15112a=依次可得2351,2naaa（基本不等式取等条件不成立.）