2024届广州执信中学高三第二次调研数学试卷含答案.pdf

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1、试卷第 1 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 广州市执信中学广州市执信中学 20242024 届届高高三第二次调研三第二次调研 数学数学 本试卷共本试卷共 22 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.一单项选择题（本大题共一单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1“cos0且sin20”是“为第四象限角”的（）A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 2在复平面内，复数32i,

2、23i+对应的向量分别是,OA OB ，其中O是坐标原点，则向量AB 对应的复数为（）A1 i+B5i C53i D5i+3已知集合Ax xa=C1a a D1a a”的否定是“Zx，20 x”C若不等式20 xaxb+的解集是()3,2 D“(3,0k”是“不等式23208kxkx+对一切 x都成立”的充要条件 11“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是ABC内一点，,BMCAMCAMB的面积分别为,ABCSSS，且0ABCSMASMBSMC+=.以下命题正确的有（）试

3、卷第 3 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 A若:1:1:1ABCSSS=，则M为AMC的重心 B若M为ABC的内心，则0BC MAAC MBAB MC+=C若45,60BACABC=，M为ABC的外心，则:3:2:1ABCSSS=D若M为ABC的垂心，3450MAMBMC+=，则6cos6AMB=12 小明热爱数学，九章算术 几何原本 数学家的眼光 奥赛经典 高等数学 都是他的案头读物 一日，正翻阅 高等数学，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数()f x在区间I有定义，且对1x，2xI，12xx，若恒有()()121222f xf xxxf+，则称函数()f x在区间I上“严格上

4、凸”现已知函数()21elnln212xf xxxx=，()fx为()f x的导函数，下列说法正确的是（）注：e为自然对数的底数，e2.718，ln20.693 A()fx有最小值，且最小值为整数 B存在常数01,12x，使得()f x在()00,x“严格下凸”，在()0,x+“严格上凸”C()f x恰有两个极值点 D()f x恰有三个零点 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分）13在3456(1)(1)(1)(1)xxxx+的展开式中，含3x的项的系数是 .（用数字作答）14应越共中央总书记阮富仲越南国家主席武文赏邀请，中共中央总书记中国国家主席习

5、近平于 2023 年12 月 12 日至 13 日对越南进行国事访问，期间，共同探讨了经济政治等领域的诸多问题，构建了具有战略意义的中越命运共同体，访问受到了越南各层各界的隆重欢迎，引起了全世界的广泛关注.“访越南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数列的公差为 .15过双曲线22124yx=的右支上一点P，分别向()221:54Cxy+=和()222:51Cxy+=作切线，切点分别为,M N，则22PMPN的最小值为 .试卷第 4 页，共 5 页 16已知正三棱台的高为 1，上下底面的边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 四、解答题（本大题共

6、四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题 10 分）在ABC中，,a b c分别是ABC的内角,A B C所对的边，且sinsinsinsinbacACBC=+.(1)求角A的大小；(2)若1sinsin4BC=，2bc=，求边a.18（本题 12 分）已知数列 na满足*1111,22nnaana+=N.(1)证明：数列11na是等差数列，并求数列 na的通项公式；(2)记1(1)nnnnbaa=，求数列 nb的前n项和nS.19（本题 12 分）如图，在五边形PADCB中，四边形A

7、BCD是梯形24ABCDABBCABCDPAB=，是等边三角形 将PAB沿AB翻折成如图所示的四棱锥 (1)求证：PDDC；(2)若BC平面PAB，且1BC=，求平面PBD与平面PAD所成二面角的正弦值 20（本题 12 分）2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日、第 19 届亚运会在中国杭州举行树人中学高一年级举办试卷第 5 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 了“亚运在我心”乒乓球比赛活动比赛采用21n局n胜制()*Nn的比赛规则，即先赢下n局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1p，比赛结束时，甲最终获胜的概率nP(1)若1,22pn=，结束比

8、赛时，比赛的局数为X，求X的分布列与数学期望；(2)若采用 5 局 3 胜制比采用 3 局 2 胜制对甲更有利，即32PP，求p的取值范围 21（本题 12 分）设椭圆 C1：2222xyab+=1（ab0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率是12，已知 A是抛物线 C2：y22px（p0）的焦点，F到抛物线 C2的准线 l的距离为12(1)求 C1的方程及 C2的方程；(2)设 l上两点 P，Q关于x轴对称，直线 AP交 C1于点 B（异于点 A），直线 BQ交 x轴于点 D，若APD 的面积为62，求直线 AP的斜率 22（本题 12 分）设函数()()2 eaxf xx=(1)若曲线(

9、)yf x=在点()()0,0f处的切线方程为30yxb+=，求 a，b 的值；(2)若当0 x 时，恒有()2f xx ，求实数 a 的取值范围；(3)设*nN时，求证：()()2222223521ln112231nnnn+因为在ABC中，2221 34ACBCAB+=+=，所以ABC是直角三角形，且90,60,30ACBAB=因为73CN=，所以点N在以点C为圆心，73为半径的圆C上 作CDAB于点D，因为点C到直线AB的距离3sin2CDACA=，且37123，所以点M在线段1N B上 因为点N在BCM内部，所以点N在弧23N N上（不含点2N和3N）答案第 2 页，共 12 页 设AM

10、A Mt=，当点N在点2N时，223MNMNt=在 RtA MN中，222A MMNA N+=，即222239tt=+，解得12t=当点N在点3N时，3MNMN=在 RtA MN中，222A MMNA N+=，即22329tMN=+，则22329MNt=在3BMN中，372,3,303BMt BNB=，由余弦定理得2223332cosMNBMBNBM BNB=+，代入数据，解得213425t=，则ex，此时()h x递增，令()0h x，则0ex，此时()h x递减，()h x最小值为()11e,2e2eha=.故选：A.9AC 10BCD【详解】对于 A：当11,23xy=时，11231xy

11、+=+=，但111236xy+=+=，故 A 错误；对于 B：修改量词，否定结论可得命题的否定为：“Zx，20 x”，故 B 正确；答案第 3 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C：因为20 xaxb+，解得()3,2x，故 C 正确；对于 D：当0k=时，308恒成立，当0k 时，若不等式23208kxkx+对一切 x都成立，则2034 208kkk=，解得()3,0k，综上，(3,0k 时，不等式23208kxkx+对一切 x 都成立，所以“(3,0k”是“不等式23208kxkx+对一切 x都成立”的充要条件，故 D 正确；故选：BCD.11ABD【详解】对于 A，取B

12、C的中点 D，连接,MD AM，由:1:1:1ABCSSS=，则0MAMBMC+=，所以2MDMBMCMA=+=，所以 A，M，D 三点共线，且23ADMA=，设 E，F 分别为 AB，AC的中点，同理可得23CMCE=，23BMBF=，所以M为AMC的重心，故 A 正确；对于 B，由M为ABC的内心，则可设内切圆半径为r，则有111,222ABCSBC r SAC r SAB r=，所以1110222r BC MAr AC MBr AB MC+=，即0BC MAAC MBAB MC+=，故 B 正确；答案第 4 页，共 12 页 对于 C，由M为ABC的外心，则可设ABC的外接圆半径为R，又

13、45,60BACABC=，则有290,2120,2150BMCBACAMCABCAMBACB=，所以222111sinsin90222ASRBMCRR=，222113sinsin120224BSRAMCRR=，222111sinsin150224CSRAMBRR=，所以:2:3:1ABCSSS=，故 C 错误；对于 D，如图，延长AM交BC于点 D，延长BO交AC于点 F，延长CO交AB于点 E，由M为ABC的垂心，3450MAMBMC+=，则:3:4:5ABCSSS=，又ABCABCSSSS=+，则4ABCASS=，3ABCBSS=，设,MDx MFy=，则3,2AMx BMy=，所以cos

14、cos23xyBMDAMFyx=，即2232xy=，所以6cos6BMD=，所以()6coscos 6AMBBMD=，故 D 正确.答案第 5 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 故选：ABD 12ACD【详解】()21elnln212xf xxxx=，()lnln1eln1 2eln1 2e2xxxxxxxxxxfxxxxx+=，设()e1xg xx=，易得：()()e100 xg xxg=，所以()lneln1 2ln1 ln1 21xxxxxxxxfxxx+=，当ln0 xx+=时，等号成立，故 A 对;1x，2xI，12xx，若恒有()()121222f xf xxxf+，等

15、价于切线一直在割线上方，即()fx单调递减.即函数()f x在区间I上“严格上凸”.设()()ln1e2xxh xfxxx=，()22221 ln1elnexxxxxh xxxx+=+=，易得2elnxxx+在()0,+为增函数.112211e4lne4ln22.7184 0.693022h=+=，所以存在常数01,12x，()00h x=，使得()h x在()00,x上，()0h x，()h x单调递增，即()fx单调递增,在()0,x+“严格下凸”.故 B 错误；由 B 知，()fx在()00,x上单调递减,在()0,x+上，单调递增()1e30f=，答案第 6 页，共 12 页()22l

16、n21152e22.7180.69302222f=，所以()f x恰有两个极值点，故 C 正确；由 C 知，()f x恰有两个极值点，设为12,x x，10202xxx，且01,12x，所以()f x在()10,x和()2,x+单调递减，()12,x x单调递增()220000111limlim elnln21limlnlnlimlnln10222xxxxxf xxxxxxxx=+，()1e3，所以函数()f x在()110,1,1,22+各有一个零点，故 D 正确.故选：ACD 1335 143 1517【详解】由22124yx=，得212425c=+=+=，所以双曲线的焦点坐标为(5,0)

17、，由圆的方程知：圆1C圆心的坐标为1(5,0)C，半径12r=，圆2C圆心的坐标为2(5,0)C，半径11r=，,PM PN分别为两圆切线，22222222111222|4,|1PMPCrPCPNPCrPC=，()()2222121212|33PMPNPCPCPCPCPCPC=+，答案第 7 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 P为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为1212,2C CPCPC=，又121210PCPCC C+=（当为双曲线右顶点时取等号），()()221212|32 10317PMPNPCPCPCPC=+=，即22PMPN的最小值为17.故答案为：17.165003【详

18、解】由题意设三棱台为111ABCABC，如图，上底面111ABC所在平面截球所得圆的半径是11233 3332O A=，（1O为上底面截面圆的圆心）下底面ABC所在平面截球所得圆的半径是1234 3432O A=，（2O为下底面截面圆的圆心）由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线12OO上，设球的半径为R，当O在线段12OO上时，轴截面中由几何知识可得2222341RR+=，无解；当O在12OO的延长线上时，可得2222341RR=，解得225R=，得5R=，因此球的体积是3450033VR=.故答案为：5003.17【详解】（1）由sinsinsinsinbacACBC=+和正弦定理可

19、得：bacacbc=+，整理得：222bcabc+=，答案第 8 页，共 12 页 由余弦定理得：2221cos22bcaAbc+=，因0180A，得112p）的焦点，F到抛物线2C的准线l的距离为12，所以2pa=，12ac=，解得：1a=，12c=，2p=，此时22234bac=.所以椭圆1C的方程为：22413yx+=，抛物线2C的方程为：24yx=.（2）如图：不妨设直线AP的方程为：1xmy=+（0m）联立11xmyx=+=解得：21,Pm，可得21,Qm.联立221413xmyyx=+=，消去x并整理得：()223460mymy+=.答案第 11 页，共 12 页 学科网（北京）股

20、份有限公司 解得：0y=或2634mym=+，所以222346,3434mmBmm+,可得直线BQ的方程为：()222623421103434mmxymmmm+=+.令0y=解得：222332mxm=+，所以2223,032mDm+可得222223613232mmADmm=+.因为APD的面积为62，所以2216262322mmm=+63m=63m=.所以直线AP的斜率：162km=.22【详解】（1）因为()()2 eaxf xx=，则()()e2 eaxaxfxa x=+，则()02f=，()01 2fa=，即切点坐标为()0,2，斜率12ka=，由题意可得：23 001 23ba +=，

21、解得1,2ab=.（2）令()()()22 e2axg xf xxxx=+=+，则()()()e2 e121 e1axaxaxgxa xaxa=+=+，由题意可知：当0 x 时，恒有()0g x，且()00g=，则()01 210ga=+，解得1a，若1a，则有：当a，可知()2 e0axx+，令()41e2axh xx=+，因为41,e2axyyx=+在()0,+内单调递增，可得()h x在()0,+内单调递增，则()()00h xh=，即()()()2 e0axg xxh x=+，符合题意；答案第 12 页，共 12 页 当0a=时，则()2220g xxxx=+=在()0,+内恒成立，符

22、合题意；当01a，则22220axaa+，e0ax，可知()()22 e0axxa axa+=在()0,+内恒成立，则()x在()0,+内单调递增，可得()()0220 xa=，则()g x在()0,+内单调递增，可得()()00g x=，符合题意；综上所述：实数 a的取值范围为(,1.（3）由（2）可知：当1,0ax时，()2 e20axxx+，令1a=，可得()2 e20 xxx+，令12e1xt=，则2e,2lnxtxt=，则()22ln22ln20ttt+，整理得221ln1tttN，则22111ln11nnnnnn+，整理得()()2221ln1ln1nnnnn+，则()()2222223521ln2ln1,ln3ln2,ln1ln12231nnnnn+，所以()()()2222223521ln1ln1ln112231nnnnn+=+.