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1、4.3.1等比数列的概念复习回顾复习回顾等差数列等差数列等比数列等比数列通项公式通项公式推导方法推导方法累加法累加法定义式定义式公差公比公差公比公差公差d可正、可负、可为零可正、可负、可为零通项公式通项公式等差等差/比中比中项项公比公比q可正、可负、不可为零可正、可负、不可为零累乘法累乘法不完全归纳法不完全归纳法探究新知一探究新知一 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品艺术品”，被人们，被人们称为称为谢尔宾斯基三角形谢尔宾斯基三角形，如图所示如果我们观察图中那些着色三角形的个，如图所示如果我们观察图中那些着色三角形的个数，并把它们按面
2、积大小从小到大依次排列起来，可以得到一列数：数，并把它们按面积大小从小到大依次排列起来，可以得到一列数：a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，a5=81，.可以知道，这些数构成等比数列可以知道，这些数构成等比数列.探究新知一探究新知一 探究：探究：a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，a5=81，a6=243，a7=729 这些数构成这些数构成等比数列等比数列.说出说出27是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律。是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律。思考：思考：观察项的下标满足什么关系？由此你能得到什么结论吗？观察项的下标满足什么关系？由此你能得到什么结论吗？可以得到：可以得到：
3、272=981=3243=1729可得到：可得到：a42=a3a5=a2a6=a1a7猜想猜想：等比数列等比数列an中，中，已知已知m+n=s+t(m，n，s，tN*)，aman=asat.探究新知探究新知等比数列等比数列an中，中，已知已知m+n=s+t(m，n，s，tN*)，证明，证明aman=asat.证明：证明：设设等比数列等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，则，则aman=(a1qm-1)(a1qn-1)=a12qm+n-2asat=(a1qs-1)(a1qt-1)=a12qs+t-2而而m+n=s+t所以所以aman=asat.若若an是是等比数列等比数列，公比为，
4、公比为q，正整数，正整数m，n，s，t满足满足m+n=s+t，则，则aman=asat.特别地，当特别地，当m+n=2k(m，n，kN*)时，时，aman=ak2.1、等比中项的推广、等比中项的推广探究新知探究新知即：下标和相等，即：下标和相等，对应项的积相等对应项的积相等等比数列等比数列an中，中，若若m+n=s+t(m，n，s，tN*)，则，则aman=asat.特别地，特别地，当当m+n=2k(m，n，kN*)时，时，aman=ak2.对对有有穷穷等等比比数数列列，与与首首末末两两项项“等等距距离离”的的两两项项之之积积等等于于首首末末两项的积，即两项的积，即a1an=a2an-1=ak
5、an-k+1=例题解析例题解析1、已知、已知an为等比数列为等比数列(1)若若an满足满足a2a4 ，求求a1a32a5；(2)若若an0，a5a72a6a8a6a1049，求，求a6a8；(3)若若an0，a5a69，求，求log3a1log3a2log3a10的值的值解：解：(1)在等比数列在等比数列an中，中，例题解析例题解析1、已知、已知an为等比数列为等比数列(1)若若an满足满足a2a4 ，求求a1a32a5；(2)若若an0，a5a72a6a8a6a1049，求，求a6a8；(3)若若an0，a5a69，求，求log3a1log3a2log3a10的值的值解：解：(2)a5a72
6、a6a8a6a1049，由等比中项的性质，得由等比中项的性质，得a622a6a8a8249，即即(a6a8)249，an0，a6a87.例题解析例题解析1、已知、已知an为等比数列为等比数列(1)若若an满足满足a2a4 ，求求a1a32a5；(2)若若an0，a5a72a6a8a6a1049，求，求a6a8；(3)若若an0，a5a69，求，求log3a1log3a2log3a10的值的值解：解：(3)由等比数列的性质知由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10 log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8
7、)(a4a7)(a5a6)log39510.随堂练习随堂练习1、在等比数列在等比数列an中，若中，若a2a89，则，则a3a7()A、3 B、3 C、9 D、9C解：解：2837，a3a7a2a89.2、等比数列等比数列an中，若中，若a92，则此数列前，则此数列前17项之积为项之积为_解：由题意得解：由题意得a1a2a3a15a16a17 (a1a17)(a2a16)(a3a15)a9 a917 217.随堂练习随堂练习3、已知、已知an是等比数列是等比数列，且，且an0，a2a42a3a5a4a636，求，求a3a5的值的值.解：解：a2a42a3a5a4a636，由等比中项的性质，得由等
8、比中项的性质，得a322a3a5a5236，即即(a3a5)236，an0，a3a56.(1)在等比数列在等比数列an中，连续取相邻中，连续取相邻k项的和项的和(或积或积)构成公比为构成公比为qk(或或 )的等的等比数列比数列(2)若若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是是项数相同的等比数列，公比分别是p和和q，那么，那么anbn与与 也都是等比数列，公比分别为也都是等比数列，公比分别为_和和_(3)若若an是等比数列，公比为是等比数列，公比为q，则数列，则数列an(0)，an2，|an|都是都是等比数列，且公比分别是等比数列，且公比分别是_2、由等比数列衍生的新数列、由等比数列衍生的新
9、数列探究新知探究新知pqq，q2，|q|3、证明数列为等比数列、证明数列为等比数列探究新知探究新知判断一个数列是等比数列的常用方法判断一个数列是等比数列的常用方法(3)等比中项法：若等比中项法：若an12anan2(nN*且且an0)，则数列，则数列an为等比数列说为等比数列说明：证明一个数列是等比数列，只能用明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法定义法或等比中项法(1)定义法：若数列定义法：若数列an满足满足 (q为常数且不为零为常数且不为零)或或 (n2，q为常为常数且不为零数且不为零)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列(2)通项公式法：若数列通项公式法：若数列an的通
10、项公式为的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列例题解析例题解析2、已知数列已知数列an的首项的首项a1=3.(1)若若an为等差数列，公差为等差数列，公差d=2，证明数列，证明数列 为等比数列；为等比数列；(2)若若an为等比数列，公比为等比数列，公比 ，证明数列，证明数列log3an为等差数列为等差数列解：解：(1)由由a1=3，d=2，得，得an的通项公式为的通项公式为an=2n+1.又又b1=33=27所以，所以，是以是以27为首项，为首项，9为公比的等比数列为公比的等比数列.例题解析例题解析2、已知数列已知数列an的首项的首项a1=3.(1)
11、若若an为等差数列，公差为等差数列，公差d=2，证明数列，证明数列 为等比数列；为等比数列；(2)若若an为等比数列，公比为等比数列，公比 ，证明数列，证明数列log3an为等差数列为等差数列解：解：(2)由由a1=3，两边取以两边取以3为底的对数，得为底的对数，得log3an=log333-2n=3-2n所以，所以，log3an+1-log3an=3-2(n+1)-(3-2n)=-2又又log3a1=log33=1所以，所以，log3an是以是以1为首项，为首项，-2为公差的等差数列为公差的等差数列.探究新知探究新知思考思考1、已知已知b0且且b1，如果数列，如果数列an是等差数列，那么数列
12、是等差数列，那么数列 是否一定是是否一定是等比数列？等比数列？证明：证明：设设等差数列等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，则，则探究新知探究新知思考思考2、已知已知b0且且b1，如果数列，如果数列an是各项均为正的等比数列，那么数列是各项均为正的等比数列，那么数列logban是否一定是等差数列？是否一定是等差数列？证明：证明：设设各项均为正的等比数列各项均为正的等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，则，则所以，所以，logban是以是以logba1为首项，为首项，logbq为公差的等差数列为公差的等差数列.方法总结方法总结(1)已知已知b0且且b1，如果数列，如果
13、数列an是等差数列，那么数列是等差数列，那么数列 是等比数列是等比数列.(2)如果数列如果数列an是各项均为正的等比数列，那么数列是各项均为正的等比数列，那么数列logban是等差数列是等差数列.随堂练习随堂练习4、已知数列已知数列an满足满足a1=1，an+12an1.(1)求证：数列求证：数列an+1是等比数列是等比数列；(2)求通项公式求通项公式an.随堂练习随堂练习5、设、设an是公比大于是公比大于1的等比数列，已知的等比数列，已知a1a2a37，且，且a13，3a2，a3+4构成等差数列构成等差数列.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)令令bn=lna3n+1，nN*
14、，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.解得解得a2=2解：解：(1)设数列设数列an的公比为的公比为q，由题意知，由题意知即即2q2-5q+2=0从而从而a1=1又又a1a2a37因为因为q1，q=2，an=2n-1随堂练习随堂练习5、设、设an是公比大于是公比大于1的等比数列，已知的等比数列，已知a1a2a37，且，且a13，3a2，a3+4构成等差数列构成等差数列.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)令令bn=lna3n+1，nN*，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.所以所以bn=lna3n+1=ln23n解：解：(2)由由(1)知知a3n+1=23n，=3n
15、ln2，又又bn+1-bn=3(n+1)ln2-3nln2=3ln2，b1=3ln2，bn是首项为是首项为b1=3ln2，公差为，公差为3ln2的等差数列的等差数列.例题解析例题解析3、用用10000元购买某个理财产品一年元购买某个理财产品一年.(1)若以月利率若以月利率0.400的复利计息，的复利计息，12个月能获得多少利息个月能获得多少利息(精确到精确到1元元)？(2)若若以以季季度度复复利利计计息息，存存4个个季季度度，则则当当每每季季度度利利率率为为多多少少时时，按按季季结结算算的的利利息不少于按月结算的利息息不少于按月结算的利息(精确到精确到10-5)？解：解：(1)设这笔钱存设这笔
16、钱存n个月以后的本利和组成一个数列个月以后的本利和组成一个数列an，则，则an是等比数列，首项是等比数列，首项a1=104(1+0.400)，公比，公比q=1+0.400，a12=104(1+0.400)1210490.7.所以，所以，12个月后的利息为个月后的利息为10490.7-10000491(元元).例题解析例题解析3、用用10000元购买某个理财产品一年元购买某个理财产品一年.(1)若以月利率若以月利率0.400的复利计息，的复利计息，12个月能获得多少利息个月能获得多少利息(精确到精确到1元元)？(2)若若以以季季度度复复利利计计息息，存存4个个季季度度，则则当当每每季季度度利利率
17、率为为多多少少时时，按按季季结结算算的的利利息不少于按月结算的利息息不少于按月结算的利息(精确到精确到10-5)？解：解：(2)设季度利率为设季度利率为r，这笔钱存，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列个季度以后的本利和组成一个数列bn，则，则bn是一个是一个是等比数列，首项是等比数列，首项b1=104(1+r)，公比为，公比为1+r，于是于是b4=104(1+r)4.因此，以季度复利计算，存因此，以季度复利计算，存4个季度后的利息为个季度后的利息为104(1+r)4-104元元.解不等式解不等式104(1+r)4-104491，得，得r1.206.所以，当季度所以，当季度利率不小于利率不
18、小于1.206时，按季结算的利息不少于按月结算的利息时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.例题解析例题解析4、某某工工厂厂去去年年12月月试试产产1050个个高高新新电电子子产产品品，产产品品合合格格率率为为90%.从从今今年年1月月开开始始，工工厂厂在在接接下下来来的的两两年年中中将将生生产产这这款款产产品品.1月月按按去去年年12月月的的产产量量和和产产品品合合格格率率生生产产，以以后后每每月月的的产产量量都都在在前前一一个个月月的的基基础础上上提提高高5%，产产品品合合格格率率比比前前一一个个月月增增加加0.4%，那那么么生生产产该该产产品品一一年年后后，月月不不合合格格的的数数量量能
19、能否否控控制制在在100个个以内？以内？解：从今年解：从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，bn.由题意，知由题意，知an=10501.05n-1，bn=1-90+0.4(n-1)=0.104-0.004n，其中其中n=1，2，24.则从今年则从今年1月起，各月不合格产品的数量是月起，各月不合格产品的数量是anbn=10501.05n-1(0.104-0.004n)=1.05n(104-4n).由计算工具计算由计算工具计算n1234567891011121314anbn105.5105.8106.5107.0107.2107.2106.910
20、6.4105.5104.2102.6100.698.195.0例题解析例题解析4、某某工工厂厂去去年年12月月试试产产1050个个高高新新电电子子产产品品，产产品品合合格格率率为为90%.从从今今年年1月月开开始始，工工厂厂在在接接下下来来的的两两年年中中将将生生产产这这款款产产品品.1月月按按去去年年12月月的的产产量量和和产产品品合合格格率率生生产产，以以后后每每月月的的产产量量都都在在前前一一个个月月的的基基础础上上提提高高5%，产产品品合合格格率率比比前前一一个个月月增增加加0.4%，那那么么生生产产该该产产品品一一年年后后，月月不不合合格格的的数数量量能能否否控控制制在在100个个以
21、内？以内？n1234567891011121314anbn105.5105.8106.5107.0107.2107.2106.9106.4105.5104.2102.6100.698.195.0观察发现，数列观察发现，数列anbn先递增，在第先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当项以后递减，所以只要设法证明当n6时，时，anbn递减，递减，且且a13b13100即可即可.所以，当所以，当n6时，时，anbn递减递减.又又a13b1398100，所以，当，所以，当13n24时，时，anbna13b135方法总结方法总结1、构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解、构造等
22、差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.2、若数列、若数列an即非等差数列又非等比数列，可利用数列的单调性或不等即非等差数列又非等比数列，可利用数列的单调性或不等式组求解，亦可通过特殊值法发现数列的项的变化规律，再结合论证求式组求解，亦可通过特殊值法发现数列的项的变化规律，再结合论证求解解决数列解解决数列an的最大值问题的最大值问题随堂练习随堂练习6、每次用相同体积的水洗一件衣服，且每次能洗去污垢的每次用相同体积的水洗一件衣服，且每次能洗去污垢的 ，若洗，若洗n次后存次后存留的污垢在留的污垢在1%以下，则以下，则n的最小值为多少？的最小值为多少？4随堂练习随堂练习7、已知数列已
23、知数列an的通项公式为的通项公式为 ，求使，求使an取得最大值时取得最大值时n的值的值 .n=3例题解析例题解析5、已知数列已知数列an为等差数列，公差为等差数列，公差d0，由，由an中的部分项组成的数列中的部分项组成的数列 ，为等比数列，其中为等比数列，其中b1 1，b2 5，b3 17.求数列求数列bn的通项公式的通项公式解：依题意得解：依题意得a52a1a17，即，即(a14d)2a1(a116d)，所以所以a1d2d2，因为因为d0，所以，所以a12d，数列数列 的公比的公比所以所以 ，因为因为a12d0，所以，所以bn23n11.例题解析例题解析6、已知等比数列已知等比数列an的各项
24、都是正数，且的各项都是正数，且a1，,2a2成等差数列，则成等差数列，则=().A解解：a1，,2a2成等差数列，成等差数列，a3=a1+2a2 a1q2=a1+2a1q，即，即q2-2q-1=0随堂练习随堂练习8、已知已知an为等差数列，且为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)记记an的前的前n项和为项和为Sn，若若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数成等比数列，求正整数k的值。的值。所以所以ana1(n1)d22(n1)2n.解：解：(1)设数列设数列an的公差为的公差为d，由题意知，由题意知(2)由由(1)可可得得因为因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以成等比数列，所以ak2a1Sk2，从而从而(2k)22(k2)(k3)，即，即k25k60，解得解得k6或或k1(舍去舍去)，因此，因此k6.