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1、学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司秘密启用前秘密启用前遂宁市高遂宁市高 2021 级第一次诊断性考试级第一次诊断性考试数学（文科）数学（文科）本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答
2、案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合232,450AxxBx xx，则AB（）A B3,1 C1,2 D3,22复数1ii1iz，则z（）A1 B2 C2 D43已知向量1,3,2,1ab，则 2abab（）A10 B18 C7,8 D4,144已知
3、命题:,221xpxx R，则p为（）A,221xxx R B,221xxx RC,221xxx R D,221xxx R5甲、乙两人进行了 10 轮的投篮练习，每轮各投 10 个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小B甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小C甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小D甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大6执行如图所示的程序框图，若输人的x值为 2023，则输出的y值为（）A116 B18 C14 D127 已知数列 na是等差数列，数列 nb是
4、等比数列，若1599aaa，2 5 83 3b b b，则282 81aab b（）A2 B3 C32 D338已知12,F F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，点A在C上，若122F AF A，121230,AFFAFF的面积为6 3，则C的方程为（）A22196xy B22136xy C22169xy D22163xy9若直线ykx与曲线lnyx相切，则k（）A21e B22e C1e D2e10 函数 sin0,2f xx的图象经过点10,2，将该函数的图象向右平移3个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（）A52 B83 C3 D72学科网（北京）
5、股份有限公司学科网（北京）股份有限公司11在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是（）A1AB与11AC所成的角为60 B1DB与11AC所成的角为60C1AB与1AD所成的角为45 D1DB与11C D所成的角为4512已知O为坐标原点，12,F F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，,A B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且2PFx轴，直线AP与y轴交于点M，直线BM与2PF交于点Q，直线1FQ与y轴交于点N若14ONOM，则C的离心率为（）A13 B12 C23 D34二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
6、0 分分13已知函数 21sinfxaxax为偶函数，则a _14已知实数,x y满足4,20,2,yxyyx则23xy的最大值为_15在正四棱台1111ABCDABC D内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若112,4ABAB，则该四棱台的高是_16 九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织 24 尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，前 4 天织了 24 尺布，且第 7 天所织布尺数为第 1 天和第 2 天所织布尺数的积问第 10 天织布尺数为_三、解答题：共三、解答题：共 70
7、分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了 300 件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良优合计甲生产线4080120乙生产线80100180合计120180300（1）通过计算判断，是否有90%的把握认为产
8、品质量与生产线有关系？学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了 6 件产品若在这 6 件产品中随机抽取 2 件，求这 2 件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率附表及公式：20P Kk0.150.100.050.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635其中22(),n adbcKnabcdabcdacbd18（12 分）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若ABC为锐角三角形，3A，求ABC面积的取值范围从2 3a；2b 这两个条件中任选一个，补充在上
9、面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（12 分）已知O为坐标原点，过点2,0P的动直线l与抛物线2:4C yx相交于,A B两点（1）求OA OB ；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得AQPBQP 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由20（12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，直线1C B 平面ABC，平面11AAC C 平面11BBC C（1）求证：1ACBB；（2）若12ACBCBC，在棱11AB上是否存在一点P，使得四棱雉11PBCC B的体积为43？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由21（12
10、分）已知函数 32sincosfxaxxxx学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（1）若0a，判断 fx在,2 2 上的单调性，并说明理由；（2）当0a，探究 fx在0,上的极值点个数（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，已知曲线22:C xyxy（其中0y，曲线1cos,:sinxtCyt（t为参数，0t），曲线2sin,:cosxtCyt（t为参数，0,02t）以坐标原点O
11、为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求C的极坐标方程；（2）若曲线C与12,C C分别交于,A B两点，求OAB面积的最大值23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设函数 222f xxx（1）解不等式 52fxx；（2）令 fx的最小值为T，正数,a b满足222abbT，证明：2 21ab书书书数学?文科?试题答案 第?页?共?页?文科数学参考答案?槡?解析?由题?分因此?有?的把握认为产品质量与生产线有关系?分?记这?件产品中产自于甲生产线的有?件?记为?产自于乙生产线的有?件?记为?从这?件产品中随机抽取?件的所有基本事件有?共?个?其中?至少有一件产自于甲生产线的基本事件有?
12、个?所以?抽取的?件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为?即?分?解析?若选?由正弦定理得?槡?分所以?分?槡?分所以?槡?槡?槡?分?槡?槡?槡?槡?槡?分因为?为锐角三角形?所以?且?所以?#QQABCYAQogioABAAABhCEQX6CEGQkBGCCIoGQEAIMAABgANABAA=#数学?文科?试题答案 第?页?共?页?所以?分所以槡?槡?槡?槡?故锐角?面积的取值范围为?槡?槡?分若选?由正弦定理得?分所以?槡?槡?分因为?为锐角三角形?所以?且?所以?分所以?槡?槡?分所以?槡?槡?槡?故锐角?面积的取值范围为槡?槡?分?解析?由题知?直线?与?轴不垂直?故可设直线?的
13、方程为?由?得?分显然?于是?分所以?分?当直线?轴时?槡?槡?故当?时?点?轴?分当直线?与?轴不垂直时?由抛物线的对称性知?满足条件的点?轴?设?由?得?即?分整理得?即?#QQABCYAQogioABAAABhCEQX6CEGQkBGCCIoGQEAIMAABgANABAA=#数学?文科?试题答案 第?页?共?页?所以?分故?解得?综上?存在定点?满足条件?分?解析?在平面?中作?于?因为平面?平面?且平面?平面?所以?平面?从而?分在三棱柱?中?平面?平面?所以?又因为?所以?平面?因此?分?假设点?存在?在平面?中?作?交?于?则?因为?平面?故?平面?分在平行四边形?中?因为?且?
14、所以?分所以?所以?分因?所以?故符合条件的点?存在?为?的中点?分?解析?当?时?在?上是单调递增函数?分理由如下?思路?依题意?分当?时?当?时?则?故?时?所以?在?上是单调递增函数?分思路?依题意?分#QQABCYAQogioABAAABhCEQX6CEGQkBGCCIoGQEAIMAABgANABAA=#数学?文科?试题答案 第?页?共?页?由于?则?为奇函数?故可先判断?在?上单调性?当?时?此时?单调递增?由于?为奇函数?所以?在?上是单调递增函数?分?由?得?依题意?只需探究?在?上的零点个数即可?令?则?当?即?时?此时?在?恒成立?则?即?单调递增?故?此时?在?上无零点?
15、则?在?上的极值点个数为?分?当?即?时?使得?即?可知?时?时?所以?即?在?上单调递增?在?上单调递减?分由于?若?即?时?在?上没有零点?所以?在?上的极值点个数为?分?若?即?时?在?上有?个零点?所以?在?上的极值点个数为?综上所述?当?时?在?上的极值点个数为?时?在?上的极值点个数为?分?解析?因为?由?得?分由?知?槡?且?故?分?范围写成?不扣分?曲线?为参数?的极坐标方程为?#QQABCYAQogioABAAABhCEQX6CEGQkBGCCIoGQEAIMAABgANABAA=#数学?文科?试题答案 第?页?共?页?又?所以曲线?的极坐标方程为?分联立曲线?与?的极坐标方程?得?联立曲线?与?的极坐标方程?得?分故?的面积为?故当?时?面积的最大值为?分?解析?当?时?解得?分当?时?解得?分当?时?此时不成立?分综上所述?原不等式的解集为?分?由题意?当?时?当?时?当?时?则?的最小值为?所以?即?分因为?又?为正数?则当且仅当?时取等号?此时?槡?槡?所以?槡?即?槡?分#QQABCYAQogioABAAABhCEQX6CEGQkBGCCIoGQEAIMAABgANABAA=#