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1、公众号：高中试卷君必刷小题5导数及其应用一、单项选择题1函数f(x)(2x1)ex的单调递增区间为()A. B.C. D.答案C解析因为函数f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x1)ex，令f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为.2(2023茂名模拟)若曲线yf(x)x2axb在点(1，f(1)处的切线为3xy20，则有()Aa1，b1 Ba1，b1Ca2，b1 Da2，b1答案B解析将x1代入3xy20得y1，则f(1)1，则1ab1，f(x)x2axb，f(x)2xa，则f(1)3，即2a3，联立，解得a1，b1.3已知x0是函数f(x)eaxln(x
2、a)的极值点，则a等于()A1 B2 Ce D1答案A解析因为f(x)eaxln(xa)，所以f(x)aeax.又x0是f(x)的极值点，所以a0，解得a1，经检验知a1不符合条件，故a1.4(2023济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间a，b上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)f(a)f(c)(ba)成立，其中c叫做f(x)在a，b上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数f(x)x33x在2,2上的“拉格朗日中值点”的个数为()A3 B2 C1 D0答案B解析函数f
3、(x)x33x，则f(2)2，f(2)2，f(x)3x23，由f(2)f(2)f(c)(22)，得f(c)1，即3c231，解得c2,2，所以f(x)在2,2上的“拉格朗日中值点”的个数为2.5(2023潍坊模拟)已知函数f(x)xexx22xm在(0，)上有零点，则m的取值范围是()A1ln22，) Bln221，)Cln22，) D.答案C解析由函数yf(x)在(0，)上存在零点可知，mxexx22x(x0)有解，设h(x)xexx22x(x0)，则h(x)(x1)(ex2)(x0)，当0xln 2时，h(x)ln 2时，h(x)0，h(x)单调递增则xln 2时，h(x)取得最小值，且h
4、(ln 2)ln22，所以m的取值范围是ln22，)6已知a，bR，则“ln aln b”是“asin bbsin a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由ln aln b，得ab0.由asin bbsin a，得asin absin b.记函数f(x)xsin x(xR)，则f(x)1cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，又asin absin b，则f(a)f(b)，所以ab.因此“ln aln b”是“asin bbsin a”的充分不必要条件7(2023宁波模拟)设m0 ，若xm为函数f(x)m(xm)2(xn)的极小值点，则(
5、)Amn BmnC.1答案C解析f(x)m2(xm)(xn)(xm)23m(xm)，若m0，则f(x) 是开口向下的抛物线，若xm是极小值点，必有mm，即0 ，f(x) 是开口向上的抛物线，若xm是极小值点，必有m，则nm，即1，综上，0，得x4ln 2；令h(x)0，得x4ln 2，所以h(x)在(，4ln 2)上单调递减，在(4ln 2，)上单调递增，h(x)min78ln 2，所以当x4ln 2时，x2x1取最小值，为78ln 2.二、多项选择题9下列函数中，存在极值点的是()Ayx By2x2x1Cyxln x Dy2x3x答案ABC解析由题意，对于A，函数yx，y1，可得函数yx在(
6、，1)，(1，)上单调递增，在(1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x1和x1；对于B，函数y2x2x1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标x；对于C，函数yxln x，yln x1，当x时，y0，函数单调递增，所以函数yxln x在x处取得极小值；对于D，函数y2x3x，y6x210，解得x2；令f(x)0，解得xf(3)，故f(x)的最大值为f(1)e1.11.函数f(x)ax3bx2cx的图象如图，且f(x)在xx0与x1处取得极值，给出下列判断，其中正确的是()Ac0Ba0D函数yf(x)在(0，)上单调递减答案AC解析f(x)3ax22bxc3a(xx
7、0)(x1)，由图知x1时，f(x)单调递增，可知f(x)0，所以a0，故B错误；又f(x)3ax22bxc3a(xx0)(x1)3ax23a(1x0)x3ax0，2b3a(1x0)，c3ax0，x010c3ax00, 故A正确；x010，1x00，故C正确；f(x)3ax22bxc，其图象开口向上，对称轴小于0，函数f(x)在(0，)上单调递增，故D错误12(2022南通模拟)定义：在区间I上，若函数yf(x)是减函数，且yxf(x)是增函数，则称yf(x)在区间I上是“弱减函数”根据定义，下列结论正确的是()Af(x)在(0，)上是“弱减函数”Bf(x)在(1,2)上是“弱减函数”C若f(
8、x)在(m，)上是“弱减函数”，则meD若f(x)cos xkx2在上是“弱减函数”，则k答案BCD解析对于A，f(x)在(0，)上单调递减，yxf(x)1不单调，故A错误；对于B，f(x)，f(x)，在(1,2)上f(x)0在x(1,2)上恒成立，yxf(x)在(1,2)上单调递增，故B正确；对于C，若f(x)在(m，)上单调递减，由f(x)0，得xe，me，yxf(x)ln x在(m，)上单调递增，故C正确；对于D，f(x)cos xkx2在上单调递减，f(x)sin x2kx0在x上恒成立2kmin，令h(x)，h(x)，令(x)xcos xsin x，(x)cos xxsin xcos
9、 xxsin x0，x，(x)在上单调递减，(x)(0)0，h(x)h，2kk，令g(x)xf(x)xcos xkx3，则g(x)在上单调递增，g(x)cos xxsin x3kx20在x上恒成立，3kmax，令F(x)，F(x)0，x，F(x)在上单调递增，F(x)F，3kk，综上，k，故D正确三、填空题13(2023十堰模拟)曲线yln xx2在x1处的切线方程为_答案3xy20解析因为y2x，当x1时，y1，切线斜率ky|x13，所以曲线yln xx2在x1处的切线方程为3xy20.14函数f(x)3x|ln x|3的最大值为_答案2ln 3解析由题知当x1时，f(x)3xln x3，f
10、(x)30，f(x)在1，)上单调递减，f(x)maxf(1)0；当0x0，当x时，f(x)1时，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递增，都满足，f(x)x33x满足题意16(2022郑州质检)已知过点P(a,1)可以作曲线yln x的两条切线，则实数a的取值范围是_答案(0，e)解析设曲线yln x与其切线交于A(x0，y0)，切线方程l：ykxb，y，由导数与切线方程斜率关系可得ky|，又切线过点P(a,1)，要保证过点P(a,1)可以作曲线yln x的两条切线，可得P(a,1)不能在曲线yln x上，x0a，k，点A在曲线yln x上，故y0ln x0，由式可得，x0(ln x01)x0a，解得a2x0x0ln x0，令f(x)2xxln x，则f(x)2xln x1ln x，令f(x)0，故1ln x0，xe，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，即f(x)在xe处取得最大值，故f(x)maxf(e)2eeln ee，作出f(x)的草图如图所示，由图可知a仅在(0，e)范围内有2个对应的x值，即a(0，e)时，有2个解，此时存在2条切线方程，综上所述，a的取值范围为(0，e)公众号：高中试卷君