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1、公众号：高中试卷君必刷小题16圆锥曲线一、单项选择题1(2023淄博模拟)双曲线x21的离心率为()A. B. C. D. 答案C解析双曲线x21的焦点在y轴上，a，b1，c2，所以离心率为.2(2022郑州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为()A5 B10 C15 D20答案D解析根据题意，由椭圆的离心率为可得，又2bc48，即bc48，且a2b2c2，故可得a10，b8，c6，则椭圆的长轴长2a20.3(2022长春模拟)已知M为抛物线C：x22py(p0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p
2、等于()A3 B4 C5 D6答案B解析抛物线C：x22py(p0)的准线方程为y，因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，所以2，所以p4.4(2023河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由题意，设椭圆C的方程为1(ab0)，因为椭圆C的离心率为，面积为12，所以解得a216，b29，所以椭圆C的方程为1.5(2022滁州
3、模拟)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段PF2的中点在以原点O为圆心，OF2为半径的圆上，则直线PF2的倾斜角为()A. B. C. D.答案C解析在椭圆1中，a2，b，c1，设线段PF2的中点为M，连接PF1，MF1，如图所示，则F1F2为圆O的一条直径，则F1MPF2，因为M为PF2的中点，则|PF1|F1F2|2c2，则|PF2|2a|PF1|2，所以PF1F2为等边三角形，由图可知，直线PF2的倾斜角为.6(2023石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y24x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|PN|的最小值是()
4、A21 B.1 C.1 D21答案A解析由抛物线C：y24x知，焦点F(1,0)，准线方程为x1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|PM|PQ|1|PM|PF|PM|1，当F，P，M三点共线时，|PM|PN|取得最小值，则最小值为|MF|1121.7(2022德州联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为c，且PF2F1120，则双曲线C的离心率为()A.1 B.C.1 D.答案B解析作PMx轴于点M，如图，依题意|PM|c，PF2F1120，则PF2M60，由题意知F2(c,0)，由sinPF2M，得|PF2|
5、2c，由双曲线的定义知|PF1|2a2c，而|F1F2|2c，在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1，解得2a2c2c，即a(1)c，又离心率e，于是有e，所以双曲线C的离心率为.8(2022连云港模拟)直线l：yx1与抛物线C：y24x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是()A4 B10C4或10 D4或12答案D解析可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，可得y24y40，则y1y24，即y1y2x11x214，则x1x26，可得AB的中点坐标为P(3，2)，易知，直线l过抛物线焦
6、点(1,0)，则|AB|x11x218，且AB的垂直平分线方程为 y(2)1(x3)，即yx5，则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，所以ba5，则圆M的方程为(xa)2(yb)2r2，即(xa)2(ya5)2r2，又圆心M(a，b)到直线l: yx1的距离d，且满足2d2r2，则162(a3)2r2，又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a1|r，即(a1)2r2，联立解得或二、多项选择题9(2023济南模拟)已知双曲线C：1(m0)，则下列说法正确的是()A双曲线C的实轴长为2B双曲线C的焦点到渐近线的距离为mC若(2,0)是双曲线C的一个焦点，则m2D若双曲线C的两条渐近线相互垂直，
7、则m2答案CD解析由双曲线C：1，得a，b，c，则双曲线C的实轴长为2，故A错误；双曲线的渐近线方程为yx，即xy0，取右焦点(，0)和渐近线xy0，则右焦点(，0)到渐近线xy0的距离为，故B错误；因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，所以c2，则m2，故C正确；因为渐近线yx和yx垂直，所以1，解得m2，故D正确10(2022潍坊模拟)已知抛物线x2y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A点F的坐标为B若直线MN过点F，则x1x2C若，则|MN|的最小值为D若|MF|NF|，则线段MN的中点P到x轴的距离为答案BCD解析易知点F的坐标为，选项A
8、错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2p2，选项B正确；若，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2y的焦点为，准线方程为y，过点M，N，P分别作准线的垂线MM，NN，PP，垂足分别为M，N，P(图略)，所以|MM|MF|，|NN|NF|.所以|MM|NN|MF|NF|，所以线段|PP|，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP|，选项D正确11(2023湖北四地联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则()A椭圆C的离心率的取值范围是B当椭圆C的离心率为时，|QF1
9、|的取值范围是2，2C存在点Q使得0D.的最小值为1答案BCD解析由题意得a2，又点P(，1)在椭圆C外，则1，解得b，即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确；当e时，c，b1，所以|QF1|的取值范围是ac，ac，即2，2，故B正确；设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，由于b2c22b2a20，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则()A|PA1|PA2|2aB若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为C若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1D若双曲线C为等
10、轴双曲线，且A1PA23PA1A2，则PA1A2答案BCD解析对于A，在PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，得|PA1|PA2|0)，设P(x0，y0)(y00)，则xya2，则xa2y，故1，故C正确；对于D，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2y2a2(a0)，且A1PA23PA1A2，设PA1A2，A1PA23，则PA2x4，根据C的结论1，即有tan tan 41，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故4，故D正确三、填空题13(2022烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程_中心为坐标原点；焦点在坐标轴上；离心率为.答案1(答案不唯一)解析只要椭圆方程形如
11、1(m0)或1(m0)即可14(2023衡水中学模拟)若双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为_答案解析2，4，故4，两条渐近线方程为yx，两条渐近线所成的锐角为.15(2023海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题结合上述观点，可得方程4的解是_答案x解析因为4，所以4，可转化为点(x,2)到点(2,0)和点(2,0)的距离之和为4，所以点(x,2)在椭圆1上，则1，解得x.16(2022临沂模拟)已知抛物线C
12、：x22py(p0)的焦点为F，Q(2,3)为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|MF|的最小值为4，则p_；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则AOB的面积为_答案22解析如图，过点M作MM1垂直准线于点M1，由抛物线定义可知|MF|MM1|.所以|MQ|MF|MQ|MM1|.过点Q作QQ1垂直准线于点Q1，交抛物线于点P，所以|MQ|MM1|PQ|PQ1|，所以当M在P处时，|MQ|MM1|PQ|PQ1|QQ1|最小，此时|QQ1|34，解得p2.所以抛物线标准方程为x24y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得xx4y14y2，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x1x24，所以直线AB的斜率为k1，所以直线AB的方程为y31(x2)，即yx1.由A(x1，y1)，B(x2，y2)符合消去y得x24x40，所以x1x24，x1x24.所以弦长|AB|x1x2|8.而O到直线AB的距离为d，所以SAOB|AB|d82.公众号：高中试卷君