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1、丹东市20222023学年度上学期期末教学质量监测高二数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抛物线定义即可求.【详解】由定义可知，抛物线的准线方程为.故选：B2. 学校组织社团活动，要求每名
2、同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】分析】由分步计数乘法原理即可求解【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种故选：D3. 已知椭圆过点，焦点分别为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.【详解】设椭圆方程为，由题有：.则，故离心率为.故选：A4. 已知空间向量，若，共面，则实数的值为（ ）A. B. 6C. D. 12【答案】A【解析】【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.【详解】由，共面，可设，则，
3、由，解得，代入第三个方程可得：，解得.故选：A.5. 在正方体中，点是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ）A. 1B. 5C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】由题可得为二面角的平面角，后结合题目条件可得答案.【详解】如图，因几何体为正方体，则面，面，则，又平面，则，故即为二面角的平面角.过E做直线垂线，交于F，则F为中点.故.故选：C6. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由点到直线距离公式可得间关系，据此可得答案.【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为，右焦点为，则，故渐近线方程为.故选：C7. 如图所示为
4、某公园景观的一隅，是由五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依次确定区域、的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】区域有种颜色鲜花可供选择，区域有种颜色鲜花可供选择，区域有种颜色鲜花可供选择，区域、各有种颜色鲜花可供选择，由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为种.故选：B.8. 已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）A. 12B. 6C. 24D. 【答案】A【解析】【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计
5、算即可.【详解】圆，圆心坐标为，半径，圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，圆与圆都过点，则，如图所示，又，由对称性可知，则四边形的面积.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法
6、减去没有次品（全为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况（2个次品）.【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法；抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法；故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，A错误，B正确；间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，C正确；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为，
7、D正确；故选：BCD.10. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】对ACD，由赋值法可判断；对B，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A，令得，A对；对B，由二项式展开项通项公式可得第2项为，B错对C，令得，C对；对D，令得，D错.故选：AC.11. 已知直线，则下列表述正确的是（ ）A. 当时，直线的倾斜角为B. 当实数变化时，直线恒过点C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1D. 直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4【答案】ABD【解析】【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；C选项，
8、由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.则围成三角形面积为，后由基本不等式可判断选项.【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为，故A正确；B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；C选项，因直线与直线平行，则，则直线方程为：，即.则与直线之间的距离为，故C错误；D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.又交点在两坐标轴正半轴，则.故围成三角形面积为，当且仅当，即时取等号.即面积最小值为4，故D正确.故选：ABD.12. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是，边上的动点，且满足，则（ ）A. 当时，正方体各棱与平面夹角相等B.
9、当时，存在使得直线与平面垂直C. 当时，满足的点有且只有两个D. 当时，异面直线与的距离为【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.【详解】以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，当时，,，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，同理，由此可得正方体各棱与平面夹角相等，A正确；当时，则，即与不垂直，所以直线与平面不垂直，B错误；当时，设，由，有，化简得，所以这样点不可能有两个，C错误；当时，的中点为，的中点为，则，所以是异面直线与的公垂线段，且，所以异面直线与的距离为，D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分
10、，共20分13. 已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.【详解】设异面直线和所成角为，则.故答案为：.14. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第_行【答案】【解析】【分析】设这一行为第行，且这三个数分别为、，利用组合数公式可
11、得出关于的等式，解出的值，即可得解.【详解】由题意可知，这一行为第行，且这三个数分别为、，由题意可得，解得，因此，这一行是第行.故答案为：.15. 平行六面体的底面是菱形，线段的长度为，则_【答案】#0.5【解析】【分析】利用空间向量基本定理得到，平方后，利用数量积公式列出方程，求出.【详解】因为，所以因为，所以，解得：.故答案为：16. 已知椭圆，直线与在第一象限交于A，B两点，直线与轴和轴分别交于M，N两点，且，点为的中点，直线倾斜角的正切值为，则直线的方程为_；椭圆的离心率为_【答案】 . . 【解析】【分析】利用几何知识求出直线的斜率，利用中点坐标求出点坐标，即可得出直线的方程.设出点
12、坐标，利用点差法，即可得出椭圆的离心率.【详解】由题意，在中，由几何知识得，直线与直线关于点所在轴对称，直线倾斜角的正切值为，直线的斜率为，设，则，解得：，设，则，即，离心率：故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于原点（1）求原点关于直线对称点的坐标；（2）求圆的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得答案；（2）因圆与直线相切于原点，则圆过原点，且圆心在直线上，又圆心在直线上，可求得圆心坐标与圆的半径.【小问1详解】设原
13、点关于直线对称点坐标为，则两个点的中点坐标为.中点直线上，得到：.又过两个对称点的直线与已知直线垂直，得.联立解得对称点坐标为；【小问2详解】过原点且与直线垂直的直线方程为，由题圆心在上.又圆心在直线上，联立直线：，即圆心为.由题原点在圆上，则半径，则所求圆的方程为：.18. 如图，在直三棱柱中，（1）求点到平面的距离；（2）若点是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1） （2）【解析】【分析】如图，建立以C为原点的空间直角坐标系.（1）求出平面的法向量，设点到面的距离为，则；（2）设直线与平面成角正弦值为，则.【小问1详解】因为直三棱柱底面三角形满足：，且，则以为坐标原点，的方向为
14、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则B（0，2，0），A（2，0，0），C（0，0，2），（0，2，2），.设面的法向量为，则，取.又，设点到面的距离为，则.【小问2详解】由题可得，设与面的夹角为，则.【点睛】19. 双曲线的一条渐近线方程为，且经过点（1）求的方程；（2）为坐标原点，过双曲线上一动点（在第一象限）分别作的两条渐近线的平行线为，且，与轴分别交于P，Q，求证：为定值【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线的直线方程，求出的坐标，整理的表达式，利
15、用整体思想，可得答案.【小问1详解】渐近线为，则，在双曲线上，得解得，曲线的标准方程为.【小问2详解】设点坐标为则，得，则，同理：，得，则，则又点在曲线上，则，得证为定值320. 已知抛物线的焦点为，过的动直线与交于A，B两点（1）若直线的倾斜角为，求弦的长度；（2）设A，B两点到轴的距离分别为，求的最小值【答案】（1）8 （2）4【解析】【分析】（1）先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得，然后用弦长公式即可求解；（2）设直线的方程为，与抛物线联立可得，所以，然后用基本不等式进行求解即可【小问1详解】由抛物线可得焦点，当直线倾斜角为时，直线的方程为，联立化简得：，经验证成立，设，
16、此时，【小问2详解】由题可知，直线的斜率不为0，又焦点，所以设直线的方程为，联立化简得：，经验证成立，设，此时，由题可得：，则，又即，当且仅当，直线与轴垂直，即弦为通径时等号成立，所以的最小值是421. 如图，是三棱锥的高，是上的动点（1）若平面，请确定点的位置，并说明理由；（2）若，当是中点，且二面角的正切值为时求二面角的正弦值【答案】（1）是中点，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过证明，得到，再通过线面平行的性质，即可确定点的位置.（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面和面的法向量，即可求出二面角的正弦值.【小问1详解】由题意，是中点，理由如下：延长交于点，连接、，取中
17、点，连接.面，.又，.是中点，.，是中点.又面，面面，若面，则由线面平行性质定理得.是中点，是中点.【小问2详解】由题意，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1），可知轴在平面内，由（1），可得平面，为二面角的平面角，.又，.是中点，.设平面的法向量为，则，取设平面的法向量为，则，取设二面角的平面角为，则.22. 已知动点到点的距离与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线（1）求曲线方程；（2）曲线与轴正半轴交于点，过的直线交曲线于A，B两点（异于点），连接，并延长分别交于D，C，试问：以为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由【答案】（1） （2）圆恒过定点和【解析】【分析】（1）设动点，由题可得，化简后可得E方程；（2）由（1）设，可得，后设以CD为直径的圆上一点为Q，由可得圆方程，即可得圆所过定点.【小问1详解】设动点，则，化简得；【小问2详解】设，与联立可得：，由题.设，则，.又由（1）可得，则，令，得.同理可得.令以为直径的圆上动点为，则.又，则.注意到，.则可得.因所过定点与参数无关，则，则或.故圆恒过定点和.【点睛】关键点点睛：本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点.对于直线或圆过定点问题，都是先求得直线或圆的表达式，后令含参数的项为0，即可求得所过定点.