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1、31空间向量及其运空间向量及其运算算31.1空间向量及其加减运算空间向量及其加减运算学习目标学习目标1.了了解解空空间间向向量量的的概概念念，掌掌握握空空间间向向量量的的几几何何表示和字母表示表示和字母表示2掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量向量数乘数乘的几何意义的几何意义知新益能知新益能1空间向量空间向量(1)空间向量的定义空间向量的定义在空间，把具有在空间，把具有_和和_的量叫做空间向量的量叫做空间向量,向量的向量的_叫做向量的长度或模叫做向量的长度或模(2)空间向量及其模的表示方法空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的空间
2、向量用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模如图，表示向量的模如图，a的起点是的起点是A，终点，终点是是B，则，则a也可记作也可记作_，其模记为，其模记为_或或_.大小大小方向方向大小大小长度长度|a|(3)特殊向量特殊向量名称名称定义及表示定义及表示零向零向量量规定规定_的向量叫零向量，记为的向量叫零向量，记为_单位单位向量向量_的向量叫单位向量的向量叫单位向量相反相反向量向量与向量与向量a长度长度_而方向而方向_的向量，记的向量，记为为_相等相等向量向量方向方向_且模且模_的向量称为相等向量的向量称为相等向量,_且且_的有向线段表示同一向量或的有向线段表示同一向量或相等向量相等向量长度为长
3、度为0模为模为1相等相等相反相反相同相同相等相等同向同向等长等长a02、向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba babcOABCab+abcOABCbc+(空间向量空间向量)ab+c+()ab+c+()(a+b)+)+c=a+(+(b+c)向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中例如：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1GM例如例如:定义定义:3 3、我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数
4、乘运算.类似地类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢?显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的基本概念空间向量的基本概念考点一考点一考点突破考点突破只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要条件条件例例例例1 1(1)计算两个
5、空间向量的和或差时，与平面向量计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同运算中掌握好三角形法则和平行四完全相同运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键边形法则是关键空间向量的加减运算空间向量的加减运算考点二考点二考点二考点二例例例例2 2【名师点评名师点评】化简向量表达式主要是利用平行化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则在化简过程中四边形法则或三角形法则在化简过程中遇到减遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法法时可灵活应用相反向量转化成加法.1利用三角形法则进行加法运算时，注意利用三角形法则进行加法运算时，注意“首首尾相连尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点，和向量
6、的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点进行减法运算时，注意指向第二个向量的终点进行减法运算时，注意“共起点共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点向被减向量的终点三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中,方法感悟方法感悟把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限个向量的和向量个向量的和向量2平行四边形法则一般用来进行向量的加法运平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算注意：平行四边形的两条对角线所表示的向算注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差量恰为两邻边表示向量的和与差ABMCGD练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点,化简化简正东正东正北正北向上向上F3F3=15N已知已知F1=10N,F2=15N，F1F2这三个力两两之间这三个力两两之间的夹角都为的夹角都为90度度,它们的合力的大小它们的合力的大小为多少为多少N?