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1、4.2.2等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式复习回顾复习回顾1、等差数列等差数列an的前的前n项和公式：项和公式：2、求、求数列前数列前n项和的一种方法：项和的一种方法：“倒序相加倒序相加”法法随堂练习随堂练习1、已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=n2-9n，第，第k项满足项满足5ak8，则，则k=()A、9 B、8 C、7 D、6B2、在等差数列、在等差数列an中，已知公差中，已知公差 ，且，且a1+a3+a5+a99=60，a2+a4+a6+a100=()A、85 B、145 C、110 D、90A3、等差数列、等差数列an的前的前n项的和为项的和为Sn，已知，已知am-
2、1+am+1-am2=0，S2m-1=38，则，则m=_.10例题解析例题解析1、某校新建一个报告厅，要求容纳某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有个座位，报告厅共有20排座位，从第排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位排起后一排都比前一排多两个座位.问第问第1排应安排多少个座位？排应安排多少个座位？解：设报告厅的座位从第解：设报告厅的座位从第1排到第排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成等排，各排的座位数依次排成一列，构成等差数列差数列an，其前，其前n项和为项和为Sn.由题意知，数列由题意知，数列an是一个公差为是一个公差为2的等差数列，且的等差数列，且S20=8
3、00可得可得a1=21因此，第因此，第1排应安排排应安排21个座位个座位例题解析例题解析2、已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求这个数列的通项公式，这个数，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？当当n=1时也满足时也满足式式.an-an-1=2随堂练习随堂练习4、已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求这个数列的通项公式，求这个数列的通项公式.当当n=1时时不不满足满足式式.探究新知探究新知探究：如果一个数探究：如果一个数列列an的的前前n项和项和为为Sn=pn2+qn+r，其，其中中
4、p、q、r为常数，且为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？(1)若若r=0，则这个数列一定是等差数列，则这个数列一定是等差数列.an=2pn+(q-p)(2)若若r0，则这个数列一定不是等差数列，则这个数列一定不是等差数列.探究新知探究新知则有则有Sn=An2+Bn(A，B为常数为常数)等差数列前等差数列前n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：当当A0(即即d0)时，时，Sn是关于是关于n的二次函数式，即的二次函数式，即Sn=An2+Bn的图象是的图象是抛物线抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤
5、立的点上的一群孤立的点当当d=0时时，an是一个常数列，是一个常数列，Sn=na1当当d0时时，Sn是是一个一个常数项为零的常数项为零的关于关于n的的二次型函数二次型函数 即任何一个等差数列前即任何一个等差数列前n项的和都可以写成项的和都可以写成Sn=An2+Bn(A，B为为常数常数)的形式的形式(过原点过原点)例题解析例题解析3、已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a1=10，公差，公差d=-2，则，则Sn是否存在最是否存在最大值？若存在，求大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由时的值；若不存在，请说明理由.=-n
6、2+11n解：由题意知，解：由题意知，a1=10，d=-2，Sn关于关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.所以，当所以，当n=5或或6时，时，Sn最大，最大值为最大，最大值为30函数思想函数思想例题解析例题解析3、已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a1=10，公差，公差d=-2，则，则Sn是否存在最是否存在最大值？若存在，求大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由时的值；若不存在，请说明理由.又由又由an=10+(n-1)(-2)=-2n+12，可知：，可知：另解：由另解
7、：由d=an+1-an=-20，得，得an+1an，当当n0；所以所以an是递减数列是递减数列当当n=6时，时，an=0；当当n6时，时，an0；所以，所以，S1S2S7即当即当n=5或或6时，时，Sn最大最大.所以所以Sn的最大值为的最大值为30从等差数列的通项公从等差数列的通项公式出发来分析式出发来分析归纳提升归纳提升(1)利用利用an：当当a10，d0，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn的的最大值最大值 可由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值；的值；当当a10，d0，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为，数列前面有若干项为
8、负，此时所有负项的和为Sn的的最小值最小值 可由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值的值.等差数列前等差数列前n项和的最值问题有两种项和的最值问题有两种常用的常用的方法：方法：(2)利用利用Sn：由由 利用二次函数配方法求得最值时利用二次函数配方法求得最值时n的值的值.随堂练习随堂练习5、已知等差数列已知等差数列an中，中，a1=13且且S3=S11，求，求n取何值时，取何值时，Sn取最大值取最大值故当故当n7时，时，Sn取取最大值最大值49.解：解：(法一法一)设公差为设公差为d.由由S3S11得得=-n2+14n=-(n-7)2+49配方法配方法随堂练习随堂练习5、已知等差数列已知
9、等差数列an中，中，a1=13且且S3=S11，求，求n取何值时，取何值时，Sn取最大值取最大值解：解：(法二法二)设公差为设公差为d.由由S3S11得得对称轴法对称轴法a1=130，d0，则则Sn的图象如图所示的图象如图所示所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为7n113Sn故当故当n7时，时，Sn取取最大值最大值49.随堂练习随堂练习5、已知等差数列已知等差数列an中，中，a1=13且且S3=S11，求，求n取何值时，取何值时，Sn取最大值取最大值解：解：(法三法三)设公差为设公差为d.由由S3S11得得故当故当n7时，时，Sn取取最大值最大值49.a7+a8=0又又由由S3S11得，得，a
10、4+a5+a6+a11=0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70，a80随堂练习随堂练习6、等差数列等差数列an中，设中，设Sn为其前为其前n项和，且项和，且a10，S3S11，则当，则当n为多少时，为多少时，Sn最大？最大？故当故当n7时，时，Sn最大最大.解：解：(法一法一)设公差为设公差为d.由由S3S11，因为因为a10，配方法配方法随堂练习随堂练习6、等差数列等差数列an中，设中，设Sn为其前为其前n项和，且项和，且a10，S3S11，则当，则当n为多少时，为多少时，Sn最大？最大？故当故当n7时，时，Sn最大最大.解：解：(法二法二)设公差为设公
11、差为d.由由S3S11，因为因为a10，对称轴法对称轴法所以所以Sn是关于是关于n的二次函数，的二次函数，由由S3S11得，得，所以所以Sn的图象关于的图象关于 对称轴对称轴随堂练习随堂练习6、等差数列等差数列an中，设中，设Sn为其前为其前n项和，且项和，且a10，S3S11，则当，则当n为多少时，为多少时，Sn最大？最大？故当故当n7时，时，Sn最大最大.解：解：(法三法三)设公差为设公差为d.由由S3S11，解得解得6.5n7.5要使要使Sn最大，则有最大，则有随堂练习随堂练习6、等差数列等差数列an中，设中，设Sn为其前为其前n项和，且项和，且a10，S3S11，则当，则当n为多少时，
12、为多少时，Sn最大？最大？解：解：(法四法四)设公差为设公差为d.由由S3S11，又又由由S3S11，可得，可得2a113d0，即即(a16d)(a17d)0，故，故a7a80，又由又由a10，可知，可知d0，所以所以a70，a80，所以当，所以当n7时，时，Sn最大最大.随堂练习随堂练习7、已知、已知数列数列an是等差数列是等差数列，a1=50，d=-6.(1)从第几项开始有从第几项开始有an0?(2)求此数列的求此数列的前前n项和的最大值项和的最大值.解：解：(1)依题意得，依题意得，an=50+(n-1)(-6)=-6n+56当当n=9时，时，Sn有最大值为有最大值为令令an0，即，即-6n+560，从第从第10项开始有项开始有an0，当，当n10时，时，an0，S130.(1)求公差求公差d的取值范围的取值范围；(2)指出数列指出数列Sn中数值最大的项中数值最大的项，并说明理由并说明理由.解：解：(1)由已知得由已知得由于由于n为正整数，所以当为正整数，所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn图象的对称轴为图象的对称轴为Sn有最大值有最大值.课堂小结课堂小结1、根据、根据等差数列等差数列an的前的前n项和求通项公式项和求通项公式2、结合二次函数图象和性质求结合二次函数图象和性质求 的最值的最值.