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1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司2024 届新高考基地学校第三次大联考数学届新高考基地学校第三次大联考数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位
2、置作答一律无效3本卷满分为本卷满分为 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合3,2,0,2,3M ，202xNxx，则MN（）A.3,2,2,3B.3,2,3C.3,0,2,3D.3,32.已知i(i1)15z ，则z（）A.23iB.23iC.32iD.32i3.已知1sinsin33，则coscos
3、3（）A.56B.12C.16D.164.已知直线3ykx与曲线lnyx相切，则实数 k 的值为（）A.eB.1eC.2eD.21e5.已知AD是ABC的边BC上的高，且(1,3)AB ，)6,3(BC ，则AD（）A.(1,2)B.(1,2)C.(2,1)D.(2,2)6.设点4(0,A），抛物线22(0)ypx p上的点 P 到 y 轴的距离为 d若PAd+的最小值为 2，则p（）A.2B.3C.4D.67.已知 na是等差数列，且11a，1 22 38 9111825aaa aa a，则10a（）A.15B.26C.28D.32江苏省新高考基地学校2023-2024学年高三上学期第三次大
4、联考数学试题第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司8.若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为1S，2S，侧面积为 S，则（）A 212SS SB.12SSSC.12SSSD.122SS S二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，P 在底面上的射影 E 在线段BD上，则（）A
5、.PAPCB.PBPDC.AC 平面PBDD.BD平面PAC10.设矩形的长是宽的 2 倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线 W 经过另外两个顶点，则 W 的离心率的可能取值为（）A.152B.352C.5D.2511.在生物科学和信息科学中，经常用到“S 型”函数：1()1exS x，其导函数为()S x，则（）A.()S x有极值点B.点10,2是曲线()yS x对称中心C.()S x是偶函数D.0Rx，001()02S xx12.某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有 A 和 B 两种结果第一轮是对所有生产产品进行检测，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A
6、的产品需进行第二轮检测在第二轮检测中，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A 的产品定等级为甲在每轮检测中，甲等品检测结果为 A 的概率是 0.95，乙等品检测结果为 A 的概率是 0.05已知该厂生产的产品中甲等品的占比为90%，则（）A.已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是 0.0025B.已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是 0.0025C.从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为 0.8125D.已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于 0.001三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，
7、共分，共 20 分分13.若一个五位数的各个数位上的数字之和为 3，则这样的五位数共有_个14.已知圆 C 的半径为 5，圆心 C 在第一象限，且直线430 xy与 x 轴截圆 C 所得弦长都为 6，则圆心C 的横坐标为_.的第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司15.写出同时满足下列条件的一个函数()f x _()f x二次函数；(1)xf x是奇函数；()f xx在(0,)上是减函数16.把函数sin(0)yx的图象向右平移3个单位长度，得到函数()f x的图象若()f x的图象关于原点对称，则的最小值为_；若曲线()yf x上存在唯一一点00(,()A xf x，00,2x，满
8、足点 A关于原点的对称点 B 也在曲线()yf x上，则的取值范围是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知等比数列 na的公比0q，且1 536aaa，616a（1）求 na的通项公式；（2）设2log,1,nnnanban为奇数为偶数，求 nb的前2n项和2nS18.某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过 m 元的顾客参加一次抽奖抽奖规则如下：从装有大小、形状完全相同的 4 个黑球 2 个红球的盒子中随机取 2 个小球，若 2 个小球都为红色，则获100 元奖金
9、；若 2 个小球为 1 红 1 黑，则获 30 元奖金；若 2 个小球都为黑色，则获 10 元奖金（1）记参加抽奖的一名顾客获得奖金为 X 元，求 X 的概率分布列和数学期望；（2）该超市去年店庆日共有 3000 名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图若今年抽奖活动总奖金预设为 12000 元，依据去年店庆日的数据，给出合理的 m 的值，并说明理由19.记ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知3cb，cos5cos0BC（1）求cosC；（2）若 D 是边AB上一点，BCCD，且21CD，求ABC的面积，20.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABAC，14
10、ABACAA，两个质点分别从点A 和点是第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司C同时出发，均以每秒2个单位长度速度分别向点1B，1A作直线移动.如图，点D,E分别是两质点移动(04)tt 秒后到达的位置（1）证明：/DE平面ABC；（2）当三棱锥11CADE的体积最大时，求直线1C D与平面1ADE所成角的正弦值21 已知函数2()lnf xxax（1）若()f x在(0,)上单调递减，求 a 的取值范围；（2）若()f x的最小值为 3，求 a22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，斜率为 2 的直线 l 与 x 轴交于点 M，l 与 C 交于A，B 两点，D
11、 是 A 关于 y 轴的对称点当 M 与原点 O 重合时，ABD面积为169（1）求 C 的方程；（2）当 M 异于 O 点时，记直线BD与 y 轴交于点 N，求OMN周长的最小值的.第 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司2024 届新高考基地学校第三次大联考届新高考基地学校第三次大联考数学数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其
12、他位置作答一律无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效3本卷满分为本卷满分为 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合3,2,0,2,3M ，202xNxx，则
13、MN（）A.3,2,2,3B.3,2,3C.3,0,2,3D.3,3【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式求解集合 N，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为202xx，所以22020 xxx，所以2x 或2x，所以2022xNxx xx 或2x，又3,2,0,2,3M ，所以MN3,2,3.故选：B2.已知i(i1)15z ，则z（）A.23iB.23iC.32iD.32i【答案】A【解析】【分析】根据复数除法法则计算出23iz，进而求出共轭复数.【详解】221 5i1 i1 i5i5i46i23i1 i1 i1 i2z ，第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司故23iz.故选
14、：A3.已知1sinsin33，则coscos3（）A.56B.12C.16D.16【答案】A【解析】【分析】应用()33 ，结合两角和的余弦即可求解.【详解】1coscos()coscossinsin33332,则coscos3115236.故选：A4.已知直线3ykx与曲线lnyx相切，则实数 k 的值为（）A.eB.1eC.2eD.21e【答案】C【解析】【分析】首先设切点为00,lnxx，利用导数的几何意义得到01kx，从而得到直线方程为03xyx，再将切点代入直线求解即可.【详解】设切点为00,lnxx，1yx，则01kx，所以直线方程为03xyx.又因为00,lnxx在直线03xy
15、x上，所以0ln1 32x ，解得20 xe.所以221kee.故选：C第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司5.已知AD是ABC的边BC上的高，且(1,3)AB ，)6,3(BC ，则AD（）A.(1,2)B.(1,2)C.(2,1)D.(2,2)【答案】B【解析】【分析】设6,3BDmBCmm ，表达出1 6,33ADmm，根据垂直关系得到方程，求出13m ，进而得到答案.【详解】设6,3BDmBCmm ，则 1,36,31 6,33ADABBDmmmm ，由0AD BC 得01 6,336()3699,36AmmBCDmm，解得13m ，故1 2,3 11,2AD 故选：B6
16、.设点4(0,A），抛物线22(0)ypx p上的点 P 到 y 轴的距离为 d若PAd+的最小值为 2，则p（）A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】【分析】结合抛物线的定义即可求解.【详解】抛物线22(0)ypx p，则焦点(,0)2pF，准线2px ，PAd+最小时，即2pPAd+最小，根据抛物线定义，|2pdPF ，所以只需求|PAPF的最小值即可，当P为线段AF与抛物线交点时，|PAPF最小，且最小值为22|()4222ppAF ，解得6p=.故选：D的第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司7.已知 na是等差数列，且11a，1 22 38 9111825aaa aa
17、 a，则10a（）A.15B.26C.28D.32【答案】C【解析】【分析】设出公差为d，进而裂项相消法求和得到12238911111 811a aa aa add，从而得到方程，求出公差，进而求出答案.【详解】设公差为d，则1111naandnd，则111111111111nna adndndndnd，所以122389111111111111121 71 8a aa aadddddda1111 8dd，故11811 825dd，解得3d，故101 9 328a .故选：C8.若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为1S，2S，侧面积为 S，则（）A.212SS SB
18、.12SSSC.12SSSD.122SS S【答案】C【解析】分析】利用等体积法即得.【详解】设小球半径为 R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径 R，且棱台的高是 2R，则四棱台的体积为121212111123333VRSRSRSSSS SR，【第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司得21212122SSSS SSS，即12SSS，故选：C二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题
19、目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，P 在底面上的射影 E 在线段BD上，则（）A.PAPCB.PBPDC.AC 平面PBDD.BD平面PAC【答案】AC【解析】【分析】A 选项，由线面垂直得到线线垂直，结合勾股定理求出PAPC；B 选项，由于ED与EB不一定相等，故,PB PD不一定相等；C 选项，由线线垂直得到线面垂直；D 选项，连接PH，若,E H不重合，PH与EH不垂直，故BD与PH不垂直，D 错误.【详解】A 选项，由题意
20、得PE平面ABCD，底面ABCD是菱形，连接AC与BD交于点H，则AHCH，EHAC，因为AEEC，故AEEC，又2222,PAPEAEPCPECE，故PAPC，A 正确；B 选项，因为PE平面ABCD，所以2222,PDPEEDPBPEEB，由于ED与EB不一定相等，故,PB PD不一定相等，B 错误；C 选项，因为底面ABCD是菱形，所以AC BD，又PE平面ABCD，AC平面ABCD，所以PEAC，因为PEBDE，,PE BD 平面PBD，所以AC 平面PBD，C 正确；D 选项，连接PH，若,E H不重合，此时RtPEH中，PH为斜边，故PH与EH不垂直，故BD与PH不垂直，故此时BD
21、与平面PAC不垂直，D 错误.第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司故选：AC10.设矩形的长是宽的 2 倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线 W 经过另外两个顶点，则 W 的离心率的可能取值为（）A.152B.352C.5D.25【答案】AD【解析】【分析】分两种情况，作出图形，得到,D cc或,4D cc，代入双曲线方程，得到关于,a b c的齐次式，求出离心率.【详解】（1）如图 1，矩形ABCD中，2ABBC，且,A B为两个焦点，设O为AB中点，如图以O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为222210,0 xyabab，则OAADc，设,D cc，将
22、,D cc代入双曲线22221xyab中得，第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司22221ccab，变形得222222b ca ca b，将222bca代入222222b ca ca b中得，422430ca ca，方程两边同时除以4a得42310ee，解得2352e，当2352e时，解得5112e，负值舍去，当2352e时，解得5 112e舍去，负值也舍去；（2）如图 2，矩形ABCD中，2BCAB，且2ABc，设O为AB中点，如图以O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为222210,0 xyabab，则,4D cc，将其代入双曲线22221xyab中得，
23、2222161ccab，整理得22222216b ca ca b，第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司将222bca代入22222216b ca ca b中得，4224180ca ca，方程两边同时除以4a得421810ee，解得294 5e，当294 5e 得，521e，负值舍去，当294 5e 得，521e 舍去，负值舍去，综上，离心率的可能取值为152或25.故选：AD11.在生物科学和信息科学中，经常用到“S 型”函数：1()1exS x，其导函数为()S x，则（）A.()S x有极值点B.点10,2是曲线()yS x的对称中心C.()S x是偶函数D.0Rx，001(
24、)02S xx【答案】BC【解析】【分析】A，求导，结合导数求单调性；B，讨论()()1SxS x即可；C，结合奇偶性的定义讨论即可；D，分0 x，0 x，0 x 讨论即可.【详解】由函数1()1exS x，求导得：2()e)1 exxS x，第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司Rx，2e()0(1 e)xxS x，函数()S x是单调增函数，没有极值点，A 错误；因为11(),1()1e1exxSxS x，所以()()1SxS x，所以点10,2是曲线()yS x的对称中心，B 正确；2()e)1 exxS x，定义域为R，22222eeee()(1 e1 ee1 e)xxxx
25、xxxxSxSx，C 正确；函数()S x是单调增函数，又011(0)1 e2S，当则0 x 时，1()2S x，则1()02S x，1()02S xx，则0 x 时，1()2S x，则1()02S x，1()02S xx，则0 x 时，1()2S x，则1()02S x，1()02S xx，则 D 错误.故选：BC12.某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有 A 和 B 两种结果第一轮是对所有生产产品进行检测，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A 的产品需进行第二轮检测在第二轮检测中，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A 的产品定等级为甲在每轮检测中
26、，甲等品检测结果为 A 的概率是 0.95，乙等品检测结果为 A 的概率是 0.05已知该厂生产的产品中甲等品的占比为90%，则（）A.已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是 0.0025B.已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是 0.0025C.从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为 0.8125D.已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于 0.001【答案】AC【解析】【分析】对于 A 选项：要使检测后定等级为甲，则两轮检测结果都为 A，用概率乘法公式计算即可;对于 B 选项：要使检测后定等级为乙，则可能为第一轮检测结果为 B，或第一轮检
27、测为 A，但第二轮检测结第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司果为 B，用概率加法公式计算即可;对于 C 选项：利用该厂生产的产品中甲等品的占比为90%，计算即可;对于 D 选项:记该产品检测前是乙等品为事件B，记该产品检测结果是甲等品为事件A，利用条件概率公式计算即可.【详解】结合题意可得：若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为 A，即检测后定等级为甲的概率10.95 0.950.9025P；若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为 B，或第一轮检测为 A，但第二轮检测结果为 B,即检测后定等级为乙的概率为20.050.951 0
28、.950.0975P，若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为 A，即检测后定等级为甲的概率30.05 0.050.0025P；若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为 B，或第一轮检测为 A，但第二轮检测结果为 B,即检测后定等级为乙的概率为40.950.05 0.950.9975P.综上所述：对于 A 选项：已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是 0.0025，故 A 选项正确；对于 B 选项：已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是 0.0975，故 B 选项错误；对于 C 选项:因为该厂生产的产品中甲等品的占比为90%，所以从
29、检测后的产品中随机抽取一件，要使检测结果是甲等品的概率为50.1 0.00250.9025 0.90.8125P，故 C 选项正确；对于 D 选项:记该产品检测前是乙等品为事件B，记该产品检测结果是甲等品为事件A,则 50.8125P AP,30.10.1 0.00250.00025P ABP,则 0.000250.0010.8125P ABP B AP A，故 D 选项错误.故选：AC.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.若一个五位数的各个数位上的数字之和为 3，则这样的五位数共有_个【答案】15【解析】第 11 页/共 23
30、 页学科网（北京）股份有限公司【分析】先分类，再分步，结合排列组合知识，利用计数原理求解即得.【详解】若一个五位数的各个数位上的数字之和为 3，则这样的五位数可分为3类：第一类，五位数的各个数位上的数字是4个0，1个3组成，则由首位不为0可知，3在首位，其余各位为0，即30000，仅有1种方法；第二类，五位数的各个数位上的数字是3个0，1个1，1个2组成，则由首位不为0可知，1或2在首位，选1个放在首位，另1个则从其它4个位选1个位放上，其余各位为0，共有1124C A8种方法；第三类，五位数的各个数位上的数字是2个0，3个1组成，则由首位不为0可知，1在首位，在其它4个位中选2个位为1，其余
31、各位为0，共有24C6种方法；所以由分类计数原理可得共有1 8615 个这样的五位数.故答案为：15.14.已知圆 C 的半径为 5，圆心 C 在第一象限，且直线430 xy与 x 轴截圆 C 所得弦长都为 6，则圆心C 的横坐标为_【答案】8【解析】【分析】设圆心坐标，利用几何法由直线与圆相交弦长及半径可得圆心至直线的距离，再由点到直线的距离公式待定圆心坐标即可.【详解】设圆心坐标为(,)a b，圆心 C 在第一象限，则0,0ab如图，圆C与430 xy及x轴相交弦长都为6，则半弦长为3，又已知圆的半径为5，则圆心C到x轴的距离为22534，则4b，由0b，得4b；且圆C到430 xy的距离
32、也为4，则圆心C到430 xy的距离2243 4434543aad，解得2a （舍），或8a，即圆心的横坐标为8.故答案为：8.第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 15.写出同时满足下列条件的一个函数()f x _()f x是二次函数；(1)xf x是奇函数；()f xx在(0,)上是减函数【答案】22xx【解析】【分析】写一个满足条件的即可.【详解】因为()f x是二次函数，所以令2()2f xxx，0 x，令 23(1)121g xxf xxxxxx，3gxxxg x ，故满足条件；令 222()xf xh xxxxx 在(0,)上是减函数，满足条件，故答案为：22xx1
33、6.把函数sin(0)yx的图象向右平移3个单位长度，得到函数()f x的图象若()f x的图象关于原点对称，则的最小值为_；若曲线()yf x上存在唯一一点00(,()A xf x，00,2x，满足点 A关于原点的对称点 B 也在曲线()yf x上，则的取值范围是_【答案】.3 .13【解析】【分析】由函数图像平移和三角函数的对称性可解；由题意点00(,()A xf x与点00(,()Bxf x都在函数图像上，可得00sinsin33xx，由于00,2x只有一解，即0cos0 x只有一解，从而得解.【详解】函数sin(0)yx图象向右平移3个单位长度，的第 13 页/共 23 页学科网（北京
34、）股份有限公司得到函数()f x的图象，则()sin(0)3f xx，若()f x的图象关于原点对称，则0sin()(0)3，所以3,Zkk，则的最小值为3；又点00(,()A xf x关于原点的对称点00(,()Bxf x，由题意0000()sin,()sin33f xxf xx，可得00sinsin33xx，即0000sincoscossinsincoscossin3333xxxx，所以0cossin03x，由题意只有唯一一个00,2x使得上式成立，所以sin03，且0cos0 x只有一解，由00,2x，则00,2x，可得22322，解得13.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题
35、，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知等比数列 na的公比0q，且1 536aaa，616a（1）求 na的通项公式；（2）设2log,1,nnnanban为奇数为偶数，求 nb的前2n项和2nS【答案】（1）22nna （2）2nS24133nnn 第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）应用等比数列的性质及基本量运算即可；（2）应用分组求和及等差等比公式求和即可.【小问 1 详解】由1 536aaa，得2336aa，解得33a 或32a，当33a 时，3363(3)16aa qq，则3
36、163q ，则3163q ，因0q，不合舍去；当32a 时，3363216aa qq，则38q，得2q=；则33232 22nnnnaaq【小问 2 详解】由2log,1,nnnanban为奇数为偶数，则13212224()()nnnSbbbbbb212322-1242()logloglog)(111nnaaaaaa 2 24 222(12)(32)(212)(2(2(2)1)1)1nn 022213(21)2 (222)nnnn (121)1(14)2 214nnnnn 241(2)()33nnnn 24133nnn 18.某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过 m 元的顾客参加
37、一次抽奖抽奖规则如下：从装有大小、形状完全相同的 4 个黑球 2 个红球的盒子中随机取 2 个小球，若 2 个小球都为红色，则获100 元奖金；若 2 个小球为 1 红 1 黑，则获 30 元奖金；若 2 个小球都为黑色，则获 10 元奖金为第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（1）记参加抽奖的一名顾客获得奖金为 X 元，求 X 的概率分布列和数学期望；（2）该超市去年店庆日共有 3000 名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图若今年抽奖活动总奖金预设为 12000 元，依据去年店庆日的数据，给出合理的 m 的值，并说明理由【答案】18.答案见解析.19.300m，理
38、由见解析.【解析】【分析】（1）先确定随机变量X的可能取值，在求出对应的概率就可以列出分布列，再根据数学期望公式求期望；（2）先计算可抽奖的顾客的人数，再用去年的频率估计概率，确定m的值，使得购物金额超过m的人数与可抽奖的人数一致即可.【小问 1 详解】由题意：X的值可能为：10，30，100，且2426C6210C155P X，114226C C830C15P X，2226C1100C15P X.所以X的分布列为：X1030100P25815115所以：281801030100315153E X.【小问 2 详解】今年预设奖金 12000 元，故参与抽奖的人数可以为：12000450803（
39、人）.所以可以参与抽奖的概率为450153000100.第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司因为100 0.0020.0040.00250.85，所以300m.19.记ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知3cb，cos5cos0BC（1）求cosC；（2）若 D 是边AB上一点，BCCD，且21CD，求ABC的面积，【答案】（1）714 （2）75 34【解析】【分析】（1）由余弦定理化角为边，结合3cb得7ab，再由余弦定理求cosC；（2）根据题意由cosC得cosB，则在RtDCB中，由CD与角B可得a。从而由（1）,a b c比例关系得其他，进而由
40、面积公式得解.【小问 1 详解】由cos5cos0BC，得2222225()022acbabcacab，将3cb代入得，22222295(9)0232abbabbabab，化简得227ab，即7ab，则2222222797cos2142 7abcbbbCabb；【小问 2 详解】由（1）知5 7cos5cos14BC，则21sin14B，则在RtDCB中，由2121sin14CDBBDBD，解得14BD，所以225 77BCBDDCb，解得5b，则5 7,15ac，故ABC的面积112175 3sin5 7 1522144SacB.第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司20.如图
41、，在直三棱柱111ABCABC-中，ABAC，14ABACAA，两个质点分别从点A 和点C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别向点1B，1A作直线移动.如图，点D,E分别是两质点移动(04)tt 秒后到达的位置（1）证明：/DE平面ABC；（2）当三棱锥11CADE的体积最大时，求直线1C D与平面1ADE所成角的正弦值【答案】（1）证明见详解 （2）23【解析】【分析】（1）作辅助线构造平行四边形，由线线平行证明线面平行；（2）通过转换顶点表示三棱锥的体积确定体积最大时t的值，然后求平面1ADE的法向量，根据直线1C D与平面1ADE所成角的正弦值等于直线1C D的方向向量与平面1ADE
42、法向量夹角余弦值的绝对值，求解即可.【小问 1 详解】证明：分别过D,E作平行于1AA的直线交AB于F，交AC于G,连接FG,第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司因为D,E两点运动速度相同，所以ADCE,因为11BABACA，所以DFEG,又因为/DF EG，所以四边形DFGE为平行四边形，所以/DE FG,又因为DE 平面ABC,FG 平面ABC，所以/DE平面ABC；【小问 2 详解】过D作1AA的垂线，垂足为H,过E作11AC的垂线，垂足为M，由题意可得DHt，4EMt，所以111 11 1211124443323CA DED AC EAC EVVSDHtttt ，当2t
43、 时，11CA DEV最大，此时D,E分别为1AB，1AC的中点，如图建立空间直角坐标系，则10,4,0C，2,0,2D，10,0,0A，0,2,2E，所以12,4,2C D ，12,0,2AD ，10,2,2AE,设平面1ADE的法向量为,mx y z，所以1100m ADm AE，得220220 xzyz，令1z，则1,1,1m ，所以1112422cos,3243C D mC D mC D m ，所以直线1C D与平面1ADE所成角的正弦值为23.21.已知函数2()lnf xxax第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（1）若()f x在(0,)上单调递减，求 a 的取值
44、范围；（2）若()f x的最小值为 3，求 a【答案】（1）2,e （2）2ae【解析】【分析】（1）转化为2ln xax在(0,)上恒成立，构造 2ln xg xx，0,x，求导得到其单调性和最值情况，求出答案；（2）先由(1)fa，得到3a ，求导后，再令 2lnh xxax，求导结合隐零点得到 f x的单调性，从而得到 f x的最小值，得到方程，求出a的值，舍去不合要求的解.【小问 1 详解】22ln()lnxaxfxxaxx，由题意得()0fx在(0,)上恒成立，即2ln0 xax，即2ln xax在(0,)上恒成立，令 2ln xg xx，0,x，222ln xgxx，令 0gx得0
45、ex，令 0gx得ex，故 2ln xg xx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，故 g x在ex处取得极大值，也是最大值，2eeg，故2ea，a 的取值范围是2,e.【小问 2 详解】2()lnf xxax的定义域为0,，其中(1)fa，因为 f x的最小值为 3，所以3a，解得3a ，22ln()lnxaxfxxaxx，第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司当3a 时，设 2lnh xxax，则 220axh xaxx，故 2lnh xxax在0,上递增，因为22e1 e0aaha，10ha ，所以存在00 x，使得002ln0 xax，当00,xx时，0h x，即()0f
46、x，f x在00,x上单调递减，当0,xx时，0h x，即()0fx，f x0,x 上单调递增，故2min000()lnf xf xxax，所以200ln3xax，又002ln0 xax，所以00202llnn3xx，解得0ln1x 或0ln3x，解得01ex 或3e，当01ex 时，20ea，解得2ae，当30ex 时，36e0a，解得36ea（舍去），综上，2ae.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换
47、，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，斜率为 2 的直线 l 与 x 轴交于点 M，l 与 C 交于A，B 两点，D 是 A 关于 y 轴的对称点当 M 与原点 O 重合时，ABD面积为169（1）求 C 的方程；（2）当 M 异于 O 点时，记直线BD与 y 轴交于点 N，求OMN周长的最小值在第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）22142xy （2）22【解析】【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求OMN的周长，则需
48、把各边长一一算出，即需把Mx、Ny算出，设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出Mx、Ny，可得OMN各边边长，结合基本不等式即可求得最值.【小问 1 详解】当 M 与原点 O 重合时，可设00,A xy，则有00,Bxy、00,Dxy，且002yx，即有ADBD,则00001116229ABDSADBDxxyyV，即201649x，又00 x，故023x，则043y，即有22416199ab，由离心率为22，即22ca，则22222acbc，故222ab，即有224161189bb，解得22b，故24a，即 C 的方程为22142xy；【小问 2 详解】设直线l方
49、程为2yxt，令0y，有2tx ，即2Mtx，设点11,A x y、22,B xy，则11,Dx y，第 22 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司联立直线与椭圆方程：222142yxtxy，消去y有2298240 xtxt，2226436 2414480ttt，即3 23 2t，有1289txx，212249tx x，BDl为122212yyyxxyxx，令0 x，故21222122122221122121212Nx yx yx yx yx yx yx yx yyyxxxxxx，由2yxt，故2112211212121212224xxtxxtx yx yx xtxxxxxx，其中2121224198429tx xttxxt，即12442Ntyttt，则22222424OMNNMNMttCyxyxtt2224222242tttt，当且仅当2t 时等号成立，故OMN周长的最小值为22.【点睛】本题考查了椭圆的方程，在求解直线与椭圆的位置关系问题时，常用方法是设而不求，借助韦达定理等手段，将多变量问题转变为单变量问题，再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.第 23 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司