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1、 文科数学试题 第 1 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司赤峰二中 2021 级高三上学期第四次月考赤峰二中 2021 级高三上学期第四次月考文科数学试题一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1已知集合24xAx，集合Bx xa，若AB R，则实数a的取值范围为（）A,2B2,C,2D2,2设11zi，21zi（i是虚数单位），则 1221zzzz（）AiBiC0D13下面的折线图统计了 2017-2022 年中国人用疫苗进
2、出口均价，则下述结论不正确的是（）A出口均价最高约为 3200 美元/千克B2019 年至 2021 年进口均价与出口均价均呈上涨趋势C出口均价的中位数低于 1500D进口均价的方差大于出口均价的方差4已知0.1log0.4a，0.1log1.1b，c=40.1，则（）AbacBbcaCcabDacb5已知数列an满足 2an=an1+an+1(n2)，a2+a4+a6=12，a1+a3+a5=9，则 a3+a4=（）A6B7C8D9 6从写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中任选 2 张，其上数字和为偶数的概率是（）A15B310C25D357我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道
3、闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m的值为（）文科数学试题 第 2 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司A45B60C75D908已知 R，函数24,()43,xxf xxxx，若 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是（）A(1，3B(4，)C(3，4D(1，3(4，)9如图，点F是抛物线28yx的焦点，点 A、B 分别在抛物线28yx及圆22216xy的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是（）A8,12 B6,10 C6,10 D8,1210设O是A
4、BC的外心，若1133AOABAC，则BAC的度数等于（）A30B45C60D9011关于函数 2sinsin4f xxx有下述四个结论：f x的最小正周期为；f x的最大值为12；f x的最小值为22；f x在区间4 2，上单调递增；其中所有正确结论的编号是（）ABCD12在三棱锥 PABC中，侧棱4PAPBPC，2=2 3=3BCBAC，则其外接球的表面积是（）A163B643C323D83 文科数学试题 第 3 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知函数 3lnf xxxa，若
5、直线230 xya与曲线 yf x相切，则实数a的值为 14已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 15已知数列 na的前n项和为nS，且满足*123nnnSanN，则2024S 16如图，已知12,F F是双曲线22:221xyCab的左、右焦点，,P Q为双曲线C上两点，满足12FPF Q，且2213F QF PFP，则双曲线C的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生
6、都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：每题（一）必考题：每题 12 分，共分，共 60 分。分。17为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照27.5,32.5，32.5,37.5，37.5,42.5，42.5,47.5，47.5,52.5分为 5 组，其频率分布直方图如图所示(1)求图中 a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)已知这种植物果实重量不低于 37.5 克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批 10000 个果实进行检测据此估算
7、这批果实中的优质果实的个数18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscos2abbBAc(1)求tan A；(2)若17a，ABC的面积为2 2，求ABC的周长 文科数学试题 第 4 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司19如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，2ADPA，2 2CD，E、F分别是AB、PD的中点.（1）求证：/AF平面PCE；（2）求证：平面PCD 平面PCE；（3）求四面体PEFC的体积.20椭圆22:14xCy，,A B是椭圆C的左右顶点，点 P 是椭圆上的任意一点.（1）证明：直线PA与直线 PB 的斜率之积为定值；（2）设经过(1,0)D
8、且斜率不为 0 的直线l交椭圆于,M N两点，直线AM与直线BN交于点Q，求证：OA OQ 为定值.21已知函数 ln1f xxx.（1）设曲线 yf x在1xe处的切线为 yg x，求证：f xg x；（2）若 f xa有两个根1x，2x，求证：1212xxaee.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，圆221:(5)10Cxy以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2
9、C的极坐标方程为4cos(1)判断圆1C与圆2C的位置关系；(2)若直线l的极坐标方程为sin2 24，直线l与y轴交于点P，与圆1C交于,A B两点，求22PAPB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23已知函数()2622f xxx（1）求不等式()12f x 的解集；（2）若a，b，c为正实数，函数()f x的最小值为t，且满足2a b ct ，求222abc的最小值 文科数学试题参考答案 第 1 页（共 5 页）学科网（北京）股份有限公司高三月考高三月考文科文科数学参考答案（数学参考答案（12.22）一、选择题：本题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四
10、个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112答案DCDABCCDACBB二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.14 14.36 15.20241144 3 16.102三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答17【详解】（1）由题意，有0.0200.0400.0750.01551a，解得0.050a；（2）这种植物
11、果实重量的平均数约为：30 0.020 535 0.040 540 0.075 545 0.050 550 0.015 540 ，这种植物果实重量的平均数x的估计值约为40.（3）样本中，这种植物果实重量不低于 37.5 克，即优质果实的频率为0.075 50.050 50.015 50.7 ，由此估计某批 10000 个果实中，重量不低于 37.5 克，即优质果实的概率为0.7，这批果实中的优质果实的个数约为10000 0.77000个.18【详解】（1）因为coscos2abbBAc，所以由正弦定理可得sincos2sincossinsinABBABC又sinsinsincoscossin
12、CABABAB，所以3sincossinBAB因为sin0B，所以1cos3A 又0,A，所以2 2sin3A，tan2 2A（2）ABC的面积n122 22si3ASbcbc，则6bc 由余弦定理：22222c23s2oabcbcbcbcA，得224253bcabc，所以5bc，故ABC的周长为51719【详解】（1）证明：设G为PC的中点，连接FG、EG，F为PD的中点，E为AB的中点，文科数学试题参考答案 第 2 页（共 5 页）学科网（北京）股份有限公司FG/12CD，AE/12CD，FG/AE，AFGE，GE 平面PCE，AF 平面PCE/AF平面PCE；（2）证明：2ADPA，F是
13、PD的中点AFPD，又PA 平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ADCD，PAADA，CD 平面PAD，AFPAD，CDAF，PDCDD，AF 平面PCD，GE 平面PCD，GE 平面PCE，平面PCE 平面PCD；（3）由（2）知，GE 平面PCD，GE为四面体PEFC的高，又/GFCD，GFPD，2GEAF，122GFCD，122PCFSPD GF，四面体PEFC的体积12 233PCFVSGE.20【详解】（1）由题意，设点00(,),(2,0),(2,0)P xyAB,文科数学试题参考答案 第 3 页（共 5 页）学科网（北京）股份有限公司则直线PA的斜率为002PAykx，直线
14、PB的斜率为002PBykx，所以20002000224PAPByyykkxxx，又由点00(,)P x y在椭圆上，可得220014xy，即2220004144xxy，所以2020144PAPBykkx，即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.（2）由直线l过点(1,0)D，所以直线l的方程为:1l xky，联立方程组22114xkyxy，整理得22(4)230kyky，设1122(,),(,)M xyN xy，则12122223,44kyyy ykk ，则121223yyky y，即1212332yyky y，又由直线11:(2)2yAMyxx，直线22:(2)2yBMyxx，联立方程组，可
15、得1212(2)(2)22yyxxxx，整理得21211221212121211211212332323221yxykyky yyky yky yyxxxykyyky yyky yy，解得4x，即点0(4,)Qy 又由向量0(2,0),(4,)OAOQy ，所以02 408yOA OQ （定值），即OA OQ 为定值.21【详解】证明：（1）由于 lnfxx，则11fe，又12fee，所以 f x在1xe处的切线方程为21yxee，即 1yg xxe ，令 1ln1h xf xg xxxxe，则 ln1hxx，文科数学试题参考答案 第 4 页（共 5 页）学科网（北京）股份有限公司于是当10,
16、ex时，0h x；当1,xe时，0h x，所以 h x在10,e上单调递减，在1,e上单调递增，故 10h xhe，即 f xg x.（2）不妨设12xx，直线1yxe 与ya相交于点0,x a，又由（1）知：f xg x，则011111axf xg xxee ，从而101xxae ，当且仅当01xe，2ae 时取等号.下证：2xae.由于2af x，所以222xaexf xe，即证：220f xxe，令 ln2xf xxexxxe，则 ln1xx，当0,xe时，0 x；当,xe，0 x；所以 x在0,e上单调递减，在,e 上单调递增；故 0 xe，即2xae成立，当且仅当2xe，0a 时取等
17、号.由于等号成立的条件不能同时满足，所以1221112xxxxaeaaeee .22【详解】（1）由4cos，得24 cos，将cos,sinxy代入上式，得圆2C的直角坐标方程为224xyx，即22(2)4xy，圆心为(2,0)，半径为 2；221:(5)10Cxy，圆心为(5,0)，半径为10；圆221:(5)10Cxy与圆2C圆心之间的距离|52|3d，因为3102,102d ，所以圆1C与圆2C相交（2）由sin2 24，得22sincos2 222，将cos,sinxy代入上式，得直线l的直角坐标方程为4xy 文科数学试题参考答案 第 5 页（共 5 页）学科网（北京）股份有限公司则
18、直线l与y轴的交点为0,4P，直线l的参数方程为22242xtyt（t为参数），代入22(5)10 xy，得29 2310tt，380，设,A B两点对应的参数分别为12,t t，所以121 29 2,31ttt t，所以12129 2PAPBtttt，1 231PA PBt t，（由1 2310t t 可知12,t t同号）所以22218 231PAPBPAPBPA PB23【详解】（1）由()2622f xxx，当1x时，()12(26)(22)12f xxx，解得21x ，当13x 时，()12(26)(22)12f xxx，解得13x，当3x时，()12(26)(22)12f xxx，解得34x，综上得 2,4x，所以不等式()12f x 的解集为 2,4；（2）因2622(26)(22)8xxxx，当且仅当(26)(22)0 xx，即13x 时取“=”，所以函数()f x的最小值为 8，即8t，28abc，而a，b，c为正实数，则2222222221 121644abcabcabc，当且仅当112abc时取“=”，由282abcabc得2 2,2abc，所以2 2,2abc时222abc的最小值为16.